Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 10: Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 10: Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến:
1. Nguyên lí Dirichlet
A. Bài toán 
Bài 1: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
 1
 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .
 3
 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 
32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn 
lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25.
B. Lời giải 
Bài 1: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
 1
 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .
 3
 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
 Lời giải
 Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của 
 AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa
 mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC 
 lần lượt tại S, E, K sao cho SCDSK 3SABKS
 Từ SCDSK 3SABKS ta suy ra được: DS CK 3 AS BK 
 1
 a AS a BK 3 AS BK AS BK a
 2
 1
 EM a suy ra E cố định và d đi qua E.
 4
 a
 Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN GP HQ .
 4 Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi 
 qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.
 Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít 
 2018 
 nhất 1 505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 
 4 
 là 505 đường thẳng đó đồng quy.
Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 
32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn 
lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25.
 Lời giải
 Gọi ai là số bút mà học sinh thứ I ( trong 32 học sinh ) nhận được ( i = 1,2,..,32). Như vậy 
 ai N * và a1 a2 ... a32 49 . Ta kí hiệu:
 S1 a1,
 S2 a1 a2 ,
 .
 S32 a1 a2 ... a32 
 Với mỗi i 1;2;...;32 ta có : 1 Si 49 , Si 25 74 ; Si 50 99 ,
 Si 75 124 .
 Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) là S1,S2 ,...,S32 ,
 32 số nhóm (2) là S1 25,S2 25,...,S32 25,
 32 số nhóm (3) là S1 50,S2 50,...,S32 50 ,
 32 số nhóm (4) là S1 75,S2 75,...,S32 75 ,
 Thấy 128 số này lấy giá trị nguyên dương trong phạm vi từ 1 đến 124, theo nguyên lí 
 Dirichlet tồn tại hai số nào đó trong chúng bằng nhau. Vì S1 S2 ... S32 nên dãy 32 
 giá trị trong mỗi nhóm ở trên tăng dần kể từ trái qua phải. Suy ra tồn tại j i 1 mà 
 SJ k1.25 SJ k2.25 với k1,k2 0,1,2,3 và k1 k2 ( do hai số bằng nhau thì 
 không cùng nhóm).
 Vì S j Si nên 0 S j Si 25 k1 k2 , suy ra k1 k2 1,2,3 . Lại có 
 S j Si S j 49 nên 25 k1 k2 49 , suy ra k1 k2 1 . Vậy S j Si 25 hay 
 ai 1 ai 2 ... a j 25 , nghĩa là nhóm gồm các học sinh từ học sinh thứ i 1 đến học 
 sinh thứ j nhận được tổng cộng 25 cây bút.
2. Toán rời rạc
A. Bài toán 
Bài 1: Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi 
dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:
 Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i 1,2,...,2019.
 Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3 j 1lần, j 1,2,...,2019.
 Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. 1 1 1 1
Bài 2: Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ;...; ; . Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi 
 2 3 2018 2019
 xy
viết lên bảng số ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho 
 x y 1
đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
Bài 3: Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể 
giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đây là các câu 
đối thoại giữa B và C.
B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết.
C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số mà A đọc cho 
tôi lớn hơn số của bạn.
B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi.
Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ?
Bài 4: Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà 
mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít 
nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.
Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và 
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng 
đã cho gọi là tan giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. 
Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674.
Bài 6: Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 . Chứng minh rằng trong 
 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng 
 0 .
Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Chứng minh rằng 
 luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ.
Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khối 
lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).
Bài 9: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng. Chứng 
minh rằng tồn tại hai điểm A , B được tô bởi cùng một màu mà AB 1.
Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 
phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. 
Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.
Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn O . Chia 2n đỉnh này thành n 
cặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số n đoạn thẳng 
được tạo ra không có đầu mút chung).
 a) Khi n 4 , hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có 
 hai đoạn nào có độ dài bằng nhau.
 b) Khi n 10 , chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn 
 thẳng có độ dài bằng nhau.
Bài 12: Xét một thanh gỗ có hai đầu. Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ thì mất 
 5phút. Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất, Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 
 5con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai con kiến nào 
đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp.
 (Giả sử rằng kích thước và thời gian quay đầu của các con kiến là không đáng kể) 1. Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cảcác con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất.
