Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương I, Chủ đề 2: Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức (Có đáp án)

 Chủ đề 2
SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT 
 CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Một số tính chất của tỉ số
 1 1
 + Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có a b 
 a b
 + Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: 
 a a a c
 - Nếu 1 thì 
 b b b c
 a a a c
 - Nếu 1 thì 
 b b b c
 a c a a c c
 - Nếu thì 
 b d b b d d
2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức
 + a a; a 0
 + a b b a b
 a b
 + a b 0 
 a b
 + a b a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.
 + a b a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.
 + a b a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 0 hoặc a b 0. 
 + Cho các số thực a1,a2,...,an , thế thì hiển nhiên ta có 
 a1 a2 ... an a1 a2 ... an
 + Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có
 a b
 2. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b .
 b a
3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức.
 Cho tam thức bậc hai f(x) ax2 bx c với a 0. Khi đó ta viết được 
 2
 b 
 f(x) ax2 bx c a ax với b2 4ac
 2
 2a 4a
Từ đó ta có một số tính chất sau:
Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi b2 4ac 0
Tính chất 2: Nếu b2 4ac 0 thì af(x) 0 .
Tính chất 3: Nếu b2 4ac 0 và đa thức có hai nghiệm x ; x x x thì 
 1 2 1 2 
 + af(x) 0 với mọi giá trị x1 x x2 . + af(x)> 0 với mọi giá trị x x1 hoặc x x2 .
B. Một số ví dụ minh họa.
1. Sử dụng tính chất của tỉ số.
Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 
 a b
 1
 2a b a 2b
 a b
Phân tích: Để ý ta thấy 1, như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần đánh giá được 
 a b a b
 a a b b
 ; .
2a b a b 2b a a b
 Lời giải
Do a, b là các số dương nên ta có 2a b a b; a 2b a b
 a a b b
Từ đó suy ra ; 
 2a b a b 2b a a b
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 a b a b a b
 1
 2a b 2b a a b a b a b
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 
 a b c
 1 2
 a b b c c a
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương đương để chứng minh 
bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra. Để ý một chút ta có 
 a b c a a
1 , như vậy cần đánh giá được . Dễ nhận thấy 
 a b c a b c a b c a b c a b
đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. 
 a a c
Để chứng minh được bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được , việc này 
 a b a b c
hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số.
 Lời giải
 a
 Do a, b, c là các số dương nên ta có 1. Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta được 
 a b
 a a a c
 a b c a b a b c
Áp dụng tương tự ta có 
 b b a b c c b c
 , 
 a b c b c a b c a b c c a a b c
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được
 a b c
 1 2
 a b b c c a
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a b c d
 1 2
 a b c b c d c d a d a b
 Lời giải
Theo tính chất của tỉ số ta có
 a a a d
 1 
 a b c a b c a b c d
 a a
Mặt khác ta lại có 
 a b c a b c d
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được 
 a a a d
 a b c d a b c a b c d
 Tương tự ta có 
 b b b a
 a b c d b c d a b c d
 c c b c
 a b c d c d a a b c d
 d d d c
 a b c d d a b a b c d
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được.
 a b c d
 1 2
 a b c b c d c d a d a b
Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức ta cần tinh ý sử dụng các tính chất của tỉ số. Ngoài ra các 
bất đẳng thức trong ở hai ví dụ trên có thể được phát biểu lại như sau: Cho các biểu thức với a, b, c là 
các số thực dương.
 a b c
 A 
 a b b c c a
 a b c d
 B 
 a b c b c d c d a d a b
Chứng minh A, B không thể nhận các giá trị nguyên.
 a c
Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
 b d
 a ab cd c
 b b2 d2 d
 a c ab cd
Phân tích: Để ý ta nhận thấy , đến đây ta áp dụng tính chất của tỉ số để chứng minh 
 b d b2 d2
bất đẳng thức.
