Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 4: Phương trình

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
IV. Dạng 4: Phương trình
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
A. Bài toán
Bài 1: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc 
 DB , tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc ( cả đi lẫn về) là 10km / h ; vận tốc xuống 
dốc (cả đi lẫn về ) là 20km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15km / h .
B. Lời giải 
Bài 1: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc 
 DB , tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc ( cả đi lẫn về) là 10km / h ; vận tốc xuống 
dốc (cả đi lẫn về ) là 20km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15km / h .
 Lời giải
 C s2 D
 s3
 s1
 A B
 AB=30 km
 Gọi AC s1;CD s2 ; BD s3s1 0;s2 0;s3 0
 Ta có: s1 s2 s3 30 km .
 Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là v1;v2 ;v3 .
 53
 Thời gian đi và về là: 4h 25 h .
 12
 s s s s s s 53
 Theo đề bài, ta có phương trinh: 1 2 3 1 2 3 
 v1 v2 v3 v3 v2 v1 12
 1 1 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 v1 v3 v1 v3 v2 12
 1 1 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 10 20 20 10 15 12
 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 10 20 15 12
 3 2s 53
 30 s 2 
 20 2 15 12
 s2 5 km Vậy quãng đường ngang CD là 5 km . 
2. Phương trình bậc hai và định lí Vi-et
A. Bài toán
Bài 1: Cho phương trình: 2013x2 (m 2014)x 2015 0 , với m là tham số. Tìm m để phương 
 2 2
trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 2014 x1 x2 2014 x2 .
 2
Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình x mx 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 
 2 2
hệ thức (x1 1) (x2 1) 2 .
Bài 3: Cho phương trình: x2 2 a b x 4ab 0 ( x là ẩn số; a ,b là tham số). Tìm điều kiện của 
 a và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương.
Bài 4: Cho phương trình: x2 2 m 2 x m2 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có 
hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 ; x1 x2 6 .
Bài 5: Cho phương trình x4 2 m 4 x2 m2 8 0 1 với m là tham số.
 1) Giải phương trình 1 khi m 0 .
 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa 
 4 4 4 4
 mãn điều kiện x1 x2 x3 x4 240
Bài 6: Cho phương trình (ẩn x ): x2 3 m 1 x 2m2 5m 2 0 . Tìm giá trị của m để phương 
 trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x1 x2 2 x1 x2 .
Bài 7: Tìm m để phương trình: x 2 x 3 x 4 x 5 m có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 8: Giải phương trình: 3 x3 8 2x2 3x 10 .
Bài 9: Cho phương trình x2 (m2 1)x m 2 0 (1) , m là tham số. Tìm m để phương trình (1)
 2x1 1 2x2 1 55
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1x2 .
 x2 x1 x1x2
Bài 10: Cho phương trình x2 2 2m 3 x m2 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m 
 1 1
để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0 , (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức đạt 
 x1 x2
giá trị nhỏ nhất.
Bài 11: Cho phương trình x2 2mx m 4 0
 3 3
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 26m 
b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Bài 12: Cho phương trình: x2 2mx 2m 1 0 .
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm.
 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2x1x2 3
 B 2 2 .
 x1 x2 2(1 x1x2 ) Bài 13: Cho phương trình x2 3m 2 x 2m2 5m 3 0 , x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả 
giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
 1 1 1
Bài 14: Cho hai số thức m,n khác 0 thỏa mãn 
 m n 2
 Chứng minh rằng phương trình x2 mx n x2 nx m 0 luôn có nghiệm
Bài 15: Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi, bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện 
Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ lúc mới chào đời. Lên 6 tuổi, nhìn bạn 
bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học. Thương con ham học, những ngày đầu Cảnh 
được người thân cõng đến trường. Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ 
bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tới 
trường.
Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2 m/s. 
Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây. Tính vận tốc lúc 
cõng bạn đi của Khanh.
 2
Bài 16: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x 2kx 4 0 ( k là tham số). Tìm tất cả 
 2 2
 x x 
các giá trị của k sao cho : 1 2 3.
 x2 x1 
 2 2
Bài 17: Cho phương trình EMBED Equation.DSMT4 x 2(m 1)x m 3 0 ( EMBED 
Equation.DSMT4 x là ẩn, EMBED Equation.DSMT4 m là tham số). Tìm EMBED 
 m x
Equation.DSMT4 để phương trình có hai nghiệm EMBED Equation.DSMT4 1 , EMBED 
 x x2 4x 2x 2mx 1
Equation.DSMT4 2 sao cho EMBED Equation.DSMT4 1 1 2 1 .
Bài 18: Cho phương trình: x2 2m x 2m 1 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 
 2x x 3
 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 khi m thay đổi.
 x1, x2 P 2 2
 x1 x2 2(1 x1x2 )
Bài 19: Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để 
phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Bài 20: Cho phương trình: x2 (2m 1)x m2 m 6 0 (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
 2
Bài 21: Cho phương trình: x 6x m 0 (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có 
 2 2
hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 x2 12
Bài 22: Cho phương trình x2 mx m 1 0
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
 4x1x2 6
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn biểu thức A 2 2
 x1 x2 2(1 x1x2 )
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 23: Tìm 2 số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m 2 n đạt giá trị nhỏ nhất sao cho hai 
phương trình sau có nghiệm chung: x2 mx 2 0; x2 2nx 6 0 . Bài 24: Cho phương trình: x2 2 m 3 x m 3 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có 
một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 .
Bài 25: Cho phương trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình 
 1 1 2 2
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 x2 4(m 2) .
 x1 x2 
Bài 26: Cho ba số thực dương phân biệt a,b,c thỏa a b c 3 . Xét ba phương trình bậc hai 
 4x2 4ax b 0, 4x2 4bx c 0, 4x2 4cx a 0 . Chứng minh rằng trong ba phương 
trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm.
Bài 27: Cho phương trình 2018x2 m 2019 x 2020 0 ( m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
 2 2
 x1 2019 x1 x1 2019 x2 .
Bài 28: Cho phương trình x2 2mx m 4 (1) (m là tham số).
 a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
 x2 x2
 x x 1 2
 1 2 x x
 2 1 .
Bài 29: Cho phương trình (ẩn x) x2 (m 1) x m 6 0. Tìm tất cả các giá trị của m để 
 2 2
phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A (x1 4)(x2 4) có giá trị lớn nhất.
Bài 30: Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a 4b 2013 . Chứng minh rằng phương trình 
sau luôn có nghiệm: 18ax2 4bx 671 9a 0 .
Bài 31: Cho hai phương trình: x2 - x + m + 1 = 0 (1)
 x2 + (m + 2)x + 2m + 4 = 0 (2) (m là tham số).
 a) Giải phương trình (1) khi m = -3. 
 b) Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm bằng -3. Tìm nghiệm còn lại.
 c) Tìm m để phương trình (1) và (2) tương đương.
Bài 32: Cho phương trình: x2 2mx 2m 1 0 .
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm.
 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2x1x2 3
 B 2 2
 x1 x2 2(1 x1x2 )
Bài 33: Cho phương trình x2 2mx m2 m 6 0 ( m là tham số).
 a) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 
 x x 18
 1 2 .
 x2 x1 7
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 
 x1 x2 8
Bài 34: Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình 
có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1.
Bài 35: Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình 
có 4 nghiệm phân biệt. 2 2
Bài 36: Cho phương trình EMBED Equation.3 x 2 m 2 x m 2m 4 0 . Tìm EMBED 
Equation.3 m để phương trình 
 có hai nghiệm thực phân biệt EMBED Equation.3 x1 , EMBED Equation.3 x2 thỏa mãn 
 2 1 1 
 .
 x 2 x 2 x x 15m
EMBED Equation.3 1 2 1 2
 a b c
Bài 37: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn + + = 0. Chứng minh rằng phương trình 
 6 5 4
ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
 2
Bài 38: Cho phương trình: 2x 3mx 2 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . Tìm giá 
 2
 2 2
 2 1 x1 1 x2 
trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x1 x2 
 x1 x2 
Bài 39: Biết phương trình (m 2)x2 2(m 1)x m 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai 
cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam 
 2
giác vuông đó bằng .
 5
Bài 40: Cho phương trình x2 (m2 1)x m 2 0 (1) , m là tham số. Tìm m để phương trình (1)
 2x1 1 2x2 1 55
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1x2 .
 x2 x1 x1x2
Bài 41: Cho phương trình: x2 2mx m2 m 6 0 (m là tham số). Với giá trị nào của m thì 
phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1 x2 8 ?
B. Lời giải
Bài 1: Cho phương trình: 2013x2 (m 2014)x 2015 0 , với m là tham số. Tìm m để phương 
 2 2
trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 2014 x1 x2 2014 x2 .
 Lời giải
 2013x2 (m 2014)x 2015 0
 m 2014 2 4.2013.2015 0
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 Theo hệ thức Vi – et ta có:
 m 2014
 x x 
 1 2 2013
 2015
 x x 
 1 2 2013
 2 2
 x1 2014 x1 x2 2014 x2
 x2 2014 x x2 2014 x 2014
 1 1 2 2 
 x2 2014 x x2 2014 x 2014
 1 1 2 2 x2 2014 x2 2014 x x2 2014 x x2 2014 x x 2014
 1 2 2 1 1 2 1 2
 x2 2014 x2 2014 x x2 2014 x x2 2014 x x 2014
 1 2 2 1 1 2 1 2
 2 2
 x1 2014 x1 x2 x2 2014 x1 x2 0
 x x x2 2014 x2 2014 0
 1 2 1 2 
 x1 x2 0
 x1 x2 0
 m 2014
 0
 2013
 m 2014
 Vậy m 2014
 2
Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình x mx 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 
 2 2
hệ thức (x1 1) (x2 1) 2 .
 Lời giải
 x2 mx 1 0
 m 2 4.1.1 m2 4
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt m2 4 0 m 2 hoặc m 2
 Áp dụng hệ thức Vi – et, ta có:
 x1 x2 m
 x1x2 1
 2 2 2
 (x1 1) (x2 1) 2 x1 x2 2 x1 x2 2x1x2 0
 m2 2m 2 0
 Giải phương trình ta được: m 3 1 (loại); m 3 1 (nhận)
 Vậy m 3 1
Bài 3: Cho phương trình: x2 2 a b x 4ab 0 ( x là ẩn số; a ,b là tham số). Tìm điều kiện của 
 a và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương.
 Lời giải
 x2 2 a b x 4ab 0
 a b 2 1.4ab a b 2
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt a b 2 0 a b
 Phương trình có ít nhất một nghiệm dương phương trình có 2 nghiệm trái dấu hoặc phương trình có 2 nghiệm đều dương
 TH1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 1.4ab 0 ab 0
 4ab 0 ab 0
 TH2: Phương trình có 2 nghiệm đều dương 
 2 a b 0 a b 0
 Vậy a b và trong 2 số a , b phải có ít nhất một số âm
Bài 4: Cho phương trình: x2 2 m 2 x m2 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có 
hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 ; x1 x2 6 .
 Lời giải
 x2 2 m 2 x m2 0
 m 2 2 1. m2 2m2 4m 4 2 m 1 2 2 0
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2
 Áp dụng hệ thức Vi – et, ta có:
 x1 x2 4 2m
 2
 x1x2 m
 2 2 2
 x1 x2 6 x1 x2 36 x1 x2 2 x1x2 36
 2 2
 Vì x1x2 m 0 x1x2 x1x2 m
 Nên ta có phương trình: 
 2 2 2 x1 x2 6
 x1 x2 2x1x2 36 x1 x2 36 
 x1 x2 6
 TH1: x1 x2 6 4 2m 6 m 1
 TH1: x1 x2 6 4 2m 6 m 5
 Với m 1, ta có phương trình: x2 6x 1 0
 Giải phương trình ta được: x1 3 10 ; x2 3 10
 x1 x2 3 10 3 10 10 3 3 10 6 (loại)
 Với m 5, ta có phương trình: x2 6x 25 0
 Giải phương trình ta được: x1 3 34 ; x2 3 34
 x1 x2 3 34 3 34 3 34 34 3 6 (nhận)
 Vậy m 5 là giá trị cần tìm
Bài 5: Cho phương trình x4 2 m 4 x2 m2 8 0 1 với m là tham số.
 1) Giải phương trình 1 khi m 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa 
 4 4 4 4
 mãn điều kiện x1 x2 x3 x4 240
 Lời giải
 1) Với m 0 , ta có phương trình: x4 8x2 8 0
 Đặt y x2 y 0 , ta có phương trình: y2 8y 8 0
 Giải phương trình ta được: y 4 2 2 (nhận)
 y 4 2 2 x2 4 2 2 x 4 2 2
 y 4 2 2 x2 4 2 2 x 4 2 2
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 4 2 2 ; 4 2 2
 2) x4 2 m 4 x2 m2 8 0 1 
 Đặt t x2 t 0 , ta có phương trình:
 t2 2 m 4 t m2 8 0 2 
 Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4
 phương trình 2 có 2 nghiệm dương phân biệt
 (m 4)2 (m2 8) 0
 8m 8 0
 S 2(m 4) 0 m 1
 m 4
 2 
 P m 8 0
 Giả sử t1 ; t2 là 2 nghiệm của phương trình 2 thì theo Vi - ét ta có:
 t1 t2 2 m 4 
 2
 t1t2 m 8
 Giả sử 4 nghiệm của phương trình 1 là: x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2
 4 4 4 4 2 2 2 2 2
 Ta có: x1 x2 x3 x4 240 2 t1 t2 240 t1 t2 120 t1 t2 2t1t2 120
 2 2
 2 m 4 2 m 8 120
 2m2 32m 72 0
 Giải phương trình ta được: m1 2 (nhận); m2 18 (loại)
 Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Cho phương trình (ẩn x ): x2 3 m 1 x 2m2 5m 2 0 . Tìm giá trị của m để phương 
trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x1 x2 2 x1 x2 .
 Lời giải
 x2 3 m 1 x 2m2 5m 2 0 9 m 1 2 4 2m2 5m 2 m2 2m 1 m 1 2
 2
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 0 (m 1) 0 m 1
 Áp dụng đinhk lý Vi – ét, ta có: 
 x1 x2 3 m 1 
 2
 x1x2 2m 5m 2
 2 2 2
 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 3 x1 x2 16x1x2 0
 27 m 1 2 16 2m2 5m 2 0
 5m2 26m 5 0
 1
 Giải phương trình ta được: m 5 (nhận); m (nhận)
 1 2 5
 1
 Vậy m 5 và m là các giá trị cần tìm.
 5
Bài 7: Tìm m để phương trình: x 2 x 3 x 4 x 5 m có 4 nghiệm phân biệt.
 Lời giải
 x 2 x 3 x 4 x 5 m x2 2x 8 x2 2x 15 m 1 
 Đặt x2 2x 1 x 1 2 y y 0 , ta có phương trình:
 y 9 y 16 m y2 25y 144 m 0 2 
 Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt Phương trình 2 có 2 nghiệm dương phân biệt
 2
 25 4. 144 m 0
 25 4m 49 0 49
 S 0 m 144
 1 144 m 0 4
 144 m
 P 0
 1
 49
 Vậy với m 144 thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
 4
Bài 8: Giải phương trình: 3 x3 8 2x2 3x 10 .
 Giải
ĐK: x 2 . Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành: 
 3. (x 2)(x2 2x 4) 2(x2 2x 4) (x 2)
Chia cả hai vế của phương trình cho x2 2x 4 , ta được
 x 2 x 2
 3 2 0 (1)
 x2 2x 4 x2 2x 4
 x 2
Đặt t (t 0)
 x2 2x 4 Thay vào (1) ta được t 2 3t 2 0 t 1 hoặc t 2 (t/m)
 x 2 2 x 1
+ với t 1ta có 2 =1 x 3x 2 0 (t/m).
 x 2x 4 x 2
 x 2
+ với t 2ta có =2 4x2 9x 14 0 (vô nghiệm).
 x2 2x 4
Bài 9: Cho phương trình x2 (m2 1)x m 2 0 (1) , m là tham số. Tìm m để phương trình (1)
 2x1 1 2x2 1 55
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1x2 .
 x2 x1 x1x2
 Giải:
 2
 1) D = (m2 + 1) - 4(m- 2)= m4 + 2(m- 1)2 + 7 > 0
 ïì 2
 ï x1 + x2 = - (m + 1)
 Theo định lí Vi-ét ta có í
 ï
 îï x1x2 = m- 2
 2
 2x1 - 1 2x2 - 1 55 (2x1 - 1)x1 + (2x2 - 1)x2 (x1x2 ) + 55
 + = x1x2 + Û =
 x2 x1 x1x2 x1x2 x1x2
 2 2 2 2 2
 Þ 2x1 - x1 + 2x2 - x2 = (x1x2 ) + 55 Û 2(x1 + x2 ) - 4x1x2 - (x1 + x2 )- (x1x2 ) - 55 = 0
 2
 Û 2(- (m2 + 1)) - 4(m- 2)+ (m2 + 1)- (m- 2)2 + 55 = 0
 Û 2(m4 + 2m2 + 1)- 4m + 8+ m2 + 1- m2 + 4m- 4- 55 = 0
 Û m4 + 2m2 - 24 = 0 (2)
 Đặt m2 = a (a ³ 0)
 Phương trình (2) trở thành a2 + 2a- 24 = 0
 Ta có D¢= 25> 0 Þ phương trình có 2 nghiệm:
 a1 = 4 (Nhận); a2 = - 6 (Loại, vì a < 0 )
 +) Với a = 4 Þ m2 = 4 Þ m = ± 2
 Vậy m = 2; m = - 2 là giá trị cần tìm.
Bài 10: Cho phương trình x2 2 2m 3 x m2 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m 
 1 1
để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0 , (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức đạt 
 x1 x2
giá trị nhỏ nhất.
Giải: 
Phương trình có hai nghiệm khác 0 khi 
 2 2 m 1
 2m 3 m 0 m 3 m 1 0 
 m 3 .
 2 
 m 0 m 0 
 m 0
 x1 x2 2 2m 3 
 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có .
 2
 x1x2 m
 2 2
 1 1 x1 x2 2 2m 3 12m 18 2m 2m 12m 18
 Lại có 2 2 2
 x1 x2 x1x2 m 3m 3m