Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương I, Chủ đề 6: Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (Có đáp án)

 Chủ đề 6
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki
 Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – 
Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng 
trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này 
chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga 
Bunhiacopxki.
 Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó 
ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán 
THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
a. Dạng tổng quát
+ Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a3; ...; an và b1; b2; b3; ...; bn . Khi đó ta có:
 2
Dạng 1: a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 a b a b ... a b
 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 
Dạng 2: a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 a b a b ... a b
 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
 a a a
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 1 2 ... n 
 b1 b2 bn
Dạng 3: a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 a b a b ... a b
 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
 a a a
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 1 2 ... n 0 
 b1 b2 bn
 Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; ...; an và x1; x2; ...; x n với x1; x2; ...; x n 0
 2
 2 2 2
 a a a a1 a2 ... an 
Khi đó ta có 1 2 ... n 
 x1 x2 x n x1 x2 ... x n
 a a a
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: 1 2 ... n 0 
 x1 x2 x n
 Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức 
Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng 
phân thức. 
b. Một số dạng đặc biệt
 n 2 n 3
 2 2
 a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz
 a2 b2 x2 y2 ax by a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay by cz
 2 2
 a2 b2 a b a2 b2 c2 a b c 
 x y x y x y z x y z
 x, y 0 x, y 0 
 a b a b c
 Đẳng thức xẩy ra khi Đẳng thức xẩy ra khi 
 x y x y z
B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi
 Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng 
minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác 
định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví 
dụ sau
Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1
 A a2 
 a2
+ Sai lầm thường gặp: 
 1 1
 Sai lầm 1: A a2 2a. 2.
 a2 a
 2
 1 1 1 1 1
 Sai lầm 2: A 1 1 a2 a .4 2
 2 
 2 a 2 a 2
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 
 1
 a a 1 trái với giả thiết a 2
 a
 2
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức a2 b2 x2 y2 ax by với dấu đẳng thức xẩy ra 
 a b
tại . Giả sử với các số ;  ta có
 x y
 1 1 1 1  
 A a2 . a2 . 2  2 a 
 2 2 2 2 2 2 
 a  a  a 
Ta cần chọn hai số ;  sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
 a 2
 4
 a 1 
  1
 a
+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2
 1 1 1 1 1 
 A a2 a2 . 42 1 4a 
 2 2 
 a 17 a 17 a 
 2 2
 1 a 1 15a 1 15 17
 1 
 5 4 a 4 17 2 4
 17
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2.
 4
Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn a b 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1
A a2 b2 
 a2 b2
+ Sai lầm thường gặp: 
 1 1
 A a2 b2 2 2 2 2
 a2 b2
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 2 .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 
 1 1
 a b a b 1
 a b
Khi đó a b 2 trái với giả thiết a b 4
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức a2 b2 x2 y2 ax by với dấu đẳng thức xẩy ra 
 a b
tại 0. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. 
 x y
Giả sử với các số ;  ta có
 1 1 1 1  
 a2 . a2 . 2  2 a 
 2 2 
 a 2  2 a 2  2 a 
 1 1 1 1  
 b2 . b2 . 2  2 b 
 2 2 
 b 2 2 b 2 2 b
   
 1 1 1 
 A a b  
 2  2 a b 
 Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại 
a b 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
 a 1
 a 4
 a b 2 
 b 1  1
 b
+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
 1 1 1 1 1 
 a2 . a2 . 42 12 4a 
 2 2 
 a 17 a 17 a 
 1 1 1 1 1 
 b2 . b2 . 42 12 4b 
 2 2 
 c 17 b 17 b 1 1 1 
Khi đó ta được A 4 a b 
 17 a b 
 1 1 4
Để ý ta thấy , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được 
 a b a b
 1 4 1 a b 4 15 a b 
 A 4 a b 
 a b 4 a b 4
 17 17 
 1
 2 15 17
 17
 a 1
Dấu đẳng thức xẩy ra 4 a a b 2
 b 1
 4 b
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17. Đẳng thức xẩy ra khi a b 2.
Ví dụ 1.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a b c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1 1
 A a2 b2 c2 
 b2 c2 a2
+ Sai lầm thường gặp: 
 1 1 1 a b c
 A a2 b2 c2 2. 2. 2. 33 2 2 3 2
 b2 c2 a2 b c a
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 .
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 3 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 
 1 1 1
 a b c a b c 1
 a b c
Khi đó a b c 3 không thỏa mãn giả thiết a b c 6
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức a2 b2 x2 y2 ax by với dấu đẳng thức xẩy ra 
 a b
tại 0. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. 
 x y
Giả sử với các số ;  ta có
 1 1 1 1  
 a2 . a2 . 2  2 a 
 2 2 
 b 2  2 b 2  2 b 
 1 1 1 1  
 b2 . b2 . 2  2 b 
 2 2 
 c 2  2 c 2  2 c 
 1 1 1 1  
 c2 . c2 . 2  2 c 
 2 2 
 a 2 2 a 2 2 a
   