 Lời giải
 a c ab cd
 Từ suy ra , theo tính chất tỉ số ta được 
 b d b2 d2
 ab ab cd cd c
 b2 b2 d2 d2 d
 a ab cd c
Do đó ta có 
 b b2 d2 d
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c
 1
 b c c a a b
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất 
đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên để đánh giá được bất đẳng thức theo Cauchy không hề đơn giản tí nào với 
những ai mới học bất đẳng thức. 
 a
 Chú ý đến giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ như thế nào với , 
 b c
 a
do b c a nên ta thấy được 0 1, với kết quả đó ta có thể khử căn bằng đánh giá 
 b c
 a a
 . Đến đây thì bài toán đươc giải quyết triệt để tương tự như ví dụ thứ nhất.
 b c b c
 Lời giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có 
 a a a
 0 1 
 b c b c b c
 a a
Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được 
 b c a b c
 a a
Do đó ta có 
 b c a b c
 b b c c
Chứng minh tương tự ta được ; 
 c a a b c a b a b c
 a b c
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 1
 b c c a a b
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 
 1 a b a b a b
 2 a 1 b 1 a b 1 a 1 b 1
 a a a a a b
Phân tích: Để ý ta thấy 1 nên có và , áp dụng tương tự ta 
 a 1 a b 1 a 1 a 1 a b 1
chứng minh được bất đẳng thức. 
 Lời giải
 1 a b a b
+ Trước hết ta chứng minh 
 2 a 1 b 1 a b 1
 a a a b
Do a là số thực dương nên ta có 1 suy ra 
 a 1 a 1 a b 1
 b a b
Chứng minh tương tự ta có 
 b 1 a b 1
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cuối ta được
 1 a b a b
 2 a 1 b 1 a b 1
 a b a b
+ Ta chứng minh 
 a b 1 a 1 b 1
 a a b b
Do a, b dương ta có và 
 a 1 a b 1 b 1 a b 1 a b a b
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được 
 a b 1 a 1 b 1
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được bài toán cần chứng minh. 
Ví dụ 7. Cho a1; a2;...; an; b1; b2;...; bn là các số thực dương. Kí hiệu 
 a a a a a a 
 M Max 1 ; 2 ; ...; n ; m Min 1 ; 2 ; ...; n 
 b b b b b b 
 1 2 n 1 2 n 
 a a ..... a
 Chứng minh rằng: m 1 2 n M 
 b1 b2 .... bn
 a a a a a a a
Phân tích: Nhận thấy M Max 1 ; 2 ; ...; n ; m Min 1 ; 2 ; ...; n nên ta có m i M 
 b b b b b b b
 1 2 n 1 2 n i
với mọi i 1, 2, , n . Do đó ta được mbi ai Mbi , đến đây ta áp dụng cho i 1, 2, , n thì ta 
được bất đẳng thức cần chứng minh.
 Lời giải
 a a a a a a 
Vì M Max 1 ; 2 ; ...; n ; m Min 1 ; 2 ; ...; n nên ta được 
 b b b b b b 
 1 2 n 1 2 n 
 a
 m i M với mọi i 1, 2, , n .
 bi
Suy ra mbi ai Mbi với mọi i 1, 2, , n .
Lần lượt cho i bằng các giá trị 1, 2, , n rồi cộng các theo vế lại với nhau ta được
 b1 b2 .... bn m a1 a2 ..... an M b1 b2 .... bn 
 a a ..... a
Hay m 1 2 n M . Vậy bài toán được chứng minh.