 2. Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5con kiến đều rơi hết xuống đất?
Bài 13: Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm 
đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm 
nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.
Bài 14: Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi 
ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều 
có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng 
ít nhất 6 lần
Bài 15: Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình 
 1
tròn bán kính bằng nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho
 91
 1 1 1 1 1
Bài 16: Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ;...; ; .
 1 2 3 2014 2015
 Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u,v bất kỳ trong dãy và viết thêm 
vào dãy một số có giá trị bằng u v uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới 
thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của 
số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u,v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc 
biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.
Bài 17: Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 
26 – 3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng 
một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc 
giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 
336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?
Bài 18: Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi 
học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh 
tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.
B. Lời giải 
Bài 1: Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi 
dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:
 Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i 1,2,...,2019.
 Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu 3 j 1lần, j 1,2,...,2019.
 Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên.
 Lời giải 
 Theo quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i 3 j 1lần
 Mà i 3 j 1 và i j hai số không cùng tính chẳn lẻ (vì i 3 j 1 i j 2 j 1 là số 
 lẻ) Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà i j là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu ở 
 ô vuông đó vẫn là dấu +, còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i j là số chẵn sẽ đổi dấu 
 một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu –
 Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và 1010 số lẻ nên số cặp i; j mà i j bằng 
 1009.1010+1010.1009=2038180
 Vậy số các ô vuông còn lại mang dấu + bằng 2038180.
 1 1 1 1
Bài 2: Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ;...; ; . Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi 
 2 3 2018 2019
 xy
viết lên bảng số ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác 
 x y 1
trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
 Lời giải
 xy 1 1 1 1 1 1 1 
 Đặt z 1 1 1 (1).
 x y 1 z x y xy z x y 
 Với mỗi tập các số dương x1; x2 ;...xn tùy ý, xét biểu thức:
 1 1 1 
 P x1; x2 ;...xn 1 1 .... 1 .
 x1 x2 xn 
 xy
 Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì x; y rồi viết lên bảng số các số còn 
 x y 1
 lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức P của các số trên bảng không đổi. 
 1 1 1 1 1 
 Gọi số cuối cùng là a P(a) P ; ; ;...; ; 
 1 2 3 2018 2019 
 1 1 1 1 1 1
 1 1 . 1 ... 1 . 1 2020! a .
 1 1 1 
 a 1 2020! 1
 2 2018 2019 
Bài 3: Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể 
giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đây là các câu 
đối thoại giữa B và C.
B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết.
C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số mà A đọc cho 
tôi lớn hơn số của bạn.
B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi.
Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ?
 Lời giải
 Khi biết tổng nhưng B nói : Tôi không biết 2 số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không 
 biết. Do đó ta loại các cặp có tổng bằng 2; 3; 17; 18 là 1;1 , 1;2 , 8;9 , 9;9 vì nếu 
 biết tổng này thì B phải đoán được hai số đó ngay.
 Ngoài ra, dựa vào việc khẳng định C cũng không biết nên có các trường hợp của tổng sau:
 TH1: 4 = 1+ 3 = 2 + 2 thì tích có thể bằng 3 = 1.3, C đoán được ngay, Mà B KHẲNG 
 ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp này loại. TH2: 6 = 1 + 5 = thì tích có thể bằng 5 = 1.5, C đoán được ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH 
 C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp này loại.
 Tương tự đối với các trường hợp tổng là 7 = 2+ 5, 8 = 3+5, 9 = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6, 
 12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 cũng loại
 Do đó, sau khi B phát biểu thì C đoán được tổng của 2 số là 5 ( = 1+4 = 2+3).
 Khi đó tích có thể là 4 = 1.4 = 2.2 hoặc 6 = 1.6 = 2.3.
 Vì C biết tổng bằng 5 và tích 2 số ( bằng 4 hay 6 ) nên suy ra được ngay.
 C nói : Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa số mà A 
 đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. Như vậy C biết tích bằng 6 > 5.
 Sau đó B cũng biết vì hai số ban đầu có tổng bằng 5 và tích bằng 6. 
 Vậy 2 số A chọn là 2 và 3.
Bài 4: Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà 
mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít 
nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.
