Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 18

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Bài 1. (Thi HSG Tỉnh Đồng Tháp năm học 2016- 2017)
 4 3 2 2 10
 Tính giá trị biểu thức A 
 1 2 3 2 1
Giải:
Ta có:
 2
4 3 2 2 10 4 2 1 10 4 2 1 10 6 4 2
 1 2 3 2 1 3 2 3 2 2 1 6 4 2
 A 1
Bài 2. (Thi HSG Tỉnh Đồng Tháp năm học 2016- 2017)
 x x x 5 2x
Cho biểu thức P 
 x 1 x 1 x 1
 a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P
 b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7
Giải:
 a) ĐK: x 0 ;x 1 
 x2 x x x x x 5 2x x2 x 5
 P 
 x 1 x 1
 5
 b) P x 
 x 1
 5
 P 7 x 7 x2 8x 12 0
 x 1 
 x 2;x 6 (nhận)
Bài 3. (Thi HSG Tỉnh Lạng Sơn năm học 2014- 2015)
 x 2 x 1 1
Cho biểu thức A (x 0;x 1) 
 x x 1 x x 1 1 x
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x>0; x 1 
Giải: 
 x
1. Rút gọn được A 
 x x 1
2. Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên
Bài 4. (Thi Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ năm học 2012- 2013)
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Tính giá trị của biểu thức A 29 30 2 9 4 2 5 2
Giải:
A 29 30 2 9 4 2 5 2 29 30 2 2 2 1 5 2 59 30 2 5 2 5 2 3 5 2 3
Bài 5. (Thi THPT Chuyên- TP HCM năm học 2010- 2011 )
 7 + 5 + 7 - 5
Thu gọn biểu thức: A= - 3 - 2 2
 7 + 2 11
Giải:
 7 + 5 + 7 - 5
Xét M =
 7 + 2 11
 14 2 44
Ta có M > 0 và M 2 2 , suy ra M = 2
 7 2 11
A= M- 3 - 2 2 = 2 -( 2 -1)=1
Bài 6. (Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)
 x 2 x 1 x 1
Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
a) Rút gọn biểu thức P.
 2
b) Tìm x để P .
 7
c) So sánh: P2 và 2P.
Giải:
a) Điều kiện: x 0, x 1.
 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
P : :
 3 
 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 2
 x 2 x ( x 1) (x x 1) x 1 x 2 x 1 2 2
 : . 
 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1
 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
b) Với x 0, x 1. Ta có:
 2
P 
 7
 2 2
 x x 1 7
 x x 1 7
 x x 6 0
 ( x 2)( x 3) 0
Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4(t/m) 
 2
Vậy P = khi x = 4
 7
c) Vì x 0 x x 1 1
 2
 0 2
 x x 1
 0 P 2
 P(P 2) 0
 P 2 2P 0
 P 2 2P
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
 2
Vậy P 2P
Bài 7. (Thi chuyên Tin Hoàng Văn Thụ- tỉnh Hòa Bình năm học 2013- 2014)
 x 2 x 2 1 x
a/ Rút gọn biểu thức P ( ).( )2
 x 1 x 2 x 1 2
 x2 1
b/ Tìm giá trị x nguyên để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
 x 1
Giải:
a) ĐK: x 0, x 1
 x 2 x 2 (1 x) 2
P .
 2 
 ( x 1)( x 1) ( x 1) 2
 Trang 3 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 x ( x 1)2 ( x 1)2
 . x x
 ( x 1)2 ( x 1) 2
 2
b) Ta có M x 1 
 x 1
M nhận giá trị nguyên x 1 là ước của 2
 x 0
 x 1 1 x 2
 . KL 
 x 1 2 x 3
 x 1
Bài 8. (Thi chuyên Toán Hoàng Văn Thụ- tỉnh Hòa Bình năm học 2015- 2016)
 1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
 4 8 15
 a)A 
 3 5 1 5 5
 b)B 2 2 2 1 2 2 2 1
 2) Rút gọn biểu thức:
 a2 a a2 a
 C a 1
 a a 1 a a 1
Giải:
 4 8 15 4(3 5) 8(1 5) 15 5
a) A 3 5 2 2 5 3 5 5
 3 5 1 5 5 4 4 5
 B 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2 1 1)2 ( 2 1 1)2
b) 
 2 1 1 1 2 1 2
c) ĐK a 0
 a ( a)3 1 a ( a)3 1 
 a 1 a( a 1) a( a 1) a 1
 a a 1 a a 1
 a a a a a 1 ( a 1)2
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Bài 1. (Thi chuyên Hùng Vương- Phú Thọ năm 2009- 2010) 
 5
Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 4
 4 1
thức A .
 x 4y
Giải:
 Trang 4 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1
Với y > 0 ta có: 4y 2 .4y 2
 4y 4y
4 1 4 1
 4(x y) 10 A 5
 x 4y x 4y
 4
 4x
 x
 x 1
 1 
Dấu đẳng thức xảy ra 4y 1
 4y y 
 4
 5
 x y 
 4
 1
Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y = 
 4
Bài 2. (Thi HSG Tỉnh Hưng Yên năm học 2016- 2017)
Cho ba số a,b,c 1 thỏa mãn 32abc 18(a b c) 27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 a2 1 b2 1 c2 1
P 
 a b c
 +) Sử dụng bất đẳng thức : Với x,y,z 0 , ta luôn có x y z 3(x y z) 
 Giải: 
 Từ bất đẳng thức đã cho ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 P 1 2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 9 3 2 2 2 
 a b c a b c a b c 
 2
 1 1 1 
 Suy ra P 9 
 a b c 
 1 1 1 27
 Từ giả thiết 32abc 18(a b c) 27 18 32 (*) 
 ab bc ca abc
 2 3
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Ta có . và . 
