Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 1: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 1: Rỳt gọn biểu thức và bài toỏn liờn quan
A. Bài toỏn
 a a a 1
Bài 1: Rỳt gọn biểu thức B : với a 0 ; a 4
 a 2 a a 2 a 4 a 4
 x y y y x x
Bài 2: Cho biểu thức M 
 1 xy
 1) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn M.
 2
 2) Tớnh giỏ trị của M, biết rằng x 1 3 và y 3 8
 2 2 2
Bài 3: Cho biểu thức: C 
 a 16 a 4 a 4
 1) Tỡm điều kiện của a để biểu thức C cú nghĩa và rỳt gọn C.
 2) Tỡm giỏ trị của biểu thức C khi a 9 4 5
 a a a 1
Bài 4: Cho biểu thức: M : a 0;a 4 
 a 2 a a 2 a 4 a 4
 1) Rỳt gọn biểu thức M.
 2) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để M ≤ 0.
 a2 a 2a a
Bài 5: Cho biểu thức A 1 với a 0 .
 a a 1 a
 1) Rỳt gọn A.
 2) Tỡm giỏ trị của a để A = 2.
 3) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A.
 1 2 x 1
Bài 6: Rỳt gọn biểu thức: A 
 x x x 1 x x
 x 2 x 4 x 2 x 1 1 2 
Bài 7: Cho biểu thức A : 3 
 x x 8 x 1 x 2 x 1 
 1) Rỳt gọn A.
 2) Tỡm giỏ trị của x để A > 1.
 10 x 2 x 3 x 1
Bài 8: Rỳt gọn biểu thức: A x 0;x 1 
 x 3 x 4 x 4 1 x
 x 3 x 2 x 2 x 2 
Bài 9: Cho biểu thức: A : 1 
 x 2 3 x x 5 x 6 x x 2 
 1) Rỳt gọn biểu thức A.
 1
 2) Tỡm x để P 2.A đạt giỏ trị lớn nhất.
 x 3x 16x 7 x 1 x 3
Bài 10: Cho biểu thức: P Với x 0
 x 2 x 3 x 3 x 1
 1) Rỳt gọn biểu thức P
 2) Tớnh giỏ trị của biểu thức khi x 2 2 3
Bài 11: 
 1) Tớnh giỏ trị của biểu thức A 3 26 15 3 3 26 15 3 .
 a 2 2 a 2 a 7 3 a 2 1 1 
 2) Rỳt gọn biểu thức P . : .
 3 3 a 2 11 a a 3 a 2 2 a 2 
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
Bài 12: Cho A = 
 2 1 x2
 1) Rỳt gọn A
 1
 2) Tỡm x biết A 
 2
Bài 13: Tớnh giỏ trị biểu thức: M (x y)3 3(x y)(xy 1) , biết:
 x 3 3 2 2 3 3 2 2 , y 3 17 12 2 3 17 12 2
 1 1 1
Bài 14: Cho biểu thức A : 
 x x x 1 x 2 x 1
 1) Rỳt gọn A .
 3
 2) Tỡm x để A .
 2
Bài 15: 
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1) Rỳt gọn biểu thức P với x 0 , x 1 .
 x x 1 x x 1
 100 50
 2) Cho x 3 2 . Tớnh giỏ trị của biểu thức A 7 x2 4x x2 4x 2016 .
Bài 16: 
 x 2 x 1 x 2 x 1
 1) Rỳt gọn biểu thức: P , với x 2 .
 x 2x 1 x 2x 1
 1
 2) Cho x là số thực dương thỏa món điều kiện x2 7 . Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức 
 x2
 1 1
 A x5 ; B x7 .
 x5 x7
 x 3 2 x 4 x 4 2017
Bài 17: Rỳt gọn biểu thức P . Tỡm x sao cho P .
 x 3 x 2 2018
 1 11 2
Bài 18: Tớnh A 
 2 11 18 5 11
 x 2 x 1 x 1
Bài 19: Cho biểu thức với x 0 ; x 1
 A :
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 1) Rỳt gọn A 2
 2) Chứng minh A .
