Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 4

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Đồng Xuân 2015-2016)
 x x 2 x 3 x 2 
 Cho biểu thức A = 1 : với 
 x 1 x 5 x 6 x 2 x 3 
x 0; x 4; x 9
 a/ Rút gọn biểu thức A.
 b/ Tính A khi x = 4 2 3
 1
 c/ Tìm x để A có giá trị là 
 2
 Lời giải
a/ Rút gọn biểu thức A. (2đ)
 1 x 2 x 9 x 4
Với x 0; x 4; x 9 ta có A :
 x 1 ( x 2)( x 3)
 1 x 3
 :
 x 1 ( x 2)( x 3)
 1
 ( x 2)
 x 1
 x 2
 x 1
 2
 2 ( 3 1) 2 3 3
b/ (2đ) Khi x = 4 2 3 ( 3 1) ta có A = 1 3
 ( 3 1) 2 1 3
 Vậy khi x = 4 2 3 thì A = 1 3
 1 x 2 1
c/ (2đ) Với x 0; x 4; x 9 ta có A = 
 2 x 1 2
 2 x 4 x 1 
 x 5
 x = 25 ( thỏa ĐK)
 1
 Vậy x = 25 thì A = 
 2
Câu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
 1 1 x
 Cho biểu thức: A 
 x 2 x 2 4 x
 a) Tìm x để A <1
 1 x 3
 b) Biết A . 19 8 3 19 8 3 1 , hãy tính giá trị của B : 2A 
 2 2 x
 x 3
 c) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên, khi P A: 
 2 x
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 d) Tìm x để A. x 2 5 x x 4 x 16 9 x
 Lời giải
a)Đk: x 4; x 0
 x
Rút gọn A 
 x 2
 x 2
Do A<1 nên suy ra: 1 0 x 2 0 x 4
 x 2 x 2
Kết hợp với điều kiện rồi kết luận: 0 x 4
b)- Tính được A = 3
 x
- Từ đó suy ra: 3 , tìm được x = 9 (tmđk)
 x 2
 6 1
- Thay vào biểu thức B : 6 
 7 7
 x 3
c)- Tính được P 1 
 3 x 3 x
 3
- Để P nguyên thì Z từ đó lập luận tìn x là 0; 36; 16; 4
 3 x
- So sánh điều kiện và kết luận x 0;16;36
 2
d)Thay A vào rồi biến đổi đưa về dạng 5 x 3 x 16 9 x
- Đánh giá VT 5; VP 5 với mọi x thuộc ĐKXĐ
- Từ đó quy ra: dấu bằng xảy ra khi x = 9
- Kết luận
Câu 3.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :
 6x x 6 x 3 3 1
 A .
 2 x 4 x 3 2 x 2x 10 x 12 3 x x 2
 Điều kiện x 0 , x 4 ; x 9 ; x 1 . 
 2 3 2 3
 2. Rút gọn biểu thức: B . 
 2 2 3 2 2 3
 Lời giải
 1. Với điều kiện x 0 , x 4 ; x 9 ; x 1
 6x x x 6 x 3 3 1
 Ta có A 
 2 x 1 x 3 x 2 2 x 2 x 3 x 1 x 2 
 6x x x 6 x 3 3 x 1 2 x 3 
 2 x 1 x 2 x 3 
 x x 6x 11 x 6
 2 x 1 x 2 x 3 
 x 1 x 5 x 6 
 2 x 1 x 2 x 3 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 1 x 2 x 3 
 2 x 1 x 2 x 3 
 1
 .
 2
 Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x .
 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 
 2. B 
 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3
 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 
 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 
 2 2
 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 
 2 3 1 3 2 1 3 6 2
 1 3 3 1 3 1 2 3 3 2 3 1 6 3 1 
 6 6 6 3
 6 3 1 
 Vậy B .
