Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương III, Chủ đề 11: Một số bất đẳng thức hay và khó (Có đáp án)

 Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
 Nội dung cơ bản của chương gồm
 Lựa chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích các 
hướng tiếp cận bài toán và các lời giải độc đáo.
 Tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức từ các đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp 
THCS, THPT và một số bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10 chuyên toán trong một số năm trở lại đây .
 Giới thiệu các bài tập tổng hợp để các em học sinh có thể tự rèn luyện. 
 Chủ đề 11
 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ
 Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, 
cùng với đó là quá trình phân tích để đi đến hình thành lời giải cho bài toán bất đẳng thức đó. Từ các bài 
toán đó ta sẽ thấy được quá trình phân tích đặc điểm của giả thiết bài toán cũng như bất đẳng thức cần 
chứng minh, từ đó có những nhận định, định hướng để tìm tòi lời giải và cách trình bày lời giải cho một 
bài toán bất đẳng thức. 
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 bc ca ab 1 1 1
 a2 b c b2 c a c2 a b 2a 2b 2c
 Phân tích và lời giải
 Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c. Có thể nói đây là một bất đẳng thức hay 
tuy nhiên nó không thực sự khó. Quan sát bất đẳng thức ta có một cách tiếp cận bài toán như sau
Cách 1: Từ chiều của bất đẳng thức, ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá. 
 1
Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiều số? Để ý bên vế trái bất đẳng thức có chứa và 
 a2
 1
bên vế phải lại chứa nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta cũng cần triệt tiêu các đại 
 a
 bc
lượng . Chú ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá sau
 b c
 bc b c bc b c 1
 2  
 a2 b c 4bc a2 b c 4bc a
Thực hiện tương tự ta có 
 ca c a 1 ab a b 1
 ; 
 b2 c a 4ca b c2 a b 4ab c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 bc ca ab b c c a a b 1 1 1
 a2 b c b2 c a c2 a b 4bc 4ca 4ab a b c
 b c c a a b 1 1 1 1 
Để ý là , lúc này ta thu được
 4bc 4ca 4ab 2 a b c 
 bc ca ab 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 
 a b c b c a c a b a b c 2 a b c bc ca ab 1 1 1
Hay 
 a2 b c b2 c a c2 a b 2a 2b 2c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Cách 2: Ý tưởng thứ hai là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 
 2
 bc ca ab ab bc ca 
 a2 b c b2 c a c2 a b abc a b c b c a c a b 
Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 
 2
 ab bc ca 1 1 1
 abc a b c b c a c a b 2a 2b 2c
Biến đổi vế trái ta được 
 2 2
 ab bc ca ab bc ca 1 1 1
 abc a b c b c a c a b 2abc ab bc ca 2a 2b 2c
Điều này có nghĩa là bất đẳng thức được chứng minh.
Cách 3: Ý tưởng tiếp theo là sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bài toán. Chú ý đến 
 bc 1 ab bc ca
phép biến đổi , khi đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng sau 
 a2 b c a a2 b c 
ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 1 1 1 
 . Biến đổi vế trái ta lại được 
 2 2 2 
 a b c b c a c a b 2 a b c 
3 1 1 1 3 ab bc ca 
 . Đến lúc này ta đưa bài toán cần chứng minh thành 
2 a b c 2abc
 1 1 1 3
 a2 b c b2 c a c2 a b 2abc
Đến đây ta biến đổi bất đẳng thức bằng cách nhân cả hai vế với tích abc ta được 
 bc ca ab 3
 ab ca bc ab ca bc 2
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Neibitz. Điều này đồng nghĩa với việc bất đẳng thức được 
chứng minh. 
Cách 4: Ta tiếp tục phân tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy 
 bc 1
 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 
 2
a b c 2 1 1 
 a 
 b c 
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 a b c 
 a b c 
 b c c a a b 
 1 1 1
Đến đây ta đặt x ; y ; z . Khi đó bất đẳng thức trở thành 
 a b c
 x2 y2 z2 x y z
 y z z x x y 2
Bất đẳng thức cuối cùng làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 2
 x2 y2 z2 x y z x y z
 y z z x x y 2 x y z 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 a b c
 1
 b 2c c 2a a 2b
 Phân tích và lời giải
 Cũng như bài toán trên ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c. Với bất đẳng thức trên ta 
cũng có một số ý tưởng tiếp cận bài toán như sau 
Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là đánh giá bất đẳng thức trên theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân 
thức. Khi đó ta được 
 2
 a b c a2 b2 c2 a b c 
 b 2c c 2a a 2b ab 2ca bc 2ab ca 2bc 3 ab bc ca 
 2
 a b c 
 Bài toán sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1, nhưng đánh giá này chính là 
 3 ab bc ca 
 2
 a b c 3 ab bc ca . Đây là một bất đẳng thức quen thuộc. 
Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Cách 2: Ta tiếp tục đánh giá bất đẳng thức với ý tưởng đổi biến. Quan sát bất đẳng thức ta hướng đến 
việc đổi biến làm đơn giản mẫu các phân số. Cho nên rất tự nhiên ta thực hiện phép đặt 
x b 2c; y c 2a; z a 2b , khi đó suy ra x, y, z 0. Thực hiện biểu diễn các biến cũ theo 
 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z
biến mới ta được a ; b ; c 
 9 9 9
 Khi này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z
 1
 9x 9y 9z
 4 y z x 1 z x y 2
 Hay 1
 9 x y z 9 x y z 3
 y z x z x y
 Dễ dàng nhận ra 3; 3 theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó ta được 
 x y z x y z
 4 y z x 1 z x y 2 4 1 2
 1
 9 x y z 9 x y z 3 3 3 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Cách 3: Bây giờ ta thử đánh giá bất đẳng thức trên theo hướng đánh giá mẫu của các các phân thức xem 
sau. Quan sát ta nhận thấy b 2c b 2a 2 a b c , lại theo một bất đẳng thức Cauchy ta thấy 
 2
 2a 2b 2c 2
 b 2c b 2a a b c cho nên rất tự nhiên ta thực hiện phép đánh giá 
 4 
sau a a b 2a a b 2a 
 2
 b 2c b 2c b 2a a b c 
 Thực hiện tương tự ta được 
 b b c 2b c c a 2c 
 ; 
 2 2
 c 2a a b c a 2b a b c 
 Lúc này ta thu được bất đẳng thức 
 a b c a b 2a b c 2b c a 2c 
 2
 b 2c c 2a a 2b a b c 
 Để ý là 
 a b 2a b c 2b c a 2c a2 b2 c2 2 ab bc ca 
 1
 2 2
 a b c a b c 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 
 a b c
 1
 1 b a 1 c b 1 a c
 Phân tích và lời giải
 1
 Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c . Trước hết ta áp dụng giả thiết viết lại 
 3
 a b c
bất đẳng thức cần chứng minh thành 1. Đây chính là bất đẳng thức trong 
 c 2b a 2c b 2a
bài 2, do đó ta có thể chứng minh bất đẳng thức theo các cách như trên. Ngoài ra ta còn có thêm giả thiết 
a b c 1, ta thử phân tích xem còn có thêm ý tưởng nào khác không?
 2
Cách 1: Để ý là a b c 1 ta có a b c 1. Khi đó ta cần biến đổi a b c làm xuất hiện 
 a b c
các đại lượng ; ; . Với nhận định này ta biến đổi được như sau
 c 2b a 2c b 2a
 a b c
 a b c a c 2b b a 2c c b 2a 
 c 2b a 2c b 2a
Khi đó ta sẽ được 
 2
 2 a b c 
 a b c a c 2b b a 2c c b 2a 
 c 2b a 2c b 2a 
Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
 2
 a b c 
 a c 2b b a 2c c b 2a 
 c 2b a 2c b 2a 
 a b c 
 a c 2b b a 2c c b 2a 
 c 2b a 2c b 2a 
 2
 a b c a b c 
Như vậy lúc này ta được 
 c 2b a 2c b 2a 3 ab bc ca Rõ ràng đây cũng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Điều này đồng 
nghĩa với bài toán được chứng minh.
 a
Cách 2: Cũng từ giả thiết a b c 1 ta được 1 b a 0, suy ra 0.
 1 b a
 2
 a 1 a b 
 2 a 
Dễ thấy 1 a b 1, do đó ta có a 1 a b
 1 b a 1 b a 
Ta thực hiện tương tự được 
 b c
 b 1 b c ; c 1 b a
 1 c b 1 a b 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 a b c
 a 1 a b b 1 b c c 1 c a
 1 b a 1 c b 1 a c 
Bài toán sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 a 1 a b b 1 b c c 1 c a 1
 Hay a b c a2 b2 c2 ab bc ca 1
 Chú ý đến đánh giá a2 b2 c2 ab bc ca ta thấy đánh giá cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Bài 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
 a2 b2 c2
 a b c
 b c a c a b a b c
 Phân tích và lời giải
 Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một 
tam giác nên ta có b c a 0; c a b 0; a b a 0. Chú ý đến hình thức phát biểu của bài 
toán ta có một số ý tưởng chứng minh như sau
Cách 1: Cách phát biểu vế trái của bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến áp dụng bất đẳng thức 
Bunhiacopxki dạng phân thức và ta có kết quả là
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 a b c
 b c a c a b a b c b c a c a b a b c
Đây chính là điều ta cần phải chứng minh. 