 3
 1 1 1 1 2017
Bài 20: ChoA = + + + ... + . So sỏnh A với .
 22 32 42 22018 2018
 x 1 xy x xy x x 1 
Bài 21: Cho biểu thức P 1 : 1 với x; y 0 và 
 xy 1 1 xy xy 1 xy 1 
 xy 1.
 1) Rỳt gọn P .
 2) Tớnh giỏ trị của biểu thức P khi x 3 4 2 6 3 4 2 6 và y x2 6 .
Bài 22: 
 3 3 x 3 
 1) Rỳt gọn biểu thức A  1 , với x 3; x 0 .
 2 3 
 x x 3 3 x 27 3 x 
 1 1 1 1 1 1
 2) Tớnh tổng B 1 1 ... 1 .
 12 22 22 32 20182 20192
 2 a b a a3 2 2b3 
Bài 23: Rỳt gọn biểu thức: P  a với a 0 ; 
 3 3 
 a 2 2b a 2ab 2b 2b 2ab 
 b 0; a 2b .
 2 3 5 13 48
Bài 24: Cho biểu thức: A . Chứng minh A là một số nguyờn.
 6 2
 3 5 2 6 11 6 2
Bài 25: Rỳt gọn biểu thức: A .
 2 6 2 5 7 2 10
 1 3 2
Bài 26: Cho biểu thức A với x 0 .
 x 1 x x 1 x x 1
 1) Rỳt gọn A .
 2) Tỡm giỏ trị lớn nhất của A .
Bài 27: Khụng dựng mỏy tớnh cầm tay, hóy rỳt gọn biểu thức 
 B 4 10 2 5 4 10 2 5
 x x x 1 x 2 x 5 
Bài 28: Rỳt gọn biểu thức P : với x 0 ; x 4
 x 2 x 2 x x 1 x x 2 
Bài 29: 
 2
 1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau .
 3 4 3 2 2
 x 3 2 x 1 x 2
 2) Tỡm điều kiện để biểu thức A cú nghĩa và rỳt gọn A .
 x 2 x 1 x 3 x 2
 2x 16x 6 x 2 3
Bài 30: Rỳt gọn biểu thức: P 2 .
 x 2 x 3 x 1 x 3 2
 2 2
 x 3 12x 2
Bài 31: Cho biểu thức B x 2 8x . Rỳt gọn biểu thức B và tỡm cỏc giỏ 
 x2
trị nguyờn của x để B cú giỏ trị nguyờn
 x x x 5 2x
Bài 32: Cho biểu thức P 
 x 1 x 1 x 1
 a) Tỡm điều kiện của x để P xỏc định và rỳt gọn P.
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P cú giỏ trị bằng 7.
 xy x xy x 
Bài 33: Cho biểu thức P x 1 1 : 1 x 1 .
 xy 1 1 xy xy 1 xy 1 
 a) Rỳt gọn biểu thức P.
 b) Cho 1 1 8. Tỡm giỏ trị lớn nhất của P.
 x y
 x x 3 x 2 x 2 
Bài 34: Cho biểu thức A 1 :
 x 1 x 2 3 x x 5 x 6 
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x 7 4 3 . 
 c) Tỡm m để cú giỏ trị của x thoả món A x 1 m x 1 2
 x 2 x 2
Bài 35: Cho biểu thức: P 
 x x x 2 x ( x 1)(x 2 x)
 a) Rỳt gọn P .
 b) Tớnh P khi x 3 2 2 .
 c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 36: Cho biểu thức:
 x x x 4 x 4 x x x 4 x 4
 A với x 0, x 1, x 4 .
 2 3 x x x 2 3 x x x
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 (2 3) 7 4 3
 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x .
