Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 15

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.(Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc (dự bị) 2016-2017) 
 2 x 1 2x x 2 x 1
 Rút gọn biểu thức: A :
 3
 1 x x x 1 x 1
 Lời giải
 2 x 1 2x x 2 x 1
 Ta có: A :
 3
 1 x x x 1 x 1
 (2 x 1)(x x 1) x(2 x 1)(1 x) x3 1
  
 (1 x)(x x 1) 2 x 1
 (2 x 1)(x x 1 x x)( x 1)(x x 1) x 1
 (1 x)(x x 1)(2 x 1) 1 x
Câu 2.(Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2016-2017) 
 Rút gọn biểu thức B 13 30 2 9 4 2
 Lời giải
 B 13 30 2 9 4 2 13 30 2 8 2 8 1
 13 30 2 ( 8 1)2 13 30 2 8 1
 13 30 2 2 2 1 13 30 ( 2 1)2 18 2 18.5 25
 ( 18 5)2 3 2 5
Câu 3.(Đề thi HSG 9 huyện Trực Ninh 2016-2017) 
 5 3 3 5
 1) Rút gọn biểu thức: A = 
 2 3 5 2 3 5
 x2 x x2 x
 2) Cho A 
 x x 1 x x 1
 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
 b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
 Lời giải
 5 3 3 5
 1. Rút gọn biểu thức: A = 
 2 3 5 2 3 5
 5 3 3 5 2( 5 3) 2(3 5)
 A = = 
 2 3 5 2 3 5 2 6 2 5 2 6 2 5
 2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5)
 A = 
 2 ( 5 1)2 2 ( 5 1)2 5 3 3 5
 A = 2 2
 x2 x x2 x
 2. A 
 x x 1 x x 1
 a) ĐKXĐ: x 0
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3 3
 x2 x x2 x x x 1 x x 1 
 A 
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 
 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x x x 2 x
 2
 b) B = A + x – 1= 2 x x 1 x 2 x 1 x 1 2 2
 Dấu “=” xảy ra x 1 0 x 1 ( TM ĐKXĐ)
 Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
Câu 4.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2016-2017) 
 x 4 2x 5 x 1 x 1 1
 Cho biểu thức P x x 2 với x 0 và x .
 2x 3 x 2 4x 1 2 x 4
 3
 Rút gọn biểu thức P và tìm x để P .
 2
 Lời giải
 x 4 2x 5 x 1 x 1 1
 Cho biểu thức P x x 2 với x 0 và x . Rút 
 2x 3 x 2 4x 1 2 x 4
 3
 gọn biểu thức P và tìm x để P .
 2
 x 4 2x 5 x 1 2x2 4 x x x 2 
 P 
 (2 x 1)( x 2) (2 x 1)(2 x 1) 2 x 
 (mỗi ý trong khai triển được 0,25 điểm)
 x 2 2x 5 x 1 (2 x 1)(x x 2) 
 2 x 1 (2 x 1)(2 x 1) 2 x 
 2 x 1 (2 x 1)(x x 2) 
 (2 x 1)(2 x 1) 2 x 
 x x 2
 2 x
 + Với x 0 , ta có: x x 2 x x 1 1 3.3 x x.1.1 x x 2 3 x
 x x 2 3 x 3
 Suy ra P hay P ( dấu bằng xảy ra khi x 1).
 2 x 2 x 2
 3
 Do đó, để P thì x 1.
 2
 Hoặc trình bày cách khác:
 3 x x 2 3
 + Với x 0 , ta có: P x x 3 x 2 0 (*)
 2 2 x 2
 Đặt t x, t 0 .
 Khi đó (*) trở thành: t3 3t 2 0
 (t 1)2 (t 2) 0
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Vì t 2 0,(t 1)2 0 nên (t 1)2 (t 2) 0 t 1 0 t 1 hay x 1.
Câu 5.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2013-2014) 
 Rút gọn biểu thức A x 4 x 4 x 4 x 4 với x ≥ 4.