 3
Câu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Kỳ Anh 2019-2020)
 3 5 3 5
 a) Tính giá trị của biểu thức : A 
 10 3 5 10 3 5
 b) Cho xy 1 x2 1 y2 1 Tính giá trị của : x 1 y2 y 1 x2
 Lời giải
 3 5 3 5 A 3 5 3 5
 a) A 
 10 3 5 10 3 5 2 2 56 6 2 5 2 5 6 2 5
 3 5 3 5 6 6 2
 A 
 3 5 1 3 5 1 11 11
 b) Từ giả thiết xy 1 x2 1 y2 1 x2 y2 1 x2 1 y2 2xy 1 x2 1 y2 1( 
 bình phương 2 vế)
 2x2 y2 x2 y2 2xy 1 x2 1 y2 0
 2
 Mặt khác : x 1 y2 y 1 x2 2x2 y2 x2 y2 2xy 1 x2 1 y2 
 Vậy : x 1 y2 y 1 x2 0
Câu 5. (Đề thi HSG 9 quận Thanh Xuân 2019-2020)
 x 3 x 2 9 x 3 x 9 
 Cho biểu thức A : 1 
 2 x 3 x x x 6 x 9 
 a) Rút gọn A 
 3 10 6 3 3 1 
 b) Tìm giá trị của A khi x 
 6 2 5 5
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 x 3 x 2 9 x 3 x 9 
a)A : 1 
 2 x 3 x x x 6 x 9 
 x 4 x 2
 A 
 x x 2 x
 3
 3 10 6 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 
b)Ta có x 2 
 2 1 5 5
 6 2 5 5 1 5 5
 2 2
Vậy A 1 2
 2
Câu 6.(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2014-2015)
 a) Cho x 0, y x . Chứng minh rằng:
 y y2 x y y2 x y y2 x y y2 x
 y x ;.y x 
 2 2 2 2
 1 1 a2 1 a 3 1 a 3 
 b) Rút gọn biểu thức: P .
 2 1 a2
 ĐÁP ÁN
a) Cho x 0, y x . Chứng minh rằng:
 y y2 x y y2 x
 y x (1);
 2 2
 y y2 x y y2 x
 y x (2).
 2 2
Đặt y x y x z. 
Bình phương 2 vế ta được: z2 2y 2 y2 x .
 y y2 x
Từ đó ta có: y x y x 2 (3).
 2
 y y2 x
Tương tự ta cũng có: y x y x 2 (4).
 2
 y y2 x y y2 x
Lấy (3) cộng (4) ta được: y x ; Lấy (3) trừ (4) ta được: 
 2 2
 y y2 x y y2 x
 y x .
 2 2
 1 1 a2 1 a 3 1 a 3 
b) Rút gọn biểu thức: P .
 2 1 a2
Điều kiện 1 a 1 . Áp dụng công thức (1) ta được:
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 a2 1 1 1 a2 1 a 1 a
 1 1 a2 .
 2 2 2 2
 1
Với a 0 hoặc a 0 ta đều có: 1 1 a2 1 a 1 a .
 2 
Ta lại có:
 1 a 3 1 a 3 1 a 1 a 1 a 1 a2 1 a 
 1 a 1 a 2 1 a2 .
 1
Vậy P 1 a 1 a 1 a 1 a a 2 .
 2 
Câu 7.(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2015-2016)
 Cho biểu thức: 
 a a 1 a a 1 1 3 a 2 a 
 P a .
 a a a a a a 1 a 1 
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P > 6.
 ĐÁP ÁN
a) Rút gọn P
Điều kiện: a > 0, a ≠ 1. Ta có:
 a 1 a a 1 a 1 a a 1 
P 
 a a 1 a a 1 
 a 1 3 a a 1 2 a a 1 
 .
 a a 1 a 1 
 a a 1 a a 1 a 1 3a 3 a a a 2 
 .
 a a a 1
 2 a 2a 2 a 2 
 a
 2
 2a 4 a 2 2 a 1 
 .
 a a
b) Chứng minh P > 6 
 2
 2 a 1 2 a a 1 
Ta có P 6 6 
 a a
 2
 1 3
 2 a 
 2 2
 0,a 0 và a 1 .
 a
Câu 8. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2016-2017)
 Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 1 2 
 P : 
 2 2 2 
 xy y xy x x xy 2x xy xy y 2y xy xy x y 
với x 3 8 và y 3 8 .
 ĐÁP ÁN
Rút gọn biểu thức:
 1 1 
 P :
 xy y xy x 
 1 1 2
 2 2 2 
 x xy 2x xy xy y 2y xy xy x y 
với x 3 8 và y 3 8 .
 1 1 x y
Ta có: ;
 xy y xy x xy xy
 1 1 2
 =
 2 2 2
 x xy 2x xy xy y 2y xy xy x y 
 1 1 2
 2
 x x y 2 xy y x y 2 xy xy x y 
 x y 2
 2 2
 xy x y xy x y 
 2
 x y 2 xy x y 1
 2 2 ,
 xy x y xy x y xy
 x y
Suy ra: P .
 xy
 2 2
Vì x 3 8 2 1 ; y 3 8 2 1 
 2 2
 2 1 2 1 
Suy ra : P 2 .