 2 1
 3 5 3 5
Bài 37: Rỳt gọn biểu thức A = 
 2 2 3 5 2 2 3 5
 2ab a x a x 1
Bài 38: Cho cỏc số dương: a; b và x = . Xột biểu thức P = 
 b 2 1 a x a x 3b
 a) Chứng minh P xỏc định. Rỳt gọn P.
 b) Khi a và b thay đổi, hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P.
 x x 4x x 4
Bài 39: Cho biểu thức: A 
 2x x 14x 28 x 16
 a) Tỡm x để A cú nghĩa, từ đú rỳt gọn biểu thức A .
 b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn. x y x y x2 y 2 y
Bài 40: Cho biểu thức . ,(x 0; y 0, x y)
 x y y x x y y x x y x y
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 b) Tớnh giỏ trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trỡnh t2 – 4t + 1 = 0.
 2 a a 2a - 3b 3b 2 a - 3b - 2a a
Bài 41: Cho biểu thức M = 
 a 2 3ab
 a) Tỡm điều kiện của a và b để M xỏc định và rỳt gọn M.
 11 8
 b) Tớnh giỏ trị của M khi a = 1 3 2 , b = 10 
 3
 x y x y x y 2xy 
Bài 42: Cho biểu thức: P : 1 .
 1 xy 1 xy 1 xy 
 a) Rỳt gọn biểu thức P.
 2
 b) Tớnh giỏ trị của P với x .
 2 3
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
Bài 43: a)Rỳt gọn biểu thức A 
 2 1 x2
 với . 1 x 1
 b) Cho a và b là cỏc số thỏa món a > b > 0 và a3 a2b ab2 6b3 0 .
 a4 4b4
Tớnh giỏ trị của biểu thức B .
 b4 4a4
 xy x xy x 
Bài 44: Cho biểu thức A x 1 1 : 1 x 1 .
 xy 1 1 xy xy 1 xy 1 
 1. Rỳt gọn biểu thức A.
 2. Cho 1 1 6 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của A.
 x y
Bài 45: Cho biểu thức: 
 a 1 a 1 1 
 P 4 a a .
 a 1 a 1 a 
 a) Rỳt gọn P.
 b) Tớnh giỏ trị của P tại a 2 3 3 1 2 3 .
 x 2 x 1 x 1
Bài 46: Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
a) Rỳt gọn biểu thức P.
 2
b) Tỡm x để P .
 7 c) So sỏnh: P2 và 2P.
 2 x 9 2 x 1 x 3
Bài 47:Rỳt gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9.
 x 5 x 6 x 3 2 x
 2 x 1 2x x 2 x 1
Bài 48:Rỳt gọn biểu thức: A :
 3
 1 x x x 1 x 1
Bài 49:Rỳt gọn biểu thức B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
 5 3 3 5
Bài 50:Rỳt gọn biểu thức: A = 
 2 3 5 2 3 5
 x2 x x2 x
Bài 51: Cho A 
 x x 1 x x 1
a) Nờu điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B
 x 4 2x 5 x 1 x 1 1
Bài 52:Cho biểu thức với x 0 và x .
 P x x 2 
 2x 3 x 2 4x 1 2 x 4
 3
 Rỳt gọn biểu thức P và tỡm x để P .
 2
Bài 53: Rỳt gọn biểu thức A x 4 x 4 x 4 x 4 với x ≥ 4.
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
Bài 54: Cho P = + 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
1. Rỳt gọn P. Với giỏ trị nào của x thỡ P > 1
2. Tỡm x nguyờn biết P đạt giỏ trị nguyờn lớn nhất
 x 4 x x 8 ( x 2) 2 2 x 
Bài 55: Cho biểu thức A = : 
 x 2 4 x x 2 
Với x khụng õm,khỏc 4.
a,Rỳt gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x khụng õm,khỏc 4
c,Tỡm x để A là số nguyờn
 x x 26 x 19 2 x x 3
Bài 56: Cho biểu thức: P 
 x 2 x 3 x 1 x 3
a) Rỳt gọn P.
b) Tỡm x để P đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 3x 16x 7 x 1 x 7 x 
Bài 57: Cho biểu thức: A  2 
 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 b) Tỡm x để A 6. x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
Bài 58: Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
Rỳt gọn M và tỡm x để M>1
 x x x 4 x 4 x x x 4 x 4
Bài 59: Cho biểu thức: A với 
 2 3 x x x 2 3 x x x
 x 0, x 1, x 4 .