 b1 b2 .... bn
Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần 
phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượng nhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu được vẫn 
nhỏ hơn hoặc bằng vế phải. Điều đó có nghĩa là cần tìm vế phải cho bất đẳng thức a3 b3 abc ?, để 
ý trong vế trái của bất đẳng thức ta không đánh giá được gì từ tích abc, cho nên ta tập trung đánh giá 
a3 b3 . Trong vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc ở mẫu nên khi đánh giá mẫu 
vế trái ta cũng cần làm xuất hiện tích abc ở các phân thức, như vậy khi đánh giá a3 b3 cần làm xuất 
hiện tích ab, điều này gợi ý cho ta đánh giá rất đẹp a3 b3 ab a b . Nếu chứng minh được bất đẳng 
thức đó thì ta thu được kết quả là a3 b3 ab a b khi đó ta suy ra được đánh giá 
a3 b3 abc ab a b c . Đến đây ta có các đánh giá tiếp theo 
 1 1 c
 a3 b3 abc ab a b c abc a b c Như vậy ta cần tập trung chứng minh a3 b3 ab a b , bất đẳng thức này được biến đổi tương 
 2
đương thành a b a b 0 là một đánh giá đúng. 
 Lời giải
Ta có 
 a3 b3 ab a b a b a2 ab b2 ab a b 
 a b a2 ab b2 ab a b a2 2ab b2 
 2
 a b a b 0
Suy ra 
 a3 b3 ab a b a3 b3 abc ab a b abc
 a3 b3 abc ab a b c 
 1 1 c
Từ đó ta được 
 a3 b3 abc ab a b c abc a b c 
Chứng minh tương tự ta có 
 1 1 a
 b3 c3 abc bc a b c abc a b c 
 1 1 b
 c3 a3 abc ac a b c abc a b c 
Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được
 1 1 1 1
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hay. Để chứng minh được nó ta cần chứng minh 
a3 b3 ab a b . Nhưng vấn đề là làm sao tìm ra được bất đẳng thức phụ đó. Đầu tiên là do yêu cầu 
làm xuất hiện tích ab, kế đến là cần phải làm cho hai vế đồng bậc 3 và cuối cùng là chú ý khi a b thì 
hai vế của bất đẳng thức đó bằng nhau. Khi phân tích bài toán ta cần chú ý đến các yếu tố như đẳng thức 
xẩy ra ở đâu, tính đồng bậc của bất đẳng thức, chọn chiều đánh giá như thế nào cho hợp lí,... Tuy nhiên 
khi tiến hành các bước phân tích mà giả thiết càng gần với kết luận thì cơ hội càng lớn.
Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2
Phân tích: Ý tưởng tương tự như ví dụ trên, ở đây ta chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1, 
như vậy ta cần có các đánh giá sao cho đảm bảo có đẳng thức xẩy ra. Nhận thấy 
a2 b2 2ab; b2 1 2b nên a2 2b2 3 2 ab b 1 .
 1 1 1
Khi đó ta có đánh giá  . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức
 a2 2b2 3 2 ab b 1
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 2 2 2 
 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 
 1 1 1
 Vấn đề còn lại là chứng minh được 1. Đây là một đẳng 
 ab b 1 bc c 1 ca a 1
thức quen thuộc và nhiều hướng để xử lí nó. 
