Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 2: Diện tích đa giác (Có đáp án)

 Chuyên đề 2
DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
 TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ.
Các bài toán trong chuyên đề này bao gồm nhiều dạng:
- Dạng 1. Tính toán và chứng minh liên quan đến diện tích các hình: Chữ nhật, vuông thang, thoi, tam giác, 
tứ giác.
- Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của diện tích các hình.
- Dạng 3. Sử dụng diện tích để chứng minh các quan hệ về độ dài.
Bài toán thực tế
 CHIA BÁNH
Tám bạn học sinh cần chia một chiếc bánh ga – tô thành tám phần, chiếc bánh có mặt trên và mặt dưới là hai 
hình lục giác đều giống nhau.
Bạn Thành tìm ra cách chia bằng bốn nhát cắt thẳng đi qua tâm của chiếc bánh. Bạn Mai lại tìm ra cách chia 
chiếc bánh thành tá hình thang cân.
Các bạn đó đã chia chiếc bánh như thế nào?
Giải
Bạn Thành cắt chiếc bánh như hình 12a bằng bốn nhát cắt là AD, HF, IM, KN.
 3
Giải thích: Lục giác đều có 6 cạnh, chia thành 8 phần nên mỗi phần chứa cạnh (trên hình 12a có 
 4
 3 3
 AH AB , KD CD , BI IC ). Do AH HB BI nên S S
 4 4 OAH OHBI
(Lưu ý rằng các góc AOH và HOI không bằng nhau, dễ chứng minh ·AOH H· OI )
 B I C B C
 H
 C'
 B'
 A D A D
 O A' O D'
 E'
 G'
 F
 G M E G b) E
 a) Hình 12
Bạn Mai cắt chiếc bánh như hình 12b, trong đó O là tâm của lục giác đều, các điểm A', B ',C ', D ', E ',G ' 
theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC, OD, OE, OG. I. DIỆN TÍCH HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH THANG, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI
Cần nắm vững công thức tính diện tích các hình nói trên. Có thể tính diện tích hình thoi theo hai cách (Tính 
theo đáy và chiều cao tương ứng hoặc tính theo các đường chéo).
Ví dụ 11. Trong các tam giác ABC vuông tại A có BC 2a , đường cao AH, tính diện tích lớn nhất của hình 
chữ nhật ADHE D AC, E AB .
Giải (h.13) A
 x D
Đặt AD x, DH y . Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
 x2 y2 AH 2 a2 y
S xy . E
 ADHE 2 2 2
 2 B C
 a H M
max S H trùng M
 2 Hình 13
 ABC vuông cân tại A.
Ví dụ 12. Tính diện tích hình thang vuông ABCD có dáy nhỏ AB bằng đường cao, đáy lớn CD 23cm , 
cạnh bên lớn BC 17cm .
Giải A a B
Kẻ BH  CD . Đặt BH AB HD a, HC b .
 2 2 2
Ta có a b 23,a b 17 289 nên a 17
2ab (a b)2 (a2 b2 ) 232 289 240 , 
 2 2 2 a b
(a b) a b 2ab 289 240 49 a b 7 . D H C
 Hình 14
Xét hai trường hợp:
Trường hợp a b 7 (h.14).
Từ a b 23 và a b 7 suy ra a 15,b 8.
 A a B
 2
SABCD (15 23).15: 2 285(cm ) .
 17
 a
Trường hợp b a 7 (h.15)
 a b
 D H C
Từ a b 23và b a 7 suy ra a 8,b 15. Hình 15
 2
SABCD (8 23).8: 2 124(cm ) .
Ví dụ 13. Hình thoi ABCD có tổng hai đường chéo bằng m. A
a) Biết cạnh của hình thoi bằng a, tính diện tích hình thoi.
 x
b) Tính diện tích lớn nhất của hình thoi.
 D y B
Giải (h.16) O
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
 C Hình 16 AC BD m
Đặt OA x,OB y . Ta có:OA OB nên x y .
 2 2
 1 1 m2
a) S AC.BD 2x.2y 2xy (x y)2 (x2 y2 ) a2.
 ABCD 2 2 4
 2
 m 
 2 2 2
 (x y) 2 m m m
b) S 2xy ; max S x y 
 ABCD 2 2 8 8 4
II. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, TỨ GIÁC, ĐA GIÁC
Khi tính diện tích của một tam giác, ngoài các dùng công thức, ta còn dùng cách so sánh diện tích của hai 
tam giác. Cần chú ý đến một số cách so sánh diện tích của hai tam giác:
- Hai tam giác có một đường cao bằng nhau: Nếu ABC và A' B 'C ' có các đường cao AH và A' H ' bằng 
 S B 'C '
nhau thì A'B'C ' .
 SABC BC
- Hai tam giác có một cạnh bằng nhau: Nếu ABC và A' B 'C ' có BC B 'C ' , AH và A' H ' là các đường 
 S A' H '
cao thì A'B'C ' .
 SABC AH
- Hai tam giác có một góc bằng nhau (xem Ví dụ 14).
Ví dụ 14. (Bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau)
 S A' B '.A'C '
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC và tam giác A' B 'C ' có µA µA' thì A'B'C ' .
 SABC AB.AC
Giải (h.17)
Trên tia AB lấy D sao cho AD A' B ' , trên tia AC lấy E sao cho 
 AE A'C '. A A'
 A' B 'C ' ADE(c.g.c) S S (1)
 A'B'C ' ADE C'
 S AD S AE B'
Ta lại có: ADE và ABE 
 SABE AB SABC AC
 B C Hình 17 S AD AE A' B '.A'C '
Nên ADE . . (2)
 SABC AB AC AB.AC A
 SA'B'C ' A' B '.A'C '
Từ (1) và (2) suy ra . C
 S AB.AC B
 ABC H M
Ví dụ 15. Tính các góc của một tam giác vuông, biết rằng diện tích tam giác 
 1
đó bằng diện tích hình vuông có cạnh là cạnh huyền.
 8
Giải (h.18)
 µ µ E D
Xét ABC vuông tại A có B C và hình vuông BCDE. Kẻ đường cao Hình 18
 1 1
AH, trung tuyến AM. Ta có BC.AH BC 2
 2 8
 1 1
 AH BC AH AM
 4 2
 ·AMH 30o ·ACB 15O
Tam giác vuông ABC có các góc nhọn 15o và 75o .
Ví dụ 16. Trên hình 19, tam giác ABC được chia thành sáu tam giác nhỏ bởi ba đoạn thẳng đồng quy tại O, 
trong đó có ba tam giác có diện tích bằng nhau và bằng S, ba tam giác còn lại có diện tích bằng a, b, c. Chứng 
minh rằng a b c S .
Giải (h.19)
Giả sử a b c (1)
 A
 S DO S
Ta có DOB DOC
 SAOB AO SAOC
 F a S E
 b S a S
 b S c
 a S c S c S S
 b S
Do a c nên b S . (2)
 B D C
 S FO S a S
 FOA FOB Hình 19
 SCOA CO SCOB c S b S
 c S
 a S
 b S
Do c b nên a S . (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra S a b S nên a b S
Chứng minh tương tự a c S nên a b c S .
Ví dụ 17. Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c , I là giao điểm các đường phân giác, G là trọng tâm 
thỏa mãn ·AIG 90o . a) Gọi r là khoảng cách từ I đến AB< AC. Gọi m, n lần lượt là khoảng cách từ G đến AB, AC. Chứng minh 
rằng m n 2r .
 6bc
b) Chứng minh rằng a b c 
 b c
Giải
a) (h.20) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của IG với AB, AC. Ta có:
 1 1 1 1
S S S S S AM.m AN.n AM.r AN.r
 AGM AGN AMN AIM AIN 2 2 2 2
Do AM AN nên m n 2r .
 A A
 c
 2
 r N
 m n
 r G
 M D
 m
 G
 B C B C
 Hình 20 Hình 21
b) (h.21) CG cắt AB tại trung điểm D. Gọi S là diện tích tam giác ABC, p là nửa chu vi. Ta có:
 1 S 1 S 1 c S 4S
S S AD.m . .m m .
 AGD 3 ACD 6 2 6 2 2 6 6c
 4S S 2S 2S
Tương tự n . Còn r . Từ m n 2r suy ra 
 6b p 2 p a b c
 4S 4S 4S 1 1 1 6bc
 a b c .
 6c 6b a b c 6c 6b a b c b c
Ví dụ 18. Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi I, M theo thứ tự là trung 
điểm của DE, BC. Đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt MD ở G. Đường thẳng đi qua I và song 
song với AC cắt ME tại H. Chứng minh GH song song với BC
Giải (h.22) A
Ta có ID=IE SMID SMIE
 D
 SMIG SDIG SMIH SEIH (1)
 I
Ta lại có IG / / AB SDIG SBIG (2) E
IH / / AC SEIH SCIH (3) G H
Từ (1), (2) và (3) suy ra B M C
 Hình 22 SMIG SBIG SMIH SCIH (4)
Ta lại có MB MC SIMB SIMC (5)
Từ (4) và (5) suy ra SMGB SMHC
Ta lại có MB=MC nên các khoảng cách từ G và từ H đến BC bằng nhau, suy ra GH / /BC
Ví dụ 19. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo.Gọi S1 và S2 theo thứ tự là diện tích các 
tam giác AOD và BOC ( S1 > S2 ).Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AD,AC,BC,BD.Chứng minh 
 S S
rằng diện tích tứ giác MNIK bằng 1 2 .
 2
 Giải (h.23) A
Đặt S ABCD S ,ta có 
SMNIK S (SDKM SDKIC ) (SANM SANIB ) B
 N
 M
 1 3 1 3 
 S S S S S O
 DAB BCD ACD ACB I
 4 4 4 4 K
 1 1 1 1 1 1 
 S SDAB SBCD SBCD SACD SACB SACB D C
 4 4 2 4 4 2 Hình 23
 1 1 1 1 S 1
 S S SBCD S SACB (SBCD SACB )
 4 2 4 2 2 2
 S S S S S S S S S
 ACB BCD ACD BCD AOD BOC 1 2
 2 2 2 2
 2 2
Ví dụ 20. Cho ngũ giác ABCDE có AC / /DE, BE / /CD, BD / / AE . Biết SABC 3cm ,SBCD 2cm . Tính diện 
tích ngũ giác đó
 Giải (h.24)
Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của BE, BD với AC. Ta có AKDE, ICDE là hình bình hành nên 
 AK DE IC . Suy ra AI KC B
Đặt SBIA SBKC x thì S BIK 3 2x và SDKC SBCD x 2 x
Do BI / /CD nên SDIK SBKC x
 X X
 S S 3 2x x A C
 BIK IK DIK I K
Ta có nên X
 SBKC KC SDKC x 2 x
 2 x 1
 x 7x 6 0 
 x 6, loai E D
 Hình 24 2 2 2
 Suy ra SCKD 2 x 1 cm , SAIE SCKD 1cm , SICDE 2SBCD 2.2 4cm
 2
 Vậy SABCD SABC SICDE SAIE 3 4 1 8 cm 
 B
 Ví dụ 21. Cho tứ giác ABCD. Dựng điểm O nằm trong tứ giác sao 
 A
 cho SOAB SOCD và SOAD SOBC
 Giải (h.25) N
 M
 Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm O sao cho 
 O
 SOAB SOCD , SOAD SOBC thì
 D C
 1 Hình 25
 S S S S S ( gọi S là diện tích tứ giác ABCD) 
 OAB OAD OCD OBC 2
 1
 S S 1 
 ABOD 2
 1
 Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm BD. Từ (1) suy ra S S S , mà S không đổi nên 
 ABD OBD 2 ABD
 SOBD không đổi, suy ra O nằm trên đường thẳng song song với BD, đường thẳng này phải đi qua M vì 
 1
 S S S
 MAB MAD 2
 Tương tự, O nằm trên đường thẳng đi qua N av2 song song với AC
 Cách dựng:
- Qua trung điểm M của AC, dựng đường thẳng d1 / /BD ( nếu M BD thì d1 là BD)
- Qua trung điểm N của BD, dựng đường thẳng d2 / / AC ( nếu N AC thì d 2 là AC)
- Giao điểm của d1 và d 2 là điểm O phải dựng
 Ví dụ 22. Cho tam giác đều ABC cạnh 4cm. Tìm vị rei1 của điểm M trên cạnh BC sao cho nếu gọi D là hình 
 chiếu của M trên AB, gọi E là hình chiếu của M trên Ac thì tứ giác ADME có diện tích lớn nhất
 Giải (h.26) Đặt SMDB S1 , SMEC S2
 S ADME lớn nhất S1 S2 nhỏ nhất
 A
 Đặt MB x, MC y thì x y 4 . Tam giác vuông MDB là nửa 
 x2 . 3 y2 . 3
 tam giác đều cạnh x nên S , Tương tự S 
 1 8 2 8
 x y 2
 3 2 2 3 E
 S1 S2 x y . 3
 8 8 2 D
 S2
 S1
 S1 S2 3 . Xảy ra đẳng thức x y
 B M C
 x y
 Hình 26
 2
 Vậy S ADME lớn nhất bằng 3 3cm khi và chỉ khi M là trung 
 điểm BC BÀI TẬP
 Diện tích hình vuông, hình chữ nhật
25. Tứ giác ABCD có AB a,CD b , hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo 
 a b 2
 thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Biết S . Chứng minh ABCD là hình thang cân
 EFGH 8
26. Cho tam giác nhọn ABC, BC a, AC b, AB c , điểm O nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là 
 hình chiếu của O trên AB, BC, CA. Đặt AD x, BE y,CF z
 a2 b2 c2
 a) Chứng minh bất đẳng thức x2 y2 x2 
 4
 b) Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các hình vuông theo thứ tự có cạnh là AD, BE, CF. Tìm vị trí của điểm O 
 để tổng diện tích của ba hình vuông nhỏ nhất
27. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S. Qua điểm O nằm trong hình chữ nhật , kẻ hai đường thẳng song 
 song với các cạnh của hình chữ nhật, chia nó thành bốn hình chữ nhật nhỏ. Gọi diện tích hình chữ nhật nhỏ 
 S
 có đỉnh A là S , diện tích hình chữ nhật nhỏ có đỉnh C là S , giả sử S S . Chứng minh S 
 1 2 1 2 1 4
 Diện tích hình thang, hình thoi
28. Tính diện tích hình thang ABCD, biết:
 a) Hai cạnh đáy bằng 16 cm và 44 cm, hai cạnh bên bằng 17 cm và 25 cm
 b) Hai cạnh đáy bằng 10 cm và 14 cm, hai cạnh bên bằng 13 cm và 15 cm
29. Tính đường cao của một hình thoi có hai đường chéo là m và n
 Diện tích tam giác
30. Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn, BC 20m , đường cao AH 10m . Hình chữ nhật MNPQ có 
 M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC
 a) Tính các cạnh của hình chữ nhật, biết diện tích của nó bằng 32cm2
 b) Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật
31. Tính diện tích tam giác ABC biết AB 13cm, AC 20cm, BC 21cm
32. Tính diện tích tam giác ABC vuông tại A có chu vi 60 cm, đường cao AH= 12cm
33. Tam giác ABc có B và C là các góc nhọn, đường cao AH, số đo các cạnh AB, BC, CA ( đơn vị : cm) là ba số 
 tự nhiên liên tiếp tang dần
 a) Tính hiệu HC – HB
 b) Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12 cm
34. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh là các số nguyên tố và số đo diện tích bằng số đo 
 chu vi
35. Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh Cd, sao cho AE = CF. Gọi I là điểm 
 bất kì trên cạnh AD, G và H theo thứ tự là giao điểm của IB và IC với EF. Chứng minh SBEG SCFH SIGH
36. Cho tam giác ABC cân tại A , điểm O nằm trong tam giác sao cho O· AC O· BA O· CB . Chứng minh 
 SAOB SCOB 37. Cho tam giác ABC có AB AC , đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho B· AD C· AM . 
 AB
 Điểm I trên đoạn AD. Chứng minh tỉ số các khoảng cách từ I đến AB và AC bằng 
 AC
38. Cho tam giác ABc vuông tại A AB AC có BC 2 4AB.AC . Tính góc C
39. Cho tam giác ABC có AB AC BC , đường phân giác AD, đường cao CH. Chứng minh CH AD
 Hướng dẫn: Lấy E đối xứng với D qua AB. Chứng minh DE AD
40. Cho tam giác ABC có diện tích S, điểm M nằm trong tam giác. Đặt BC a, AC b, AB c
 a)Ở ngoài tam giác ABC vẽ hình bình hành BCDE sao cho CD song song và bằng AM. Chứng minh rằng 
 SAMEB SAMDC SBCDE
 b) Chứng minh rằng a.AM b.BM c.CM 4S. Tìm vị trí của M đề xảy ra đẳng thức
 Diện tích tứ giác, đa giác
41. Tứ giác ABCD có M là trung điểm của BC và có diện tích gấp đôi diện tích tam giác AMD. Chứng minh 
 rằng ABCD là hình thang
42. Tứ giác ABCD có AB CD AC 8cm và có diện tích 8cm2
 a) Chứng minh AB song song với Cd
 b) Tính AC và BD
 1 1
43. Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE AB, BF AB . Trên 
 3 4
 cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho 
 1 1
 CG CD, DH CD . Tính diện tích tứ giác B
 3 4 E
 EFGH A S2
44. Cho tứ giác ABCD. Các điểm E, F, G, H thoe thứ tự 
 là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Kí hiệu S
 1 S F
 S , S , S , S , S như hình 27 5
 1 2 3 4 5 H S3
 Chứng minh S1 S2 S3 S4 S5
45. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Các điểm D, E, F S4
 theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho D G C
 AD BE CF Hình 27
 . Chứng minh rằng tứ giác ADGF, 
 AB BC CA
 BEGD, CFGE có diện tích bằng nhau 46. Một đoạn hè đường hình chữ nhật được lát bởi các viên 
 gạch hình bát giác hoặc hình tam giác vuông cân ( hình 
 28 là hình minh họa). Biết các cạnh của bát giác đều 
 bằng 1 dm và số gạch được lát bởi những viên gạch 
 không phải là bát giác đều. 
47. Cho tam giác ABC có diện tích S, D là trung điểm của 
 BC. Tính diện tích lớn nhất của tam giác DEF với E 
 thuộc cạnh AC
 Hình 28
 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ
 Chuyên đề 2
 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
25. (h.184) Dể dàng chứng minh EFGH là hình vuông nên B
 HF2
 S 
 EFGH 2
 E F
 2
 a b a b
 Theo đề bài SEFGH nên HF A C
 8 2
 H G
 D
 Hình 184