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 (2 3) 7 4 3
 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x .
 2 1
Bài 60: Cho biểu thức:
 a a 1 a a 1 1 3 a 2 a
 p ( a )( ).
 a a a a a a 1 a 1
 a) Rỳt gọn biểu thức P
 b) Chứng minh rằng với mọi giỏi trị của a (thỏa điều kiện thớch hợp) ta đều cú P>6.
 x x 3 x 2 x 2
Bài 61: a) Cho M (1 ) : ( )
 x 1 x 2 3 x x 5 x 6
 1. Rỳt gọn M
 2. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức M nhận giỏ trị là số nguyờn 
 2 3 5 2 3 5 
Bài 62: Rỳt gọn biểu thức: A .
 2 2 3 5 2 2 3 5
 2 3 5 13 48
Bài 63: Cho biểu thức: A . Chứng minh A là một số nguyờn.
 6 2
 3 5 2 6 11 6 2
Bài 64: Rỳt gọn biểu thức: A .
 2 6 2 5 7 2 10
 1 2 2 3
Bài 65: Tớnh A .
 2 3 3 3 3
 2 2 2 
Bài 66: Cho S 1 1  1 . Tớnh S (kết quả để dưới dạng phõn số tối 
 2.3 3.4 2020.2021 
 giản).
Bài 67: Cho hàm số f (x) (x3 12x 31)2010
 Tớnh f (a) tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
Bài 68: Tớnh giỏ trị biểu thức A 4 15 10 6 4 15
 2m 16m 6 m 2 3
Bài 69: Cho biểu thức: P = 2 
 m 2 m 3 m 1 m 3
 a) Rỳt gọn P.
 b) Tỡm giỏ trị tự nhiờn của m để P là số tự nhiờn.
 x 2 x x 1 1 2x 2 x
Bài 70: Cho biểu thức P , với x 0, x 1. Rỳt gọn 
 x x 1 x x x x x2 x
 P và tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x sao cho giỏ trị của P là một số nguyờn. 1 1 2x x 1 2x x x x 1
Bài 71: Cho biểu thức P : với x 0, x 1, x 
 1 x x 1 x 1 x x 4 
 4
 Tớnh giỏ trị của P tại x 3 5 3 5
 10 
 2 3 5 2 3 5 
Bài 72. Rỳt gọn biểu thức: A .
 2 2 3 5 2 2 3 5
 x 2 x 1 x 2 x 1
Bài 73: Rỳt gọn biểu thức: P , với x 2 .
 x 2x 1 x 2x 1
 2 a 1 2 a 
Bài 74: Rỳt gon biểu thức : A = 1 : , với a ≥ 0
 a 1 1 a a a a a 1 
 5 3 3 5
Bài 75: Rỳt gọn biểu thức: A = 
 2 3 5 2 3 5
 2 x 3 x 1 x 2 2x x 6
Bài 76: Cho hai biểu thức: A và B với 
 2 x 2 x 2 1 x x x 2
 0 x 1 
 a) Tớnh giỏ trị của A với x 6 2 5 
 b) Rỳt gọn B
 c) Đặt P = B:A. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn
 a a b b a b
Bài 77: Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b
 a b a b b a
 Rỳt gọi M và tớnh giỏ trị biểu thức M biết 1 a 1 b 2 ab 1
 x 2 x 1 x 1
Bài 78: Cho biểu thức: P : . 
 x x 1 x x 1 1 x 2
Với x 0, x 1.
a) Rỳt gọn biểu thức P.
 2
b) Tỡm x để P .
 7
c) So sỏnh: P2 và 2P.
 a + 1 a a - 1 a2 - a a + a - 1
Bài 79: Cho biểu thức M = + + với a > 0, a 1.
 a a - a a - a a
 6
Với những giỏ trị nào của a thỡ biểu thức N nhận giỏ trị nguyờn?
