Chuyên đề bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 9: Tứ giác ngoại tiếp đường tròn. Chu vi và diện tích hình tròn (Có đáp án)

 Chuyên đề 9
TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN.
CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN
 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ
 Chuyên đề 9
 TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN.
 CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN
Bài 241. (h.397).
Xét hình thang ABCD AB// CD ngoại tiếp đường tròn (O), các tiếp điểm H, E, F như hình 
vẽ.
 BOC vuông tại O
 ab
 OH2 HB.HC EB.FC 
 4
 ab
 OH EF 2.OH ab 
 2
 AB CD a b
S .EF . ab
 ABCD 2 2
Bài 242.(h.398)
Trước hết ta chứng minh A, I, C thẳng hàng.
Gọi G, H là tiếp điểm trân AD, BC.
Ta có OH OE OG AE DF BOC vuông tại O
 OH2 HB.HC EB.FC
 AE EB IE
 AE.DF EB.FC 
 FC DF IF
 AIE ∽ CIF c.g.c A· IE C· IF 
Từ đó A, I, C thẳng hàng.
Do A, I, C thẳng hàng nên:
 1 1
S S AD.AE .2r.r r2 
 BIC AID 2 2
Bài 243. (h.399)
  
a) F1 Bµ 1 Cµ 1 F2 nên FI là tia phân giác của E· FG 
Tương tự I cũng là giao điểm của các tia phân giác của các góc E, H, G của tứ giác EFGH.
Vậy tứ giác EFGH ngoại tiếp đường tròn (I).
 
b) E· FG 2F1 2Bµ 1 . Tương tự E· HG 2Aµ 1 
Tứ giác EFGH nội tiếp E· FG E· HG 1800 
 0
 Aµ 1 Bµ 1 90 AC  BD
Bài 244. (h.400).
Gọi K là tiếp điểm của (I) với CD.
Kẻ CH  AB . Đặt BC x .
Hình thang cân ABCD ngoại tiếp
 AB CD 2BC 2 CD 2x CD 2x 2 
 OH KC x 1 
 HB OB OH 1 x 1 2 x 
 ABC vuông tại C nên BC2 AB.BH 
 x2 2 2 x x2 2x 4 0 
Do x 0 nên x 5 1 
BC 5 1 ; CD 2x 2 2 5 4 
Bài 245. (h.401). Xét tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O;r) .
Gọi S là diện tích, p là nửa chu vi của tứ giác, ta có :
 S p.r (1)
Gọi a, b, c, d là độ dài bốn cạnh liên tiếp của tứ giác.
Bạn đọc tự chứng minh (a c)(b d) 4S , xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi ABCD là hình 
chữ nhật. (2)
Do tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên:
 a c b d p 
do đó từ (2) suy ra p2 4S (3)
Từ (1), (3) suy ra p2 4pr p 4r 
Tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất bằng 8r khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật ngoại 
tiếp đường tròn (O;r) tức là ABCD là hình vuông.
Bài 246. (h.402).
a) Ba điểm O, O1, A thẳng hàng; ba điểm O, O2, B thẳng hàng; OO1CO2 là hình bình hành.
Gọi R1,R 2 là bán kính của các đường tròn (O1), (O2 ) . Dễ chứng minh R1 R 2 R 
Tổng các chu vi của hai hình tròn trên bằng 2 R .
b) Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của các hình tròn (O1), (O2 ) . Ta có:
 2 2
 2 2 (R1 R 2 ) R
S1 S2 R1 R 2 
 2 2
 R 2
min S S R R C là trung điểm của AB.
 1 2 2 1 2
 1 1
c) Ta có: C· IA C· O A, C· IB C· O B
 2 1 2 2
từ đó A· IB A· OB , dẫn đến quỹ tích của I là cung AOB của đường tròn ngoại tiếp AOB .
d) Từ C· IA C· IB dẫn đến đường thẳng IC đi qua điểm K chính giữa cung AmB của đường 
tròn ngoại tiếp AOB .
Bài 247. (h.403)
Kẻ OH  AB,OI  CD (không nhất thiết AB// CD )
Ta có: 2
 2 2 2 2 2 AB 
S1 .OA .OH OA OH .AH . 
 2 
 2
 CD 
Tương tự: S2 . 
 2 
Do AB CD nên S1 S2
Bài 248. (h.404).
Gọi R là bán kính, l là độ dài cung của hình quạt, theo đề bài 2R l 12
 Rl
Gọi S là diện tích hình quạt, ta có S 4S 2Rl 
 2
 2R l 12
 2 S 2Rl 6 
 2 2
 S 3 S 9 
 2 R 3dm 0
maxS 9dm (khi đó A· OB 115 ).
 l 6dm