Cách 2: Ý tưởng thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Khi đó ta được 
 a2 b2 c2
 b c a 2a; c a b 2b; a b c 2c
 b c a c a b a b c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
 a2 b2 c2
 a b c 2 a b c
 b c a c a b a b c 
 a2 b2 c2
Hay a b c
 b c a c a b a b c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 a2
Cách 3: Trước hết ta chứng minh 3a b c .
 b c a 
 Thật vậy, với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với a2 b c a 3a b c 
 2 2
 a2 3a2 4a b c b c 2a b c 0
 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được chứng minh.
 Áp dụng tương tự ta được 
 b2 c2
 3b c a ; 3c a b
 c a b a b c 
 Do đó ta được 
 a2 b2 c2
 3 a b c 2 a b c a b c
 b c a c a b a b c 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 3
 a3 b c b3 c a c3 a b 2
 Phân tích và lời giải
 Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có 
một số ý tưởng tiếp bài toán như sau 
Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta phân tích xem nên sử dụng cho mấy 
 1
số. Đầu tiên ta chú ý đến đại lượng bên vế trái nên rất tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho 
 a3
 1
ba số, ta cũng cần phải làm triệt tiêu . Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá là 
 b c
 1 b c 1 3
 . 
a3 b c 4 2 2a
 Áp dụng tương tự ta có
 1 c a 1 3 1 a b 1 3
 ; 
 b3 c a 4 2 2b c3 a b 4 2 2c
 Lúc này cộng theo vế các bất đẳng thức trên thì được 
 1 1 1 a b c 3 3 3 3
 a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 2 2a 2b 2c
 1 1 1 1 1 1 3
 Hay 
 a3 b c b3 c a c3 a b a b c 2
 1 1 1 1
 Để ý tiếp ta lại thấy 3.3 3
 a b c abc
 1 1 1 3
Do đó ta được 
 a3 b c b3 c a c3 a b 2
Như vậy bài toán được chứng minh.
 Cũng sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhưng với hai số dương ta có thể thực hiện được không? Ta 
 1 1 1
chú ý đến đại lượng bên vế trái, nếu muốn đánh giá về ta cần khử được và như 
 a3 b c a a b c vậy chú ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương đó là 
 1 a b c 
 và . Khi đó ta được 
a3 b c 4
 1 a b c 1 a b c 1
 2  
 a3 b c 4 a3 b c 4 a
Áp dụng tương tự ta được 
 1 b c a 1 1 c a b 1
 ; 
 b3 c a 4 b c3 a b 4 c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 1 1 1 ab bc ca 1 1 1
 a3 b c b3 c a c3 a b 2 a b c
Để ý đến giả thiết abc 1 ta được 
 1 1 1 1 1 1 1 
 3 3 3 
 a b c b c a c a b 2 a b c 
Đến đây ta thực hiện tương tự như trên.
Cách 2: Chú ý đến giả thiết abc 1 ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh
 1 1 1 3
 a3 b c b3 c a c3 a b 2
 abc abc abc
 1 1 1
 2 2 2 3
 Hay a b c 
 1 1 1 1 1 1 2
 b c c a a b
 1 1 1
 Đến đây để đơn giản hóa ta đặt x ; y ; z , suy ra xyz 1và bất đẳng thức cần 
 a b c
chứng minh được viết lại thành 
 x2 y2 z2 3
 y z z x x y 2
Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên.