 M
 a 2018 a 2018 a 1
Bài 80: Rỳt gọn biểu thức P .
 a 2 a 1 a 1 2 a
 2x 3 x x 1 x2 x
Bài 81: Cho biểu thức P với x 0, x 1. Rỳt gọn và tỡm giỏ trị nhỏ 
 x x x x x x
nhất của biểu thức P . Bài 82: Rỳt gọn biểu thức: 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 X 1 1 1 ... 1 .
 12 22 22 32 32 42 20172 20182
 x x 3 x 2 x 2 
Bài 83: Rỳt gọn biểu thức: A 1 : 
 x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 
 3 x x 1 x 3
Bài 84: Cho cỏc biểu thức: P : ( với x 0 )
 x x 1 x x 1 x 1 x x 1
 1
Rỳt gọn biểu thức P. Tỡm cỏc giỏ trị của x để P .
 5
 x 4(x 1) x 4(x 1) 1 
Bài 85: Cho biểu thức A . 1 , trong đú x 1, x 2.
 x2 4(x 1) x 1 
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để giỏ trị của biểu thức A là số nguyờn.
Bài 86: Rỳt gọn biểu thức: B 13 4 3 7 4 3 8 20 2 43 24 3 .
 3x 9x 3 x 1 x 2
Bài 87: Rỳt gọn biểu thức P . Tỡm x để P 3.
 x x 2 x 2 x 1
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
Bài 88: Cho biểu thức 
 M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
Rỳt gọn M và tỡm x để M>1
 x 2 x 3 x 2 x 
Bài 89: Cho biểu thức :
 A : 2 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 1 5
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để 
 A 2
 x 2 x 2
Bài 90: Cho biểu thức: P 
 x x x 2 x ( x 1)(x 2 x)
 a) Rỳt gọn P .
 b) Tớnh P khi x 3 2 2 .
 c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn.
 ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử
 ỗ ữ ỗ ữ
Bài 91: Cho biểu thức P = ỗ + ữ:ỗ - ữ
 ốỗ3+ x- 1 10- xứữ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ứữ
 a) Rỳt gọn P 3 2 2 3 2 2
 b) Tớnh giỏ trị của P khi x = 4 4
 3 2 2 3 2 2
 2 10 30 2 2 6 2
Bài 92: Rỳt gọn biểu thức: A= :
 2 10 2 2 3 1
 a 1 a a 1 a2 a a a 1
Bài 93: Cho biểu thức: M với a > 0, a 1.
 a a a a a a
 a) Chứng minh rằng M 4. 
 6
 b) Với những giỏ trị nào của a thỡ biểu thức N nhận giỏ trị nguyờn?
 M
 2 x 9 x 3 2 x 1
Bài 94: Rỳt gọn biểu thức A = 
 x 5 x 6 x 2 3 x
B. Lời giải
 a a a 1
Bài 1: Rỳt gọn biểu thức B : với a 0 ; a 4
 a 2 a a 2 a 4 a 4
 Lời giải
 2
 a a a 1 a a a 2 
 B : .
 a 2 a a 2 a 4 a 4 a 2 a a 2 a 1
 2 2
 a a a 2 a 1 a a 2 
 B . . a a 2 
 a 2 a 1 a 2 a 1
 x y y y x x
Bài 2: Cho biểu thức M 
 1 xy
 1) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn M.
 2
 2) Tớnh giỏ trị của M, biết rằng x 1 3 và y 3 8
 Lời giải
 1) ĐKXĐ: x 0 ; y 0
 xy x y x y 1 xy x y 
 M x y
 1 xy 1 xy
 2 2
 2) Với x 1 3 và y 3 8 3 2 2 2 1 
 2 2
 M 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2
 2 2 2
Bài 3: Cho biểu thức: C 
 a 16 a 4 a 4
 1) Tỡm điều kiện của a để biểu thức C cú nghĩa và rỳt gọn C.
 2) Tỡm giỏ trị của biểu thức C khi a 9 4 5
 Lời giải