 1 1 1 1 
 A a b c  
 2  2 a b c 
 Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại 
a b c 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a 1
 b
 b 1 4 4
 a b c 2 ab bc ca 
  1
 c  1 
 c 1
 a
+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
 1 1 1 1 1 
 a2 . a2 . 42 12 4a 
 2 2 
 b 17 b 17 b 
 1 1 1 1 1 
 b2 . b2 . 42 12 4b 
 2 2 
 c 17 c 17 c 
 2 1 1 2 1 2 2 1 1 
 c . c . 4 1 4c 
 a2 a2 a
 17 17 
 1 1 1 1 
Khi đó ta được A 4 a b c 
 17 a b c 
 1 1 1 9
Để ý ta thấy , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được 
 a b c a b c
 1 9 1 a b c 9 15 a b c 
 A 4 a b c 
 a b c 4 a b c 4
 17 17 
 1 15 3 3 17
 .6 2. 
 17 4 2 2
 a 1
 4 b
 b 1
Dấu đẳng thức xẩy ra a b c 2
 4 c
 c 1
 4 a
 3 17
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , khi a b c 2
 2
Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1 1
 A a2 b2 c2 
 b c c a a b
Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ;  ta 
có: 2 
 2 1 1 2 1 2 2 1  
 a a  a 
 b c 2 2 b c 2 2 b c
   
 2 1 1  
 b b 
 c a 2  2 c a 
 2 1 1  
 c c 
 a b 2  2 a b 
 1 1 1 1 
 A a b c  
 2  2 a b b c c a 
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại 
 a b c 2
Do đó ta có sơ đồ điểm rơi
 a 1
 b
 b 1 4 4
 a b c 2 ab bc ca 
  1
 c  1 
 c 1
 a
 Lời giải
 2 1 1 2 1 2 2 1 1 
 a . a . 4 1 4a 
 b c 17 b c 17 b c 
 2 1 1 1 
 b 4b 
 c a 17 c a 
 2 1 1 1 
 c 4c 
 a b 2 2
 4 1 a b 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 1 1 1 1 
 A 4 a b c 
 17 a b b c c a 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được 
 1 9 
 A 4 a b c 
 17 a b a b c a 
 1 9
 4 a b c 
 17 6 a b c 
 1 31 1 9 9
 a b c a b c 
 17 8 8 2 6 a b c 2 6 a b c 
 1 31 1 9 9 3 17
 .6 33 a b c . . 
 17 8 8 2 6 a b c 2 6 a b c 2
 3 17
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2
 2
Ví dụ 1.5: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 2abc 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức
 8 9b2 c2a2 8 9c2 a2b2 8 9a2 b2c2
 A 
 a2 2 4 b2 2 4 c2 2 4
Phân tích: Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại 
a b c 2. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi
 a 1
 b
 b 1 4 4
 a b c 2 ab bc ca 
  1
 c  1 
 c 1
 a
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 
 8 9b2 c2a2 4
 2 18 4. 9b ca
 a2 2 4 a
 8 9c2 a2b2 4
 2 18 4. 9b ca
 2
 b 2 4 b
 8 9a2 b2c2 4
 2 18 4. 9b ca
 2 2 4 a
 c
 1 4 4 4 
Do đó ta được A 9 a b c ab bc ca 
 24 a b c 
 4 4 4 
Hay 24.A 9 a b c ab bc ca 
 a b c 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
 4 4 4 
 24.A a b c 2a bc 2b ac 2c ab 6 a b c 
 a b c 
 4 4 4
 2 .a 2 .b 2 .c 2 2abc 2 2abc 2 2abc 6 a b c Suy ra 
 a b c 
 12 6 a b c 2abc 72
 72
ta được A 6 6
 24
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 6 6 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2. 
Ví dụ 1.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1
 A 4a2 4b2 4c2 
 a2 b2 c2
 1
Phân tích: Trong ví dụ này ta xét biểu thức đại diện A 4a2 . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử 
 a2
căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường:
 1 1 1 
 4a2 2a 
 2 
 a 2 a 
 1
 Đẳng thức xảy ra khi a , khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa mãn giả thiết của toán. 
 2
 2
Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c . Khi đó ta cần chọn một bộ số ;  để có đánh giá 
 3
 
