Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 16

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 Câu 1. Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
 2 3 2 3
 Tính giá trị của P 2 2 
 4 2 3 4 2 3
 1 1 
 2 2
 Giải:
 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3
 P 1
 3 3 3 3 6 6 6 6
 x
 a) Rút gọn được A 
 x x 1
 b) Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên
 Câu 2. (Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
 2 3 2 3
 Tính giá trị của P 2 2 
 4 2 3 4 2 3
 1 1 
 2 2
 Giải:
 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3
 P 1
 3 3 3 3 6 6 6 6
 Câu 3. (Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2011 – 2012)
 2
 Cho x . Tính giá trị của biểu thức 
 1 1
 2 1 1 2 1 1
 2012
 A x4 x3 x2 2x 1 
 Giải:
 Rút gọn x 2 . Thay x 2 vào biểu thức A ta được A = 1
 Câu 4. (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015 – 2016)
 x 4 1 2 x 5 
 A : 1 
 Cho biểu thức 
 x 4 x 2 x 2 
 Rút gọn biểu thức A
 Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Giải:
 x 0
 x 0
 Điều kiện x 4 0 
 x 4
 2 x 5
 1 0
 x 2
 2 x 3 x 3 2
 Ta có: A : A 
 x 4 x 2 2 x
 Để x, A ¢ thì 2 x là ước của 2. Suy ra 2 x nhận các giá trị 1; 2 
 2 x 1 1 2 2
 x 1 9 0 16
 A 2 2 1 1 
Câu 5. (Đề thi HSG tỉnh Cần Thơ năm học 2012 – 2013)
 2m 16m 6 m 2 3
 P 2
 1. Cho biểu thức m 2 m 3 m 1 m 3 
 Rút gọn P
 Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên
 2013
 a3 15a 25 3 3
 2. Tính giá trị với a 13 7 6 13 7 6 
 Giải:
 a) Điều kiện : m 0;m 1 
 m 1
 P 
 m 1 
 2
 P 1 
 b) m 1 
 Để P ¥ m 4;9 
 3 3 3
 a 13 7 6 13 7 6 a 26 15a 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2013
 a3 15a 25 1 a3 15a 25 1
Câu 6. (Đề thi HSG tỉnh Đắc Lắc năm học 2016 – 2017)
 Cho số thực a mà a > 2. Rút gọn biểu thức 
 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 
 A . 
 a a 2 a 1 a 2 a 1 
 Giải
 3 3 
 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 1 a 1 1 a 1 1 
 A . . 
 a a 2 2
 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 1 a 1 1 
 1 a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 1 
 . 
 a a 1 1 a 1 1 
 1
 . a a 1 a a 1 2 (doa 2 a 1 0; a 1 1 0)
 a 
Câu 7. (Tuyển sinh vào 10 chuyên Bình Định năm học 2013 – 2014)
 x 2 x 2 
 Cho biểu thức: Q x x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
 x 2 x 1 x 1 
 1. Rút gọn Q
 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
 Giải
 1. Rút gọn Q
 x 2 x 2 x 2 x 2 
 Q x x x x 1
 x 1 2 
 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 2 x x 2 2x
 . x x 1 . x 
 2 x 1
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên:
 2x 2
 Q= 2 Q ¢ x 1 ¦ (2)= 2; 1;1;2 x 1;0;2;3 
 x 1 x 1
 Kết hợp với điều kiện => x 0;2;3
 Vậy với x 0;2;3 thì Q nhận giá trị nguyên.
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Câu 8. (Tuyển sinh vào 10 chuyên Bình Định năm học 2013 – 2014)
 Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A 7 13 7 13 2
 Giải
 A 7 13 7 13 2 .Ta có:
 2 2
 2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2
 13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0
 A 0
 Câu 9. (Tuyển sinh vao 10 chuyên Hải Phòng năm học 2012 – 2013)
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
 Cho A . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A
 x 2 x 3 x 1 x 3
 Giải
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
 1) A 
 x 2 x 3 x 1 x 3
 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1)
 A 
 ( x 1)( x 3)
 17
 A 5 .
 x 3
 2
 A lớn nhất x 0 khi đó A lớn nhất bằng .