 Lời giải
 Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho:
 -Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673
 -Tô xanh các đoạn thẳng còn lại
 thì mỗi tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam 
 giác có 3 cạnh đều là màu đỏ.
 +Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho. Từ một điểm A nối đến các đoạn thẳng còn lại 
 tạo thành 5 đoạn thẳng, được tô tới hai màu xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả 
 sử đó là AB, AC, AD
 Nếu AB, AC, AD tô đỏ (nét liền, h1) thì tam giác BCD phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., 
 chẳn hạn BC thì tam giác ABC có 3 cạnh tô đỏ(h2). Nếu AB, AC, AD tô xanh (nét 
 đứt, h3). Do mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh đỏ nên BC,CD, BD và tam giác 
 BCD có 3 cạnh đỏ(h1).
 Suy ra trong 6 điểm này luôn tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh màu đỏ
 +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự
 Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam giác có hai cạnh đều màu đỏ. Suy ra 
 tồn tại ít nhất hai tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019
 (Từ trái qua phải lần lượt là h1,h2,h3,h4) 
Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và 
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng 
đã cho gọi là tan giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. 
Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674.
 Lời giải:
 Gọi các đường thẳng đã cho là d1,d2 ,,d2022. Aij là giao điểm của đường thẳng di và d j 
 i, j 1;2022,i j; Aj An .
 Xét đường thẳng dn bất kỳ trong số 2022 đường thẳng đã cho. Do không có 3 đường thẳng 
 nào đồng quy nên các giao điểm Aij ( n khác i, j) của các cặp đường thẳng di và d j không 
 nằm trên dn . Do số giao điểm là hữu hạn nên tồn tại một giao điểm gần dn nhất, giả sử là
 Aij ( nếu có nhiều giao điểm như vậy thì ta chọn 1 giao điểm nào đó) .
 Ta sẽ chứng minh tam giác AijAniAnj là tam giác đẹp. Nếu tam giác này bị đường thẳng dm nào đó trong số 2019 đường thẳng còn lại cắt thì dm 
 phải cắt ít nhất một trong hai đoạn AijAni ,AijAnj. Giả sử dm cắt đoạn AijAni tại điểm 
 Ami thì Ami gần dn trái giả thiết Aij gần dn nhất.
 Suy ra, với mỗi đường thẳng dn luôn tồn tại một tam giác đẹp có cạnh nằm trên dn . Trên 
 mỗi đường thẳng dn , ta chọn một cạnh của tam giác đẹp thì ta thu được 2022 cạnh của tam 
 giác đẹp.
 Vậy số tam giác đẹp không ít hơn 2022:3=674.
Bài 6: Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 . Chứng minh rằng trong 
 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng 
 0 .
 Lời giải
 Đặt M n x|x Z, x 2n 1. Ta chứng minh mệnh đề tổng quát: Trong 2n 1 số phân 
 biệt từ tập hợp M n , luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bẳng 0 . Ta chứng minh bằng 
 phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho thể chọn ra 2n 1 số 
 phân biệt từ tập hợp M n mà trong đó không có ba số phân biệt nào có tổng bằng 0 . Gọi 
 n là số nhỏ nhất có tính chất như vây. Khi đó n 1 ( vì với n 1 thì mệnh đề đúng). Vì n 
 là số nhỏ nhất làm cho mệnh đề không đúng nên mệnh đề đúng với n 1. Nếu trong các 
 số được chọn có ít nhất 2n 1 số thuộc M n 1 thì do mệnh đề đúng với n 1, sẽ tồn tại ba 
 số phân biệt trong các số được chọn có tổng bằng 0 . Mẫu thuẫn. Vậy có tối đa 2n 2 số 
 được chọn thuộc M n 1 . Suy ra trong bốn số 2n 2, 2n 1,2n 2,2n 1, có ít nhất ba số 
 được chọn. Suy ra 0 không được chọn.
 • Nếu cả hai số của cặp 2n 1,2n 1 được chọn. Chia tập 
 M n \ 2n 1,2n 1,0 thành 2n 2 cặp 
 1;2n 2 , 2;2n 3 ,, 1; 2n 2 ,, n 1, n ta thấy từ mỗi cặp ta chỉ 
 chọn được tối đa một số. Suy ra chỉ lấy được tối đa 2 2n 2 2n số. Mẫu 
 thuẫn.