 ab bc ca 3 a b c abc 27 a b c 
 1 1 1
 Đặt t . Từ (*) ta có 
 a b c
 2 3
 t t 3 2 2
 18 27. 32 t 6t 32 0 t 2 t 4 0 t 2 
 3 27 
 2
 1 1 1 2
 Suy ra P 9 9 2 5 
 a b c 
 3
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 
 2
 Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 
Bài 3 . (Thi HSG Tỉnh Đồng Tháp năm học 2016- 2017)
 Trang 5 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 
a) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng a b c 9 
 a b c 
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 x y z
P 
 x 1 y 1 z 1
Giải:
 a b c 33 abc (1)
a) Ta có : 1 1 1 1 
 33 (2)
 a b c a.b.c
 1 1 1 
Nhân vế theo vế của (1) cho (2), ta được a b c 9 
 a b c 
 x y z 1 1 1 1 1 1 
b) P= 1 1 1 3 
 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 
 1 1 1 9
 Ta có : (theo Bài a)
 a b c a b c
 1 1 1 9 9
 Nên 
 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 4
 9 3
 P 3 
 4 4
 3 1
 Vậy GTLN của P là khi x y z 
 4 3
Bài 4. (Thi chuyên Hùng Vương- Phú Thọ năm 2009- 2010) 
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab bc ca 3. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 2 2 2 1
 a 2 b 2 c 2
Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2b2 b2c2 c2a2 a2b2c2 4
Đặt bc x,ca y,ab z . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
x2 y2 z2 xyz 4 với x, y, z 0 : x y z 3
Không giảm tổng quát, coi x min x, y, z , thế thì x 1 và 
x2 y2 z2 xyz 4 x2 y z 2 yz x 2 4
 2 1 2
 x2 y z y z x 2 4
 4
 x 2 2 x 2 2
 x2 y z 4 x2 3 x 4
 4 4
 1 2
 x 1 x 2 0
 4
Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 a b c 1
Bài 5. (Thi chuyên Toán Hoàng Văn Thụ- tỉnh Hòa Bình năm học 2015- 2016)
 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 0, y 0, z 0 1 1 1
 Cho .Chứng minh rằng: 1
 xyz 1 x y 1 y z 1 z x 1
Giải:
 x a3
 3 x, y, z 0 a,b,c 0
Đặt y b , vì 
 xyz 1 abc 1
 3 
 z c
Ta có
 a b c
x y 1 a3 b3 1 (a b)(a2 ab b2 ) 1 (a b)ab 1 ab(a b c) 
 c
Do đó
 1 c
 x y 1 a b c
Tương tự ta có 
 1 a
 y z 1 a b c
 1 b
 z x 1 a b c
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.
Bài 6. (Thi chuyên Hoàng Văn Thụ- Hòa Bình năm học 2013- 2014)
 1
Cho x 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 x 2013
 x
Giải:
 1 1
Ta có A x2 x 2013 (x 1)2 (x ) 2012
 x x
A 0 2 2012 2014 . Đẳng thức xảy ra x 1
Vậy Amin 2014 khi x 1.
Bài 7. (Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
Giải: 
 a a a c
* Vì a, b, c > 0 nên 1 .
 a b a b a b c
 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b b a c c b
Tương tự: ; 
 b c a b c c a a b c
 a b c
 2 (1)
 a b b c c a
 a a
* Ta có: 
 b c a(b c)
Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
a (b c)
 a (b c) 0
 2
 2 1
 a b c a (b c)
 2a a 2a a
 a b c a(b c) a b c b c
 2b b 2c c
Tương tự: ; 
 a b c a c a b c b a
 a b c
 2
 b c c a a b
Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
 a b c
 2 (2) 
 b c c a a b
Từ (1) (2) ta có đpcm.
Bài 8. (Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)
 2 2
Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Giải:
x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x y 2 7(x y) 10 y2
 (x y 2)(x y 5) y2 0
 4 x y 1 1
* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
Amax = - 1 khi x = -2; y = 0
Bài 9. (Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
Giải:
 a a a c
* Vì a, b, c > 0 nên 1 .
 a b a b a b c
 b b a c c b
Tương tự: ; 
 b c a b c c a a b c
 a b c
 2 (1)
 a b b c c a
 a a
* Ta có: 
 b c a(b c)
Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
a (b c)
 a (b c) 0
 2
 2 1
 a b c a (b c)
 2a a 2a a
 a b c a(b c) a b c b c
 Trang 9 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2b b 2c c
Tương tự: ; 
 a b c a c a b c b a
 a b c
 2
 b c c a a b
Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
 a b c
 2 (2) 
 b c c a a b
Từ (1) (2) ta có đpcm.
Bài 10. (Thi HSG Tỉnh Nghệ An năm học 2015- 2016)
 a 1 b 1 c 1
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 3 
 b2 1 c2 1 a2 1
Giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô si
 a 1 b2 a 1 b2 a 1 b ab
Ta có: a 1 a 1 a 1 (1)
 b2 1 b2 1 2b 2
 b 1 c bc
Tương tự: b 1 (1) 
 c2 1 2
 c 1 a ca
và c 1 (3)
 a2 1 2
Từ (1); (2) và (3) suy ra:
 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca
 3 
b2 1 c2 1 a2 1 2 2
Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca 
hay3(ab bc ca) a b c 2 9 
 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 9
Do đó: 3 = 3 3
 b2 1 c2 1 a2 1 2 2 2 6
 Trang 10