Hướng 1: Áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy ta được 
 2
 x2 y2 z2 x y z x y z 33 xyz 3
 y z z x x y 2 x y z 2 2 2
Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
 x2 y z x2 y z
 2  x
 y z 4 y z 4
 y2 z x y2 z x
 2  y
 z x 4 z x 4
 z2 x y z2 x y
 2  z
 x y 2 x y 2
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được x2 y2 z2 x y z
 x y z
 y z z x x y 2
 x2 y2 z2 x y z 33 xyz
 Hay 1
 y z z x x y 2 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 a5 b5 c5 a3 b3 c3
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3
 Phân tích và lời giải
 Quan sát cách phát biểu của bài toán thì ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 
dạng phân thức và khi đó ta được 
 2
 3 3 3
 a5 b5 c5 a b c 
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2
Như vậy ta cần chỉ ra được 
 2
 3 3 3
 a b c a3 b3 c3
 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3
 Hay 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2
 Dễ thấy a3 b3 ab a b ; b3 c3 bc b c ; c3 a3 ca c a 
 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
 a5
 Ý tưởng thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy, để ý đến đại lượng bên vế trái và 
 a2 ab b2
 a3
đại lương bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng Cauchy cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức 
 3
xẩy ra tại a b c và cần triệt tiêu được a2 ab b2 nên ta chọn hai số đó là 
 2 2
 a5 a a ab b 
 ; . Khi đó ta được 
a2 ab b2 9
 2 2 2 2
 a5 a a ab b a5 a a ab b 2a3
 2  
 a2 ab b2 9 a2 ab b2 9 3
Áp dụng tương tự ta có 
 2 2 2 2
 b5 b b bc c 2b3 c5 c c ca a 2c3
 ; 
 b2 bc c2 9 3 c2 ca a2 9 3
 a5 b5 c5
Để đơn giản hóa ta đặt A 
 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 a a2 ab b2 b b2 bc c2 c c2 ca a2 2 a3 b3 c3 
 A 
 9 9 9 3 5 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 
 Hay A 
 9
 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
 3 3 3 2 2 2 2 2 2
 5 a b c a b ab b c bc c a ca a3 b3 c3
 9 3
 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2
Đến đây ta thực hiện tương tự như cách 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
 30
 a2 b2 c2 ab bc ca
 Phân tích và lời giải
 1
 Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh 
 3
ta nhận thấy các biến đều nằm dưới mẫu nên rất tự nhiên ta nghĩ đến các bất đẳng thức Cauchy, 
Bunhiacopxki dạng phân thức 
Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức trên với ý tưởng đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy. Để ý 
đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có a2 b2 c2 ab bc ca nên đầu tiên để tạo ra đại lượng 
 1 1 1 9
ab bc ca ta có đánh giá quen thuộc là . 
 ab bc ca ab bc ca
 Do đó ta có bất đẳng thức 
 1 1 1 1 1 9
 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca
 Như vậy ta cần phải chứng minh được 
 1 9
 30
 a2 b2 c2 ab bc ca
 Lại chú ý đến đánh giá tương tự như trên nhưng ta cần cộng các mẫu sao cho có thể viết được thành 
 2
 a b c điều này có nghĩa là ta cần đến 2 ab bc ca . Đến đây ta hai hướng là: 
 2
 1 2 1 2 2
 - Thứ nhất là đánh giá 1 2 , Tuy nhiên 
 2 2 2 2 
 a b c 2 ab bc ca a b c 
đánh giá này không xẩy ra dấu đẳng thức. 
 1 1 1 9
 - Thứ hai là đánh giá 9. 
 2 2 2 2
 a b c ab bc ca ab bc ca a b c 
 7
 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 21
 ab bc ca
 2
 a b c 1
 Tuy nhiên, dễ thấy ab bc ca ab bc ca 
 3 3
 7
Do đó ta được 21
 ab bc ca
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta được 1 1 1 1 16
 a2 b2 c2 3ab 3bc 3ca a2 b2 c2 3 ab bc ca 
 16
 12
 2 1 2
 a b c a b c
 3 
 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 
 2 1 1 1 
 18
 3 ab bc ca 
 Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 
 2 1 1 1 6 6
 18
 3 ab bc ca ab bc ca 1 2
 a b c
 3 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Cách 3: Theo một đánh giá quen thuộc ta có 
 1 1 1 9
 ab bc ca ab bc ca
Do đó ta có bất đẳng thức 
 1 1 1 1 1 9
 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca
Áp dụng tiếp đánh giá trên ta được 
 1 1 1 
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 9
 2 2 2 
 a b c ab bc ca ab bc ca 
 1 2
 Hay 9
 a2 b2 c2 ab bc ca
 7
 Mặt khác ta lại có 21
 ab bc ca
 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 
 1 1 1 1
 30.
 a2 b2 c2 ab bc ca
 1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c .
 3
Bài 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 
 a b c
 3
 b c a
 Phân tích và lời giải
 Trước hết để mất dấu căn ta đặt x a; y b; z c , khi đó từ giả thiết ta có 
 x2 y2 z2
x2 y2 z2 3 và bất đẳng thức được viết lại thành 3. Quan sát bất đẳng thức và dự 
 y z x
đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại x y z 1, ta có một số ý tưởng tiếp cận bài toán như sau 
Cách 1: Từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy 
nhiên cần chú ý đến giả thiết x2 y2 z2 3, khi đó ta có đánh giá 
 2
 2 2 2
 x2 y2 z2 x 4 y4 z4 x y z 9
 y z x x2y y2z z2x x2y y2z z2x x2y y2z z2x