 • Nếu chỉ có một số của cặp 2n 1,2n 1 được chọn thì theo lí luận ở trên, cặp 
 2n 2,2n 2 được chọn. Không mất tính tổng quát ta giả sử 2n 1 được chọn 
 còn 1 2n không được chọn. Lúc này chia các phần tử còn lại thành 2n 5 cặp 
 1;2n 3 , 2;2n 4 ,, n 2;n ,( 2; 2n 3,, n 3; n 1 , một bộ ba số 
 n 2, n 1, n và một phần tử lẻ cặp là n 1. Từ mỗi cặp ta lấy được tối đa 
 một số, từ bộ ba số ta cũng lấy được tối đa một số. Từ đó ta lấy được tối đa 
 3 2n 5 1 1 2n số. Mẫu thuẫn.
 Vậy trong mọi trường hợp đều dẫn đến mẫu thuẩn, tức điều giả sử sai. Mệnh đề được 
 chứng minh. Áp dụng mệnh đề cho n 1010 ta có điều phải chứng minh.
Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Chứng minh rằng 
 luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ. Lời giải
 Giả sử tồn tại một cách xếp 30 bạn lên bàn tròn sao cho không có bạn nào ngồi giữa hai bạn 
 nữ. Gọi các bạn theo thứ tự là A1; A2 ;; A30 . Chúng ta chia 30 bạn sang hai bàn tròn gồm 
 A1; A3;; A29 và A2 ; A4 ;; A30 và giữ nguyên thứ tự.
 Khi đó ở cả hai bàn mới, không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau. 
 15
 Số bạn nữ ở mỗi bàn sẽ không vượt quá 
 2
 Suy ra tổng số bạn nữ ở cả hai bàn nhỏ hơn 15 (trái giả thiết).
 Vậy luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ.
Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khối 
lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).
Giải:
- Nhận xét: 
n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25
(n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 17
(n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13
Lần thứ nhất, chia 6 vật có khối lượng 19992, ... , 20042 thành ba phần: A + 25, A + 17, A + 13
Lần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 20052, ..., 20102 thành ba phần: B + 25, B + 17, B + 13
Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 20112, ..., 20162 thành ba phần: C + 25, C + 17, C + 13
Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A + 25, B + 17, C + 13; nhóm thứ 
hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C + 25, A + 17, B + 13. Khối lượng của mỗi nhóm 
đều bằng A + B + C + 55 gam
Bài 9: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng. Chứng 
minh rằng tồn tại hai điểm A , B được tô bởi cùng một màu mà AB 1.
Giải:
 Giả sử không có 2 điểm nào trong mặt phẳng được tô cùng màu mà khoảng cách giữa 
 chúng là 1 đơn vị độ dài.
 Xét một điểm O bất kỳ có màu vàng trên mặt phẳng.
 Vẽ đường tròn O, 3 . Lấy một điểm P bất kỳ trên O .
 Dựng hình thoi OAPB có cạnh bằng 1 và có đường chéo là OP.
 Dễ thấy OA OB AB AC BC 1.
 Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng và khác màu nhau.
 Do đó P phải tô vàng. Từ đây suy ra tất cả các điểm trên (O ) phải tô vàng. Điều này 
 trái với giả thiết vì dễ thấy tồn tại hai điểm trên (O ) có khoảng cách 1 đơn vị độ dài.
 P/s: Số 1 có thể được thay bởi bất kỳ số thực dương nào.
Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 
phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. 
Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.
Giải: Giả sử A = a1;a 2;a3;...;a 21 với a1; a 2; a3;...; a 21 ¢ và 
 a1 a 2 a3 ... a 21 .
Theo giả thiết ta có a1 a 2 a3 ... a11 a12 a13 ... a 21 
 a1 a12 a 2 a13 a3 ... a 21 a11 (1)
Mặt khác với x;y Zvà nếu y x thì y x 1
 a12 a 2 10, a13 a3 10,...,a 21 a11 10 (2)
Nên từ (1) suy ra a1 10 + 10 + ... +10 = 100
mà a1 nhỏ nhất và 101 A a1 =101
Ta có 101 a12 a 2 a13 a3 ... a 21 a11 100 a12 a 2 a13 a3 ... a 21 a11 100.
Kết hợp với (2)
 a12 a 2 a13 a3 ... a 21 a11 10 (3)
 10 a12 a 2 (a12 a11) (a11 a10 ) ... (a3 a 2 ) 10
 a12 a11 a11 a10 ... a3 a 2 1 (4)
Ta có a1 =101 mà 102 A a 2 102
Kết hợp với (3) và (4) suy ra A = 101;102;103;...;121.
Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn O . Chia 2n đỉnh này thành n 
cặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số n đoạn thẳng 
được tạo ra không có đầu mút chung).
 a) Khi n 4 , hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có 
 hai đoạn nào có độ dài bằng nhau.
 b) Khi n 10 , chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn 
 thẳng có độ dài bằng nhau.
Giải: 
 Bài 11Ta đánh số 2n đỉnh của đa giác từ 1 đến 2n . Khi đó, độ dài của đoạn thẳng nối hai đỉnh 
 có thể coi tương ứng với số lượng cung nhỏ nằm giữa hai đỉnh đó, cũng chính là chênh lệch 
 giữa hai số thứ tự theo mod n rồi cộng thêm 1. Sự tồn tại hai cặp đoạn thẳng có độ dài bằng 
 nhau trong đề bài tương ứng với việc tồn tại hai cặp đỉnh có sự chênh lệch giữa các số thứ tự 
 bằng nhau theo mod n .
 a) Ta cần chỉ ra cách chia cặp 8 số từ 1 đến 8 sao cho không có hai cặp nào có chênh lệch 
 giống nhau theo mod 4 . Cụ thể là, 1,4 , 2,6 , 3,5 và 7,8 với các chênh lệch là 
 3 , 4 , 2 , 1, thỏa mãn đề bài. b) Gỉa sử tồn tại cách ghép cặp a1,b1 , a2 ,b2 , ..., a10 ,b10 cho các số từ 1 đến 20 sao 
 cho không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 10 . Suy ra 
 a1 b1 a2 b2 ... a10 b10  0 1 ... 9 mod 10 
 a1 b1 a2 b2 ... a10 b10  5 mod 10 
 Do đó tổng a1 b1 a2 b2 ... a10 b10 là số lẻ. Chú ý rằng với mọi x , y nguyên thì 
 x y có cùng tính chẵn lẻ với x y . Kết hợp với kết quả trên, ta suy ra tổng 
 a1,b1 a2 ,b2 ... a10 ,b10 , cũng lẻ. Mặt khác, ta lại có 
 a1,b1 a2 ,b2 ... a10 ,b10 1 2 ... 20 210 là số chẵn. Mâu thuẫn nhận được 
 cho ta kết quả cần chứng minh. 
Bài 12: Xét một thanh gỗ có hai đầu. Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ thì mất 
 5phút. Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất, Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 
 5con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai con kiến nào 
đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp.
 (Giả sử rằng kích thước và thời gian quay đầu của các con kiến là không đáng kể)
 1. Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cảcác con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất.
 2. Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5con kiến đều rơi hết xuống đất?
 Giải: 
 1. Đội cho mỗi con kiến một cái mũ và đánh số 5 chiếc mũ đó (chẳng hạn từ 1 đên 5).
 Với hai con kiến đi ngược chiều và gặp nhau thay vì chúng đều quay ngược lại thì chúng 
 chỉ đổi mũ cho nhau và tiếp tục đi theo hướng cũ (Thời gian đổi mũ ko đáng kể do thời 
 gian quay đầu ko đáng kể)
 2. Theo cách này thì không có con kiến nào phải quay đầu 
 Vậy tất cả đều đi theo một chiều không đổi nên tất cả đều rơi hết xuống đất
 Từ đó suy ra quãng đường mà con kiến phải đi xa nhất đúng bằng độ dài thanh gỗ
 Thời gian ít nhất để đảm bảo chắc chắn tất cả các con kiến đều rơi xuống đất là 5 phút