 2 .2a 
 1 1 1  
 A 4a2 2  2 2a a
 2 
 2  2 a 2  2 a 2  2
 2
 Dấu đẳng thức xẩy ra tại a với a . Từ đó dễ dàng chọn được a 8; b 9
 2a 3
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
 1 9 1 1 9 
 82 92 4a2 16a 4a2 16a 
 2 2 
 a a a 145 a 
 1 9 1 1 9 
 82 92 4b2 16b 4b2 16b 
 2 2 
 b b b 145 b 
 1 9 1 1 9 
 82 92 4c2 16c 4c2 16c 
 2 2 
 c c c 145 c 
Từ đó ta được 
 1 1 1 1 1 81 145
A 16 a b c 9 16 a b c Vậy giá 
 145 a b c 145 a b c 2
 145 2
trị nhỏ nhất của A bằng . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c .
 2 3
 3
Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 2
 1 1 1 1 1 1
A a2 b2 c2 
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 1 1
Phân tích: Xét biểu thức A a2 . Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực 
 a2 b2
 1 1 1 1 1 
tiếp thì ta được a2 a . Khi đó dấu đẳng thức không xẩy ra tại 
 2 2 
 a b 3 a b 
 1
a b c . Từ đó ta chọn các số p, q, r để có đánh giá như sau:
 2
 1 1 1 
A a2 p2 q2 r2
 2 2 
 p2 q2 r2 a b 
 q r
 2 pa 
 1 q r a b
 ap 
 p2 q2 r2 a b p2 q2 r2
 1 1
 a 2
 Và đẳng thức xảy ra tại a b với a b c . Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa 
 p q r 3
 1
mãn là p , q r 2.
 2
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
 1 1 1 a 2 2 1 1 2 a 2 2 
 22 22 a2 a2 
 2 2 2 2 2 
 2 a b 2 a b a b 33 2 a b 
 1 1 1 b 2 2 1 1 2 b 2 2 
 22 22 b2 b2 
 2 2 2 2 2 
 2 b c 2 b c b c 33 2 b c 
 1 1 1 c 2 2 1 1 2 c 2 2 
 22 22 c2 c2 
 2 2 2 2 2 
 2 c a 2 c a c a 33 2 c a 
Từ đó ta được
 2 a b c 1 1 1 2 3 36 3 33
 A 4 
 33 2 a b c 33 4 a b c 2
 3 33 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi a b c .
 2 2
Ví dụ 1.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 4b2 9c2 2015. Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức: P a b c
 Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
 2
 2
 2 1 1 1 
 P a b c am. bn. cp. 
 m n p 
 1 1 1 
 a2m2 b2n2 c2p2
 2 2 2 
 m n p 
 Để sử dụng được giả thiết ta a2 4b2 9c2 1cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa 
mãn m2a2 n2b2 p2c2 x2 4y2 9z2
 m 1
 am bn cp 
 n 2
 1 1 1
 p 3
 m n p 
Khi đó ta có lời giải như sau
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 
 2
 2
 2 1 1 
 P a b c a. 2b. 3c. 
 2 p 
 1 1 1 14
 a2 4b2 9c2 
 2 2 2 
 1 2 3 36
 14 14
Do đó ta được P hay giá trị nhỏ nhất của P là 
 6 6
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 2 2 2
 a 4b 9c 1 1 1 1
 a ; b ; c 
 a 4b 9c
 7 28 63
Ví dụ 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãna 2b 3c 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: P a2 b2 c2
 Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 
 2
 m2 n2 k2 a2 b2 c2 ma nb kc 
Để áp dụng giả thiết a 2b 3c 6 ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau
 ma nb kc a 2b 3c m 1
 a b c n 2
 k 3
 m n k 
Khi đó ta có lời giải như sau
Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta được 
 2
 1 a 2b 3c 142
 P . 12 22 32 a2 b2 c2 14
 14 14 14
Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 14. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
 a 2b 3c 14
 a b c a 1; b 2; c 3
 1 2 3
Ví dụ 1.10: Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a 9b 16c 49. Chứng minh rằng: 
1 25 64
 49
a b c
 Phân tích và lời giải
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được