 Lời giải Ta có a2 b2 2ab; b2 1 2b a2 2b2 3 2 ab b 1 
 1 1 1
 Do đó ta được 
 a2 2b2 3 2 ab b 1
Chứng minh tương tự ta có 
 1 1 1 1 1 1
  ; 
 b2 2c2 3 2 bc c 1 c2 2a2 3 2 ac a 1
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 2 2 2 
 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 
 1 1 1
Ta cần chứng minh 1
 ab b 1 bc c 1 ca a 1
Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau
 x y z
Cách 1: Do abc 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để a ; b ; c 
 y z x
Khi đó ta có 
 1 1 1 1 1 1
 ab b 1 bc c 1 ca a 1 x y y z x z
 1 1 1
 z z x x y y
 z x y
 1
 x y z x y z x y z
Cách 2: Do abc 1, nên ta được 
 1 1 1 abc a 1
 ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b abc abc ac a ca a 1
 ac a 1
 1
 a 1 ac 1 ac a ca a 1
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
 2 2 2
 1
 2 2 2
 a 1 b2 1 b 1 c2 1 a 1 b2 1
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 2
 a 1 b2 1 a2 b2 2a 2 2ab 2a 2
Áp dụng tương tự ta được 
 2 2 2
 2 2 2
 a 1 b2 1 b 1 c2 1 a 1 b2 1
 1 1 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
 1 1 1
Ta cần chứng minh 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau
 x y z
Cách 1: Do abc 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để a ; b ; c 
 y z x
Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1 x x y y z z
 1 1 1
 z y x z y x
 yz xz yy
 1
 xy yz zx xy yz zx xy yz zx
Cách 2: Do abc 1, nên ta được 
 1 1 1 abc 1 b
 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a abc bc b 1 cab bc b
 bc 1 b
 1
 bc b 1 bc b 1 1 bc b
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong ví dụ 8, 9 và 10 cho thấy kỹ thuật đánh giá ở mẫu được sử dụng như 
thế nào trong chứng minh bất đẳng thức, thực chất của việc đánh giá này là thay thế các mẫu bởi các đại 
lượng khác sao cho các đánh giá cùng chiều và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Điều quan trọng là biết 
cách chọn các đánh giá phù hợp sao cho càng chặt càng tốt.
Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng: 
 ab bc ca
 1
 a b ab b c bc c a ca
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta có nhận 
xét là tử của các phân thức là các đại lượng ab, bc, ca. Chú ý đến giả thiết abc 1 ta có thể viết lại phân 
 ab 1 ab 1
thức bên vế trái theo các ý tưởng như hoặc là . 
 a b ab ac bc 1 a b ab 1 1
 1
 a b
 Đến đây ta viết được vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành các biểu thức 
 1 1 1 1 1 1
 hoặc và để đơn giản ta có 
ac bc 1 ab bc 1 bc ca 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1
 a b b c c a
 1 1 1
thể đặt x 3 ab; y3 bc; z3 ca hoặc x 3 ; y3 ; z3 và chú ý đến giả thiết abc 1 dẫn đến 
 a b c
được xyz 1, lúc này ta được bất đẳng thức như ví dụ 9.
 Lời giải
Để ý với điều kiện abc 1, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 1 1 1
 1
 1 1 1 1 1 1
 1 1 1
 a b b c c a
 1 1 1
Đặt x 3 ; y3 ; z3 , khi đó ta được xyz 1.
 a b c
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
 1 1 1
 1
 x 3 y3 1 y3 z3 1 z3 x 3 1
Ta chứng minh được x 3 y3 1 xy x y xyz xy x y z và áp dụng tương tự ta được 
 1 1 1 1 1 1 1 
 1
 3 3 3 3 3 3 
 x y 1 y z 1 z x 1 x y z xy yz zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1.
Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức khó, khi tôi phân tích để tìm lời giải thì các câu hỏi 
được đặt ra như biến đổi các biểu thức như thế nào để bài toán đơn giản hơn, sử dụng giả thiết như thế 
nào đây, thay vì đánh giá cả tử và mẫu ta có quy vế đánh giá mẫu được không. Sau các bước biến đổi 
như trên thì bài toán nhìn có vẻ dễ hơn đôi chút và nếu tận dụng tốt các lợi thế này thì công việc còn lại 
sẽ không gây được khó khăn nữa. 
Ví dụ 12. Cho các số thực a; b; c [0; 1]. Chứng minh rằng:
 a b c
 1
 ac b 1 ab c 1 bc a 1
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy 
không thể trực tiếp đánh giá tử của các phân thức, do vậy ta tìm cách đánh giá mẫu của mỗi phân thức. 
Chú ý đến chiều của bất đẳng thức trên, ta cần một đánh giá kiểu ab c 1 ?. Giả thiết có gợi cho ta 
điều gì? Nên nhớ là khi a; b; c [0; 1] ta thường thu được các bất đẳng thức dạng 1 a 1 b 0 hay 
1 ab a b , đến đây ta cộng vào hai vế với c thì được ab c 1 a b c . Lúc này ta có đánh giá 
 a a
tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức là . Chỉ cần áp dụng tương tự cho các 
 ab c 1 a b c
trường hợp còn lại là ta hoàn thành chứng minh bài toán.