 3
Câu 10. (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre năm học 2016 – 2017)
 2
 2 2
 x 3 12x 2
 Cho biểu thức B x 2 8x . Rút gọn biểu thức B và 
 x2
 tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
 Giải:
 2 2
 2 2 2 2
 x 3 12x 2 x 3 2 x 3
 B x 2 8x x 2 x 2 
 x2 x2 x
 x2 3 2x2 2x 3 3
 +) Nếu x < 0: B x 2 2x 2 
 x x x
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x x 1
 B có giá trị nguyên khi ¢ x U(3) và x < 0 
 3 x 3
 x2 3 2x 3 3
 +) Nếu 0 <x 2 : B x 2 2 
 x x x
 3
 B có giá trị nguyên khi ¢ x Ư (3) và x>2 x 3 
 x
 Vậy:
 2x2 2x 3
 khi x 0
 x
 2x 3
 B khi0 x 2 
 x
 2x2 2x 3
 khi x 2
 x
 B có giá trị nguyên khi x 1; 3
Câu 11. (Tuyển sinh vào chuyên tỉnh Quảng Ninh năm học 2017 – 2018)
 3 3 x 3 
 Cho biểu thức: A 1 (với x 0; x 3 ).
 2 3 
 x x 3 3 x 27 3 x 
 1. Rút gọn biểu thức A.
 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 5 3 29 12 5 .
 Giải:
 1. Với điều kiện xác định là x 0; x 3
 3 3 x 3 
 A = 1 
 2 3 
 x x 3 3 x 27 3 x 
 3 3 x 2 x 3 3 
 = 
 2 2 
 x x 3 3 (x 3)(x x 3 3) 3x 
 (x 3) 3 3 x 2 x 3 3 
 = 
 2 
 (x 3)(x x 3 3) 3x 
 1
 x 3
 2. Ta có : 
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 3 5 3 29 12 5 
 3 5 3 (2 5 3)2 
 3 5 6 2 5
 3 5 ( 5 1)2
 3 1 . Nên thay x = 3 + 1 vào A ta có:
 1
 A = = 1
 x 3
 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 12. Đề thi HSG tỉnh Phú Yên năm học 2017 – 2018)
 Cho a, b, c >0. Chứng mnh rằng:
 a a a b c
 a) b) 1
 a 2b a b a 2b b 2c c 2a
 Giải
 a a a
 a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : . 
 a 2b a.(a 2b) a b
 a a
 Dấu “=” xảy ra khi a a 2b b 0 vô lý. Vậy 
 a 2b a b
 b) Tương tự câu a ta có : 
 a b c a b c a b c
 1
 a 2b b 2c c 2a a b b c c a a b c a b c a b c
Câu 13. (Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2011 – 2012)
 a) Cho các số thực a, b, c sao cho 1 a,b,c 2. Chứng minh rằng 
 1 1 1 
 a b c 10 
 a b c 
 b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi 
 ném bóng vào rổ. 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số 
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng 
 có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả.
 Giải:
 1 1 1 a b c b c a
a) a b c 10 7 
 a b c b c a a b c
 Không mất tính tổng quát , giả sử a b c. Khi đó ta có a b b c 0 
 a a b c c b
 Suy ra ab bc b2 ca . Từ đó suy ra 1 ; 1 
 c b c a b a 
 a b c b c a a c 
 Suy ra 2 2 
 b c a a b c c a 
 a c 
 Ta cần chứng minh 2 5 
 c a 
 2a 2c 
 Tức là chứng minh 1 1 0(*) 
 c a 
 a c 1
 Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì 2 a c 1 1; 
 c a 2
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh
 b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là a1;a2 ;a3;........;a7 
 được xếp từ nhỏ đến lớn a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 (1) 
 Xét hai trường hợp:
 TH1: a5 16. Suy ra a6 17;a7 18. Do đó ta có a5 a6 a7 51 (2) 
 TH2: a5 15 suy ra a4 14;a3 13;a2 12;a1 11 
 Ta có a1 a2 a3 a4 50 
 Suy ra a5 a6 a7 50(3) 
 Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 14. Câu 3: (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015 – 2016)
 Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x 2y 1. Tính giá trị nhỏ nhất 
 của biểu thức 
 H x2 y2 xy x y 2 
 Giải:
 Do x, y ¢ và 3x + 2y = 1 suy ra x, y trái dấu 
 1 x 1 x
 3x 2y 1 y x t ¢
 2 2 
 x 1 2t;y 3t 1
 Khi đó H t2 3t t 1 
 Nếu t 0 H t 1 2 2 2, dấu “=” xảy ra khi t = 1
 Nếu t <0 H t2 4t 1 1 2 
 x 1
 Vậy GTNN của H là – 2 khi t 1 
 y 2
Câu 15. (Đề thi HSG tỉnh Cần Thơ năm học 2012 – 2013)
 x y 2
 Cho hai số x, y thỏa mãn 2 2 
 x y xy 3
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x2 y2 xy 
 Giải:
 x y 2 x y 2 a (a 0)
 Hệ 2 2 2 2 
 x y xy 3 x y xy 3
 x y 2 a
 2
 Do đó 2 ; S 4P 0 0 a 4 
 xy 2 a 3
 2
 T x2 y2 xy 2xy 9 2 2 a 
 Min T= 1 khi x=1; y=1 hoặc x= - 1 , y = - 1 
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Max T = 9 khi x 3,y 3 hoặc x 3,y 3 
Câu 16. (Đề thi HSG tỉnh Đắc Lắc năm học 2016 – 2017)
 Cho hai số thực a, b thay đổi sao cho 1 a 2;1 b 2 . Tìm giá trị lớn nhất 
 2 4 2 2 4 2 
 của biểu thức A a b 2 b a 2 
 a b b a 
 Giải:
 2
 x y 
 Áp dụng BĐT xy 
 4
 2 2 2 4 2 4 
 a b a 2 b 2 
 2 4 2 2 4 2 a b a b 
 Ta có: A a b 2 b a 2 
 a b b a 4
 2 4 2 4
 Đặt a x a2 x2 4;b y b2 y2 4 
 a a2 b b
 Lại có 1 a 2 ;1 b 2 suy ra 
 2 a2 2 3a 2 2
 a 1 a 2 0 a2 3a 2 a 3 0 x 3 
 a a a
 2 b2 2 3b 2 2
 b 1 b 2 0 b2 3b 2 b 3 0 y 3 
 b b b
 2 2
 x y x2 y2 8 3 3 9 9 8 
 Nên A 64 
 4 4
 4 2 4 2
 a b2 b a2 
 a2 b b2 a
 a b 1
 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 2 0 
 a b 2
 b 1 b 2 0
 a b 1
 Vậy Max A 64 
 a b 2
Câu 17. (Đề thi HSG tỉnh Bình Định năm học 2013 – 2014)
 bc ca ab
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : a b c.
 a b c
 Giải:
 bc ca ab
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : a b c.
 a b c
 a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được:
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 bc ca bc ca 
 2 . 2c 
 a b a b 
 ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab
 2 . 2a  2 2. a b c a b c
 b c c b a b c a b c
 bc ab bc ab 
 2 . 2b 
 a c a c  
Câu 18. (Đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm học 2012 – 2013)
 a 4b 9c
 Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng: 4
 b c c a a b
 Giải:
 a 4b 9c 1 4 9
 Chứng minh rằng: 4 (a b c)( ) 18
 b c c a a b b c a c a b
 Thật vậy: 
 1 4 9 b c 4(a c) 9(a b)
 [(b c) (a c) a b)]( ) ( )2 36
 b c a c a b b c (a c) (a b)
 1 4 9
 (a b c)( ) 18 Điều phải chứng minh
 b c a c a b
Câu 19. (Tuyển sinh vào chuyên tỉnh Quảng Ninh năm học 2017 – 2018)
 Cho a; b thoả mãn a 2; b 2 . Chứng minh rằng:
 (a2 1)(b2 1) (a b)(ab 1) 5.
 Giải:
 Xét hiệu M (a2 1)(b2 1) (a b)(ab 1) 5
 (a2b2 a2b ab2 ab) (a 2 b2 a b ab) 4
 1
 ab(a 1)(b 1) (a b)2 a(a 2) b(b 2) 4 .
 2 
 Chỉ ra với a 2 thì a(a 1) 2 và a(a 2) 0
 b 2 thì b(b 1) 2 và b(b 2) 0
 1
 nên ab(a 1)(b 1) 4; (a b)2 a(a 2) b(b 2) 0
 2 
 M 0 hay (a2 1)(b2 1) (a b)(ab 1) 5.
  Trang 10 