 Lời giải
 a) Với x ≥ 4, ta có :
 A (x 4) 4 x 4 4 (x 4) 4 x 4 4
 2 2
 x 4 2 x 4 2 
 x 4 2 x 4 2
 Xét các trường hợp :
 * Với x ≥ 8 ta có :
 A x 4 2 x 4 2
 2 x 4
 * Với 4 ≤ x < 8 ta có :
 A x 4 2 x 4 2
 4
Câu 6.(Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2015 - 2016) 
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
 Cho P = + 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
 Lời giải
 1.Điều kiện x > 0; x 1; 4
 ( x 2)( x 1)( x 1) ( x 2)( x 1)( x 1)
 P = + 
 ( x 2)( x 1)2 ( x 2)( x 1)2
 x 1 x 1
 = + 
 x 1 x 1
 2(x 1)
 = 
 x 1
 2(x 1) 2(x 1) 2x 2 x 1
 P > 1. . > 1 - 1 > 0 > 0
 x 1 x 1 x 1
 x 3
 > 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
 x 1
 x – 1 > 0 x > 1 
 Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
 Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1
 2(x 1) 4
 2. P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4
 x 1 x 1
 P nguyên x – 1 là ước của 4
 P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2
 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
Câu 7.(Đề thi HSG 9 huyện Hạ Hòa 2015 - 2016) 
 Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. 
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Hãy tính giá trị của biểu thức A x y 2016.
 Lời giải
 Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. Hãy tính A biết: A x y 2016 ?
 Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với x x2 2015 ta được:
 2015 y y2 2015 2015 x x2 2015 (1)
 Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với y y2 2015 ta được:
 2015 x x2 2015 2015 y y2 2015 (2)
 Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0.
 Vậy A = 2016.
Câu 8.(Đề thi HSG 9 tỉnh Ninh Bình 2014 - 2015) 
 x 4 x x 8 ( x 2)2 2 x 
 Cho biểu thức A = : 
 x 2 4 x x 2 
 Với x không âm,khác 4.
 a,Rút gọn A
 b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4
 c,Tìm x để A là số nguyên
 Lời giải
 x 4 x x 8 ( x 2)2 2 x 
 a) : 
 x 2 4 x x 2 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2
 .
 x 2 x 2 . x 2 x 4
 x 2 x 4 x 2
 x 2 . 
 x 2 x 4
 2
 x 2 x 2 x 4 x 2
 .
 x 2 x 4
 2 x
 x 4
 2 x
 b) Ta giả sử: 1 
 x 4
 2
 2 x x 4 x 2 x 1 3 x 1 3
 Suy ra 0 0 0 
 x 4 x 4 x 4
 2
 Vì x 1 3 0 luôn đúng, suy ra điều phải chứng minh
Câu 9.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Bình 2012 - 2013) 
 x x 26 x 19 2 x x 3
 Cho biểu thức: P 
 x 2 x 3 x 1 x 3
 a) Rút gọn P.
 b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 a) ĐK: 0 x 1.Ta có:
 x x 26 x 19 2 x x 3
 P 
 ( x 1)( x 3) x 1 x 3
 x x 26 x 19 2 x( x 3) ( x 3)( x 1)
 ( x 1)( x 3)
 x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3
 ( x 1)( x 3)
 x x x 16 x 16 ( x 1)(x 16) x 16
 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 3
 b) 
 x 16 25 25
 P x 3 x 3 6
 x 3 x 3 x 3
 25
 2 ( x 3) 6 10 6 4
 x 3
 25
 Vậy GTNN của P = 4 khi x 3 x 4
 x 3
Câu 10.(Đề thi HSG 9 tỉnh Hưng Yên 2014 - 2015) 
 3 6 3 10
 Cho x 2 3 . Tính giá trị của biểu thức 
 3 1
 2015
 A x4 x3 x2 2x 1 .
 Lời giải
 3
 3
 3 6 3 10 3 3 3 9 3 3 1 3 1 
 x 2 3 2 3 2 3 
 3 1 3 1 3 1
 2 2 2
 3 1 4 2 3 3 1 1 3 3 1 
 2 3 2
 3 1 2 2 2 2
 Thay x 2 vào A ta có 
 2015 2015
 A x4 x3 x2 2x 1 4 2 2 2 2 2 1 12015 1
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1.(Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc (dự bị) 2016-2017) 
 3 4 x
 a) Tìm GTNN của biểu thức: A 
 x 1
 b) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1. 
 Chứng minh rằng: x + y + y + z + z + x 6
 c) Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác). 