 Lời giải
Vì a; b [0; 1] nên ta có 1 a 1 b 0 suy ta 1 ab a b 
 a a
Do đó ta được ab c 1 a b c suy ra .
 ab c 1 a b c
Chứng minh tương tự ta được 
 b b c c
 ; 
 ab c 1 a b c bc a 1 a b c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 a b c
 1
 ac b 1 ab c 1 bc a 1
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
 Ví dụ 13. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 
 1 a2 1 b2 1 c2 7
 1 b2 1 c2 1 a2 2
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy ra tại a b c mà xẩy ra tại 
a 1; b c 0 và các hoán vị. Trong trường hợp này để dễ có những đánh giá hợp lí ta có thể sắp thứ 
tự các biến. Vì đẳng thức xẩy ra tại a 1; b c 0 nên không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự các biến 
bằng cách chọn a là số lớn nhất. Khi đó ta mạnh dạn có các đánh giá kiểu như 1 b2 1; 1 c2 1 mà 
 1 a2 1 b2
vẫn bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, các đánh giá này dẫn tới 1 a2; 1 b2 . Còn 
 1 b2 1 c2
 1 c2
lại cần phải đánh giá như thế nào để cùng chiều với hai đánh giá trước đó. Để ý là sau khi đánh giá 
 1 a2
 1 c2
hai phân thức đầu ta thu được a2 b2 như vậy ta cần làm xuất hiện c2 trong đánh giá . Để ý đến a 
 1 a2 1 c2 1
là số lớn nhất nên ta có c2 . Kết quả là sau một số bước đánh giá như trên ta thu được 
 1 a2 1 a2
 1
đại lượng 2 a2 b2 c2 , bây giờ nếu biến đổi được thành biểu thức chỉ chứa biến a thì càng 
 1 a2
dễ chứng minh hơn. Từ giả thiết a b c 1 và chú ý đến b c 0 ta có một đánh giá rất tự nhiên là 
 2 2
b2 c2 b c 1 a . Bây giờ việc chứng minh bất đẳng thức hoàn toàn đơn giản.
 Lời giải
Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. 
Khi đó ta có 1 b2 1; 1 c2 1.
 1 a2 1 b2 1 c2 1
 Do đó 1 a2; 1 b2; c2 
 1 b2 1 c2 1 a2 1 a2
Từ đó ta được bất đẳng thức 
 1 a2 1 b2 1 c2 1
 2 a2 b2 c2 
 1 b2 1 c2 1 a2 1 a2
 2 1 2 1
 2 a2 b c 2 a2 1 a 
 1 a2 1 a2
Ta cần chứng minh 
 2 1 7
 2 a2 1 a a 1 4a3 3a 1 0
 1 a2 2 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b c 0 và các hoán vị.
Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm ra cách chứng minh bất đẳng thức trên chính là các đánh giá 
1 a2 1 b2 1 c2 1
 1 a2; 1 b2; c2 , việc phát hiện ra các đánh giá đó đòi hỏi phải có 
1 b2 1 c2 1 a2 1 a2
sự suy luận một cách lôgic.
 a b c
Ví dụ 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 3.
 1 bc 1 ca 1 ab
 a b c 3
 Chứng minh rằng: 
 1 a bc 1 b ca 1 c ab 4
 Lời giải
 a b c
Đặt x ; y ; z , suy ra ta có x y z 3
 1 bc 1 ca 1 ab
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
 x y z 3
 1 x 1 y 1 z 4
 x x y y z z
 Mà ta có ; ; 
 1 x 1 x y z 1 y 1 x y z 1 z 1 x y z
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 x y z 3
 1 x 1 y 1 z 4
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a 3; b c 0 và các hoán vị.
2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 15. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: