Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương II, Chủ đề 10: Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị (Có đáp án)

 Chủ đề 10. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI 
 TOÁN TÌM CỰC TRỊ
 Trong việc chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị của một biểu thức, vận dụng phương pháp 
 dồn biến để khảo sát hàm số là một chủ đề rất được nhiều bạn học sinh tham gia các kỳ thi chọn 
 HSG và kỳ thi TSĐH, THPT – Quốc Gia quan tâm.
 Để có thể dồn một biểu thức nhiều biến về một biến chúng ta có nhiều kỹ thuật, tuy nhiên trong 
 nội dung của chủ đề chúng tôi chỉ giới thiệu một số kỹ thuật quan trọng, thường gặp và sắp xếp 
 theo sự phổ biến của các kỹ thuật đó gồm:
 - Vận dụng các bất đẳng thức kinh điển.
 - Kết hợp kỹ thuật đổi biến số.
 - Kết hợp kỹ thuật sắp thứ tự các biến.
 - Phương pháp tiếp tuyến.
 - Khảo sát hàm nhiều biến.
 - Kết hợp với việc sử dụng bổ đề.
 - Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển
 1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. 
 ❖ Bài toán 1 . Cho các số thực 
 a,b,c 0;1 : abc 1 a 1 b 1 c . Chứng minh rằng 
 3
 a2 b2 c2 .
 4
 Phân tích. Khai triển đẳng thức ở giả thiết cho ta:
 2
 a2 b2 c2 a b c 1 1 4abc 
 3
 a b c 
 Để ý là : abc . Từ đó ta quy việc giải bài toán bất đẳng thức 
 AM GM 3 
 về bài toán khảo sát hàm số theo biến t a b c, t 0;3 . 
 Lời giải. Ta có abc 1 a b c ab bc ca abc
 1 a b c ab bc ca 2abc 
 2
 a b c a2 b2 c2 
 1 a b c 2abc
 2 
 2 2 4 3
 a2 b2 c2 a b c 1 1 4abc a b c 1 1 a b c 
 27
 4
 Đặt t a b c t 0;3 . Xét hàm số F t t3 t2 2t 2
 27
 3
 4 t 
 Ta có F ' t t2 2t 2 0 2 . 
 9 
 t 3
 3 3
 Lập bảng biến thiên ta có: Min F t F 
 2 4
 3 1
 Vậy a2 b2 c2 . Dấu " " xảy ra khi a b c .
 4 2
 ❖ Bài toán 2. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn 
 xz 2xy yz 4z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2
 x y 3 z 
 P 
 2y z 2x z 2 x y z 
 Lời giải. Ta có 2 2
 2 x y x y x y x y
4z x y z 2xy 2 8 0 2 
 AM GM 2 z z z
Lại có : 
 2
 x y 
 2 2 
 x y 3 z z 3 1 
P 2 
 x y x y z 2 x y z x y 2 x y 
 1 1 
 z z 
 x y t 3
Đặt t, t 2 . Khảo sát hàm số f t 2 , t 2; 
 z t 1 2 t 1 
 5
Ta tìm được min f t f 2 
 2; 6
 5
Hay min P x y z . 
 6
 ❖ Bài toán 3. Cho các số thực không âm thỏa mãn a b c2 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 a b 32c
 P 
 a c b c 27 c 1 
Lời giải.
 2
 a b c c a b c ab c 2 
Ta có 0 
 a c b c c 1 a c b c c 1 
 a b c
 a c b c c 1
 4
 c 32 c 4 32
Do đó P . Xét hàm số f t t t, t 0 có:
 c 1 27 c 1 27
 32 2
f ' t 4t3 f ' t 0 t 
 27 3
 16
Lập bảng biến thiên ta có f t 
 27
 16
Do đó min P a 0,b 4,c 2 hoặc b 0,a 4,c 2. 
 27
 ❖ Bài toán 4. Cho các số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ 
 1 27
 nhất của biểu thức P 2 3 
 32 abc 2a2 2b2 c 1 
Lời giải.
 1 27 1 1
 Ta có P 2 3 2 
 AM GM 32 abc 4ab c 1 AM GM 32 abc 4abc
 1 1
Đặt t abc, t 0. Xét hàm số f t , t 0; có :
 32t2 4t
 4t 1 1
f ' t f ' t 0 t . 
 16t3 4
 1 1
Lập bảng biến thiên ta có f t f 
 4 2
 1
 1 a b 
Hay min P 2 
 2
 c 1.
 ❖ Bài toán 5. (HSG Tỉnh Nghệ An – 2012) Cho các số thực 
 dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 2 3
 P 
 a ab 3 abc a b c Lời giải. 
 1 a 4b 1 a 4b 16c 4
Ta có a ab 3 abc a . . a b c 
 AM GM 2 2 4 3 3
 3 3
Suy ra P 
 2 a b c a b c
Đặt t a b c, t 0
 3 3 3 3
Xét hàm số f t với t 0 ta có f ' t .
 2t t 2t t 2t2
 3 3
 f ' t 0 0 t 1
 2t t 2t2
 3
Lập bảng biến thiên ta có min f t f 1 .
 t 0 2
 16
 a 
 21
 3 a b c 1 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi b 
 2 a 4b 16c 21
 1
 c 
 21
 16 4 1 
 a,b,c , , .
 21 21 21 
 ❖ Bài toán 6. Cho các số thực x, y, z không âm và thỏa mãn 
 điều kiện x 3y 2z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 x2 9y2
 P 2 3z z2
 xy 1
Lời giải.
 2
 x2 9y2 x2 9y2 x 3y 6
Ta có 2 6 4 4 
 xy 1 xy 1 xy 1
 2
 x 3y 6 2
 4 x 3y 2 Do xy 0 
 0 1
Lại do x 3y 3 2z , vậy nên : 
 2 9
P 3 2z 2 3z z2 . Đặt t z2 3z,t . . 
 4
 7 15
Khảo sát hàm số f t 4t 11 t ta tìm được max f t f 
 9 
 ; 4 4
 4 
 x 3y 2z 3 2 3 1
 x 0, y , z 
 15 xy 0 3 2 2
Hay max P 
 4 7 3 1
 z2 3z 0 x 2, y 0, z 
 4 2 2
 ❖ Bài toán 7. (Khối B năm 2014) Cho các số thực a,b,c 
 không âm và thỏa mãn điều kiện (a b)c 0 . Tìm giá trị nhỏ 
 a b c
 nhất của biểu thức P 
 b c a c 2(a b)
Lời giải.
 a b 2(a b) 2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có . 
 b c a c a b c c
 1 
 a b
 2 c
Vậy P , 
 c 2(a b)
 1 
 a b c 2 1
Đặt t ,t 0. Xét hàm số g(t) t với t 0 , 
 a b 1 t 2
 3
Khảo sát hàm số ta được GTNN của P bằng đạt được khi a 0,b c,b 0 .
 2
 ❖ Bài toán 8. Cho các số thực a,b,c là các số thực dương thỏa 
 mãn điều kiện a2 bc b2 c2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
 thức
 b c 3a3
 P 2 2 2 2 6
 a c a b b c 
Lời giải.
 a2 b2 c2 bc a2 b c b3 c2
Từ giả thiết ta có 
 2 2 2 b c
 a b c bc b c 3bc 
 2
 2a2 b c 3a3 2a2 b c 3a3
Nên P 6 2 6 
 a2 c2 a2 b2 b c ab ac b c 
 2 3a3 2 3
 6 3 
 b c b c b c 8 b c 
 1 3
Đặt t,t 0 . Khảo sát hàm số f t 2t t3 ,t 0 
 b c 8
 4 16
Ta tìm được Max f t f 
 0; 3 9
 16 3
Hay max P a b c . 
 9 8
 ❖ Bài toán 9. Cho các số thực x, y, z là các số thực dương thỏa 
 mãn điều kiện x2 y2 z 3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 thức
 x y x3 y3
 P 
 y z x z 16z
Lời giải. 
Ta có 3xy x2 y2 z 2xy z xy z 
 x y (x y)2 (x y)2 4
 y z x z 2xy z(x y) xy(2 x y) 2 x y
Suy ra 
 x3 y3 xy(x y) x y
 16z 16z 16
 4 x y
Do đó P 
 x y 2 16
 4 t
Đặt t x y, t 0. Khảo sát hàm số f t , t 0; 
 t 2 16
 7
Ta được min f t f 6 . 
 0; 8
 7 x y 3
Hay min P 
 8 z 9
 ❖ Bài toán 10. Cho các số thực x, y, z là các số thực dương 
 thỏa mãn điều kiện x2 z2 y2 xy 3yz zx . Tìm giá trị lớn 
 nhất của biểu thức
 x 1
 P 2 
 2y z xy y 2z 
Lời giải. 2
Ta có x2 z2 y2 xy 3yz zx x z x y y 3z 
 2 2
 x y y 3z x 2y 3z 
 x 2y 3z 2 x z 2y z x 
 2 4
 x 1
Do đó 2 . Lại có :
 2y z 2y z
 2
 1 1 3y y 2z 1 2 1 3
xy y 2z x. 3y y 2z x. x 2y z 2y z 
 3 3 2 3 3
 1 3
Nên P 3 
 2y z 2y z 
 1 3
Đặt 2y z t,t 0. Khảo sát hàm số f t ,t 0; 
 t t3
 2 2 x 3
Ta tìm được max f t f 3 . Hay max P 
 0; 9 9 y z 1
 ❖ Bài toán 11. Cho các số thực x, y, z là các số thực dương 
 thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 biểu thức
 2y2 3x3 3xy2 2x2 y
 P 2
 2y xz y z 2 
Lời giải. Ta có :
 1
 2y xz y2 4 x2 z2 x2 y2
 2 
 3 2 2 2 2 2 2 2 2
 3x 3xy 2x y 3x(x y ) x(x y ) 2x(4 z ) x(2 z)
 2y2 x 2 x
Từ đó suy ra P 2 2 2 
 x y y x y
 1
 y 
 x 2
Đặt t ,t 0 . Khảo sát hàm số f t t, t 0 
 y t2 1
Suy ra min f t f 1 2 . Hay min P 2 x y z 2. 
 0; 
 ❖ Bài toán 12. Cho các số thực x, y,z thỏa mãn 
 0
 x y 
 2 . 
 x y 1 10z
 xy x y 2z 1 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 
 z4
Lời giải.
 2
 2 x y xy
Từ giả thiết suy ra z 0. Lại có x y 4xy 
 4z2 z2
 2 2
Từ giả thiết x y 1 10z x y 1 10z2 
 2
 x y 1 x y 1
 10 10
 2 2 
 z z z z
 3
 xy x y 1 1 1 1 
Do đó P . 2 10 2 
 2 2 
 z z z 4 z z 
 1
Đặt t 0 . Xét hàm số f t t 2 10 t2 10 t2 ,t 0 
 z
Ta có f ' t 2t2 3t 5 10 t2 f ' t 0 t 1 Lập bảng biến thiên ta có Max f t 81 t 1 
 0; 
 z 1
 81 
Hay MaxP 3 
 4 x y 
 2
 ❖ Bài toán 13. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 
 a2 b2 c2 2 . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 a c 2 3
 P 2 2 .
 a 2bc 2 a b 1 2 a b 
 2
Lời giải. Từ giả thiết ta có a2 b c 2 bc 1 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 2
2 bc 1 a2 b c 2a b c bc 1 ab ac 
 2bc 1 ab bc ca 
 a2 2bc 2 a b 1 a2 ab bc ca 2a 2b 
 a2 2bc 2 a b 1 a c 2 a b 
 a c 2 1
 a2 2bc 2 a b 1 a b
 1 3
Từ đó suy ra P 2 
 a b 2 a b 
 1
Đặt t 0 , đồng thời 
 a b
 2
 a b 1
 a2 b2 2 c2 2 a b 4 t 
 2 4
 3 2 1 
Xét hàm số f t t t , t ; f ' t 1 3t 
 2 4 
 1 3
Lập bảng biến thiên suy ra f t f 
 3 6
 3 2 1 1 
Hay MaxP a,b,c ; ; .
 6 3 3 3 
 ❖ Bài toán 14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều 
 kiện a 2b 3c 18abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 1 3 1 1 
 P a 2b 3c 2 2 .
 3 3 2b 1 3 a 3c 
Lời giải.
 3
 a 2b 3c 
Ta có a 2b 3c 18abc 3.a. 2b 3c 3 
 AM GM 3 
 2
 a 2b 3c 9 a 2b 3c 3. 
 2 6
 3 
 2b 1 AM GM 2b 5 2 2 24
Lại có : 3 3 
 2 6 2b 1 a 3c a 2b 3c 9
 3 
 a 3c AM GM a 3c 4
 1 48
Do đó P a 2b 3c 
 3 a 2b 3c 9
 1 48
Đặt a 2b 3c t, t 3 . Khảo sát hàm số f t t , t 3; 
 3 t 9 Ta được min f t f 3 5 
 3; 
Hay min P 5 a 2b 3c 1. 
 ❖ Bài toán 15. Cho các số thực không âm x, y,z thỏa mãn 
 5 x2 y2 z2 6 xy yz zx . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 x y z y2 z2 . 
Lời giải.
 2
Từ 5 x2 y2 z2 6 xy yz zx 5 y2 z2 6yz y z 
 2
 y z y z 
Suy ra x y z . Do đó P 2 y z 
 5 2
 t4
Đặt y z t,t 0 . Khảo sát hàm số f t 2t , t 0 
 2
 x 1
 3 3 
Ta được Max f t f 1 . Hay MaxP 1 
 0; 2 2 y z .
 2
 ❖ Bài toán 16. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn 
 x2 y2 z2 1 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 1 xy 1 yz 1 xz
 P 2 x y z .
 1 y z 1 z x 1 x y
Lời giải.
 1 xy 1 yz 1 xz
Ta có 
 1 y z 1 z x 1 x y
 2 2 2
 x y z2 xy y z x2 yz z x y2 zx
 1 y z 1 z x 1 x y
 2 2 2
 3 x y 4z2 3 y z 4x2 3 z x 4 y2
 4 1 y z 4 1 z x 4 1 x y 
 2 2 2
 3 4 x y z x y z 4 x y z 
 4 2 x y z 3 2 x y z 3 2 x y z 3
 2
 4 x y z 
Suy ra P 2 x y z 
 2 x y z 3
 4t2
Đặt x y z t, 0 t 3 . Khảo sát hàm số f t 2t, t 0; 3 
 2t 3 
Ta tìm được min f t f 3 6 3 12 
 0; 3 
 1
Hay min P 6 3 12 x y z . 
 3
 ❖ Bài toán 17. Cho các số thực x, y, z 1 thỏa mãn 
 x y z 3 . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 x2 y2 1
 P .
 x2 y2 4 xy 1 z2 4x 5
Lời giải. Ta có x y z 3 . 
Đồng thời, do x, y 1 x 1 y 1 0 xy x y 1 
 2 2
Do đó x2 y2 4 xy 4 x y 2xy 4 x y 2 x y 2 
 2
 3 z 2 3 z 2 z2 4z 5 2 2
Lại có x2 y2 x y 2xy x y 2 x y 2 z2 18z 17 
 z2 8z 16
Từ các kết quả trên suy ra P .
 z2 4z 5
 z2 8z 16
Khảo sát hàm số f z 2 , z 1; 
 z 4z 5
 3 
Ta tìm được max f z f 5 .
  1; 2 
 5 3 5 3 
Hay max P 5 x; y; z 1; ; , ; 1;  
 2 2 2 2 
 ❖ Bài toán 18. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn 
 x2 y2 z . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1 2xy z 3z2
 P .
 x2 y2 1 z2 1 z2 1 z2
Lời giải. 
Từ điều kiện giả thiết ta có 1 2xy z z 1 2xyz x2 y2 2xyz 
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 
 2
x2 y2 2xyz x2 y2 2xyz 
 2
 x2 y2 4x2 y2 1 z2 x2 y2 1 z2
 1 3z2
Từ đó : P 
 1 z2 1 z2 z2
 1 3z2
Xét hàm số f (z) , z 0 
 1 z2 1 z2 1 z2
 z 1 z2 5 4z2 
Ta có : f (z) 3 
 1 z2 
 5
Nên : f (z) 0 5 2z 0 z . 
 2
 16
Lập bảng biến thiên cho ta có giá trị lớn nhất của P là . 
 9
 4 125
 x 
 2 2 2xy
 x y 2 2
 z 4
 2 2 5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z y 
 2 2
 5
 z 5
 2 z 
 2
 ❖ Bài toán 19. Cho các số thực không âm x, y,z thỏa mãn 
 2 2 2
 x y y z z x 6 . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 2
 x y z 1 2
 P xy yz zx . 
 z 6 24
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
 2 2 2
2 x y y z z x 22 1 1 x y y z z x 6 
 1 1
 3x 3y 2z 6 3 x y z 6 z 
 6 z 3 x y z 2
Từ điều kiện ban đầu, khai triển ta lại có: x y z 3 xy yz zx 
 2
 x y z 1 2
Từ đó cho ta P x y z 3 
 3 24 
 2 2
 x y z 2 x y z 
Lại có xy yz zx x y z 3 
 3 3
 3 2
 0 x y z .
 2
 3 2 
Đặt t x y z, t 0; . 
 2 
 2
 2
 t t 3 3 2 
Khảo sát hàm số f t ,t 0; 
 3 24 2 
 5 5 x y 1
Ta được max f t f 2 . Hay max P 
 3 2 
 0; 8 8 z 0.
 2 
 ❖ Bài toán 20. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn 
 x y 1 z . 
 x y z2 2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 
 x yz y zx z xy
Lời giải. Ta có: x y 1 z z xy x 1 y 1 nên
 x y z2 2
P 
 z y 1 yz z x 1 zx x 1 y 1 
 x y z2 2
 y 1 z 1 x 1 z 1 x 1 y 1 
 x y z2 2
 y 1 x y x 1 x y x 1 y 1 
 2
 x y 
 2 2 2 x y 2
 x y x y z 2 4 z 2
 2 2
 x y x 1 y 1 x 1 y 1 x y 2 x y 2 
 x y 
 4 4
 2
 2 4 z 2 
 2 .
 z 1 z 1 
 2
 2 4 z 2 
Khảo sát hàm số f z 2 , z 0 cho ta 
 z 1 z 1 
 13 13 x y 1
min f z f 3 . Hay min P 
 0: 14 14 z 3
 ❖ Bài toán 21. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 
 a b c 0
 . 
 ab bc ca 3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 4b
 P a a 2b a 2c c c 2a c 2b .
 a c
Lời giải. 
Ta có a 2b a 2c a2 2ab 2ac 4bc a2 2bc 6 1 
và a b a c 0 a2 ab ac bc 0 a2 2bc ab bc ca 3 2 
Từ (1), (2) suy ra a 2b a 2c 9 , tương tự c 2a c 2b 9 3 ac 
 4 2
 4b a c 12 a c 12
Do đó P 3 a c 3 a c 3 a c 2 3 a c 2 1 .
 a c a c a c a c 
 12
Đặt a c t,t 0 . Khảo sát hàm số f t 3t 1, t 0 ta được
 t2
min f t f 2 8 . Hay min P 8 a b c 1. 
 0; 
 ❖ Bài toán 22. Cho x, y, z 1;3 : x y 2z 6 . Tìm GTLN, 
 GTNN của biểu thức P x3 y3 5z3 .
 2 2 2 2
Lời giải. Từ giả thiết ta có : 4xy 4 3 z x y 4 3 z xy 3 z 
 2
Ta lại có : x 1 y 1 0 xy x y 1 5 2z 5 2z xy 3 z .
Mặt khác ta có : 2z 6 x y 4 z 1;2 .
 2 2
Ta có : P x y x y 3xy 5z3 2 3 z 4 3 z 3xy 5z3 .
 2
Vì 5 2z xy 3 z 
 3 2
 2 3 z 5z3 P 2 3 z 4 3 z 6z 15 5z3 , z 1;2 
 3 3 3 2
 2 3 z 5z P 3z 60z 150z 126, z 1;2 .
 3
Đặt f z 2 3 z 5z3 , g z 3z3 60z2 150z 126.
Xét hàm số f z , g z trên miền z 1;2 
Đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm số f z , g z ta có :
Min f z 210 60 10 tại z 2 10 x y 5 10 .
Max g z 42 tại z 2 x y 1.
Vậy Min P 210 60 10 khi x y 5 10, z 2 10 .
Max P 42 khi x y 1, z 2.
 ❖ Bài toán 23. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều 
 kiện 2a2 3 b2 c2 4ab 3ac . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 thức
 2 2 2
 a 1 c b 4 2b2 c2
 P .
 25bc ab 2ac
Từ giả thiết ta có 4ab 3ac 2a2 3 b2 c2 a2 4b2 a2 4c2 b2 c2 
 4ab 4ac b2 c2 b2 c2 ac 1 
 2
Lại có a b c 0 2ab 2ac a2 2b b c c2 b2 
 2
 4b2 b c 
 a2 c2 b2 
 2
 2 2 2
 2a 3 b c 4ab 3ac a
 bc bc ac 2bc 0 2 2 
 2 2 b
 2 2 2 2
 a c 4 b c 2b2 c2
Lúc đó P 
 25bc ab 2ac
 2
 2 4a2 c2 ac b b c 1 a b
 1 . . 
 25bc a b2 2bc 5 b a
 t 1 1 1 t2 5
Xét hàm số f t , t 0;2 có f ' t 2 0,0 t 2. 
 5 t 5 t 5