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 1 1 1 
 Chứng minh rằng : 2. .
 p a p b p c a b c 
 Lời giải
 a) ĐK: x 0 
 3 4 x (x 4 x 4) (x 1) ( x 2)2
 A 1 1 (vì x 0)
 x 1 x 1 x 1
 Chỉ ra được: Min A = -1 khi x = 4 (tmđk)
 b) Áp dụng BĐT Bunhiakopski có 
 2 2 2 2
 A2 1. x + y +1. y + z + 1. z + x 12 12 12 x + y y + z z + x 
 = 3.2(x +y + z) = 6.1 = 6 (vì x + y + z = 1)
 1
 Suy được A 6 khi a b c 
 3
 b c a
 c) Chỉ ra được: p a 0; p b 0; p c 0 
 2
 Áp dụng BĐT Cô si ta có : 
 1 1 2
 ( p a) ( p b) 2 ( p a)( p b). 4
 p a p b ( p a)( p b)
 1 1 4 4
 Suy được: 
 p a p b p a p b c
 1 1 4 1 1 4
 Tương tự: ; 
 p b p c a p c p a b
 1 1 1 1 1 1 
 Suy được: 2. 4. 
 p a p b p c a b c 
 Suy được đpcm và 
 Dấu “=” xảy ra khi a b c.
Câu 2.(Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2016-2017) 
 Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng
 8 8 8 8 8 8
 a2 b2 c2 
 (a b)2 4abc (b c)2 4abc (a c)2 4abc a 3 b 3 c 3
 Lời giải
 Ta có
 8 8 8 (a b)2
 ;a2 b2 nên
 (a b)2 4abc (a b)2 c(a b)2 (c 1)(a b)2 2
 8 a2 b2 8 (a b)2 2 2
 (a b)2 4abc 2 (c 1)(a b)2 4 c 1
 2 2 8 8
 c 1 2. 2 c 1 c 3
 8 a2 b2 8
 Do đó, 
 (a b)2 4abc 2 c 3
 8 b2 c2 8 8 a2 c2 8
 Tương tự , .
 (b c)2 4abc 2 a 3 (a c)2 4abc 2 b 3
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Câu 3.(Đề thi HSG 9 huyện Trực Ninh 2016-2017) 
 a b c
 Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
 Lời giải
 a b c
 Chứng minh rằng 2 .
 b c c a a b
 a 2a
 Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c 2 a b c 
 b c a b c
 Chứng minh tương tự ta được
 b 2b c 2c
 ; 
 c a a b c a b a b c
 a b c 2 a b c 
 Suy ra 2
 b c c a a b a b c
 a b c
 Dấu bằng xảy ra b c a a b c 0(Trái với giả thiết)
 c a b
 Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
Câu 4. Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2016-2017) 
 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa ab bc ca 3abc. 
 a3 b3 c3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
 c a2 a b2 b c2
 Lời giải
 1 1 1
 Cách 1: Theo đề : ab bc ca 3abc 3
 a b c
 a3 (a3 ac) ac ac
 a 
 c a2 c a2 c a2
 ac 1 c 1
 c a2 2a c c 
 c a2 2 4
 a3 c 1
 Suy ra a .
 c a2 4
 b3 a 1 c3 b 1
 Tương tự : b , c .
 a b2 4 b c2 4
 3 3
 Suy ra A (a b c) 
 4 4
 1 1 1 
 Dùng BĐT Cô Si chứng minh được: a b c 9
 a b c 
 a b c 3 9 a b c 3
 3
 Suy ra A , dấu bằng xảy ra khi a b c 1.
 2
 1 1 1
 Cách 2 :Ta có: ab bc ca 3abc 3
 a b c
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 x, y, z 0
 Đặt x , y , z , khi đó: .
 a b c x y z 3
 x y z
 Biểu thức A được viết lại: A 
 y(x y2 ) z(y z2 ) x(z x2 )
 x (x y2 ) y2 1 y
 Ta có : ; 
 y(x y2 ) y(x y2 ) y x y2
 y 1 x 1 1
 mà x y2 2y x nên ; 
 x y2 2 x y(x y2 ) y 2 x
 1 1 1 1 1 x 1 1 1 
 mà .2 1. 1 nên 2 1 
 2 x 4 x 4 x y(x y ) y 4 x 
 (dấu bằng xảy ra khi x y 1)
 3
 Vậy min A khi a b c 1.
 2
 y 1 1 1 z 1 1 1 
 Tương tự : 2 1 , 2 1 
 z(y z ) z 4 y x(z x ) x 4 z 
 3 1 1 1 3
 Suy ra A .
 4 x y z 4
 1 1 1 
 Dùng BĐT Cô Si chứng minh được: x y z 9 .
 x y z 
 1 1 1 1 1 1
 3 9 3 (vì z y z 3 ).
 x y z x y z
 3
 Do đó A , dấu bằng xảy ra khi x y z 1 hay a b c 1.
 2
 3
 Vậy min A khi a b c 1.
 2
Câu 5.(Đề thi HSG 9 tỉnh Quảng Nam 2013-2014) 
 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.
 Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
 Lời giải
 Ta có : a2 b2 c2 1 a2 1 b2 c2 1 
 1 a 1 1 a 0
 Tương tự : 1 b 0; 1 c 0
 (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 0
 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1)
 Mặt khác: (1 + a + b + c)2 = (1 + a)2 + (b + c)2 + 2(1 + a)(b + c)
 = 1 + a2 + b2 + c2 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc
 = (a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2) + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc
 = 2(a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc)
 1
 a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc = (1 + a + b + c)2 ≥ 0 (2)
 2
 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : 
 abc + a2 + b2 + c2 + 1 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0
 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 6.((Đề thi HSG 9 thành phố Thanh Hóa 2015 - 2016) 
 1 1
 1. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 - ) < 2(x3 - )
 x2 x3
 9
 2. Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .
 4
 Hãy tìm GTNN của P = 1 a4 + 1 b4
 Lời giải
 1 1
 1. 3(x2 - ) < 2(x3 - ) 
 x2 x3
 1 1 1 1
 3(x - )(x + ) < 2(x - )(x2 + + 1)
 x x x x2
 1 1
 3(x + ) < 2(x2 + + 1) (1) 
 x x2
 1
 ( Vì x > 1 nên x - > 0)
 x
 1 1
 Đặt x + = t thì x2 + = t2 – 2
 x x2
 Ta có (1) 2t2 – 3t – 2 > 0
 (t – 2)(2t + 1) > 0 (2)
 1
 Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 x2 + 1 > 2x x + > 2 hay t > 2 
 x
 (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh 
 2. 
 Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2; 1 và 1; 4 ta có
 (12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2
 a2 4
 1 a4 ≥ (1) 
 17
 1
 Dấu “=” xảy ra a = 
 2
 Áp dụng Bunhiacopski cho b2; 1 và 1; 4 ta có 
 b2 4
 17(b4 + 1) ≥ (b2 + 4)2 b4 1 ≥ (2) 
 17
 1
 Dấu “=” xảy ra b = 
 2
 a2 b2 8
 Từ (1) và (2) P ≥ ( ) 
 17
 9 5
 Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) = a + b + ab = 
 4 4
 Áp dụng Côsi ta có: 
 1
 a a2 + 
 4
 1
 b b2 + 
 4
 a2 b2
 ab 
 2
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được
 3 1 5
 (a2 b2 ) + ≥ a + b + ab = 
 2 2 4
 5 1 3 1
 a2 + b2 ≥ ( - ): = Thay vào ( )
 4 2 2 2
 1
 8
 17
 P ≥ 2 = 
 17 2
 17 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi a = b = 
 2 2
Câu 7.(Đề thi HSG 9 huyện Hạ Hòa 2015 - 2016) 
 Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2
 P .
 2abc c2 ab a2 bc b2 ca
 Lời giải
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac
 P 
 2bc 2ca 2ab c2 ab a2 bc b2 ac
 a2 a2 bc 1 b2 b2 ac 1 c2 c2 ab 1
 Mà ; ; nên
 2bc 2bc 2 2ac 2ac 2 2ab 2ab 2
 x y
 Với các số dương x, y ta có 2 (x y)2 0 luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ 
 y x
 khi x = y.
 Áp dụng ta có:
 c2 ab 2ab a2 bc 2bc b2 ac 2ac 3 3 9
 P 2 2 2 ≥ 2+2+2 - 
 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2 2 2
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
 a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 9
 Kết luận :giá trị nhỏ nhất của P bằng 
 2abc c2 ab a2 bc b2 ca 2
 khi a = b = c
Câu 8.(Đề thi HSG 9 tỉnh Ninh Bình 2014 - 2015) 
 Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 A= 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2
 Lời giải
 Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 A = 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2
 A = 2(x y)2 xy 2(y z)2 yz 2(z x)2 zx
 (x y)2 7
 Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 - = (x + y)2 
 4 4
 7
 => 2x2 3xy 2y2 ≥ (x + y) dấu “=” xảy ra khi x = y
 2
 7
 Tương tự: 2y2 3yz 2z2 ≥ (y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z
 2
 7
 2z2 3zx 2x2 ≥ (z + x) dấu “=” xảy ra khi z = x
 2
  Trang 10 