 2 2
 2 1 2 1 
Câu 9. (ĐỀ TS VÀO 10 CHUYÊN TOÁN HÀ NAM 2013-2014)
 2 a a 2a 3b 3b 2 a 3b 2a a
 Cho biểu thức M 
 a 2 3ab
 a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M .
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 11 8
 b) Tính giá trị của M khi ,a 1 3 2 b 10 
 3
 Lời giải:
 2 a a 2a 3b 3b 2 a 3b 2a a
 a) M 
 a 2 3ab
 a,b 0 a 0
 ĐK xác định của M : 
 a 0 b 0
 2a 2a 2 2 3ab 2 3ab 3b 2a 2
 M 
 a 2 3ab
 2a 3b ( 2a 3b)( 2a 3b) 2a 3b
 = 
 a 2 3ab a( 2a 3b) a
 3b 11 8
 b) Ta có M 2 với a 1 3 2 , b 10 
 a 3
 3b 30 22 2 (30 22 2)(3 2 1) 102 68 2
 a 1 3 2 (1 3 2)(3 2 1) 17
 3b 2
 Vậy 6 4 2 2 2 2 2 
 a 
 Từ đó M 2 (2 2) 2
Câu 10. (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH 2012-2013)
 x x 26 x 19 2 x x 3
 Cho biểu thức: P .
 x 2 x 3 x 1 x 3
 a) Rút gọn P .
 b) Tìm xđể P đạt giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 a) ĐK: 0 x 1 . Ta có:
 x x 26 x 19 2 x x 3
 P 
 ( x 1)( x 3) x 1 x 3
 x x 26 x 19 2 x( x 3) ( x 3)( x 1)
 ( x 1)( x 3)
 x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3
 ( x 1)( x 3)
 x x x 16 x 16 ( x 1)(x 16) x 16
 .
 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 3
 b) 
 x 16 25 25 25
 P x 3 x 3 6 2 ( x 3) 6 10 6 4
 x 3 x 3 x 3 x 3
 25
 Vậy GTNN của P 4 , dấu " " xảy ra khi . x 3 x 4
 x 3
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 11. (Đề thi HSG 9 huyện Đồng Xuân 2015-2016)
 Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1.
 8
 Chứng minh P = (a + b) (b + c) (c + a) abc 
 729
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương a, b, c ta có:
 a + b + c 3 3 abc
 mà a + b + c = 1 nên 1 27abc 
 1
 abc (1)
 27
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương a + b , b + c , c + a ta có:
 (a + b) +( b + c) + ( c + a) 3 3 (a b)(b c)(c a)
 2 3 3 (a b)(b c)(c a)
 8 27 (a + b)( b + c)( c + a) 
 8
 (a + b)( b + c)( c + a) (2)
 27
 8
Từ (1) và (2) ta có P = (a + b) (b + c) (c + a) abc 
 729
Câu 12.(Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y x 2 1 x với 0 x 1
 3. Cho a, b, c là ba số thực bất kì. 
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 Chứng minh bất đẳng thức: 
 3 3 
 Lời giải
2. Đặt 1 x t (0 t 1 ) suy ra x 1 t 2
 2
 2 1 3 3
Thay vào ta được y t 2t 1 t 
 2 2 2
 1 1
GTLN là 3/2 khi t x 
 2 2
3. Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
 2 2 2 2
 a b c a b c 2
 3 a2 b2 c2 a b c 
 3 9
 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 
 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 
 a b 2 b c 2 c a 2 0
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.
Dấu “=” xảy ra a = b = c.
Câu 13.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
 2) Cho tam giác ABC có ba cạnh a;b;c thỏa : a + b + c = 6 
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chứng minh : 52 £ 3(a2 + b2 + c2 )+ 2abc < 54 
 Lời giải
 2
 2. Ta có 3 a2 + b2 + c2 + 2abc = 3é(a + b + c) - 2(ab + bc + ca)ù+ 2abc 
 ( ) ëê ûú
 é 2 ù
 = 3ëê6 - 2(ab + bc + ca)ûú+ 2abc = 108- 2(3ab + 3bc + 3ca - abc) 
 Ta sẽ chứng minh 27 < 3(ab + bc + ca)- abc £ 28 
 Thật vậy theo bdt tam giác ta có 
 ïì b + c > a ïì 6 > 2a ïì 3- a > 0
 ï ï ï
 íï a + c > b Þ íï 6 > 2b Þ 0 0 
 ï ï ï
 îï a + b > c îï 6 > 2c îï 3- c > 0
 Xét (3- a)(3- b)(3- c)= 27- 9(a + b + c)+ 3(ab + bc + ca)- abc > 0 
 Þ 27- 9.6 + 3(ab + bc + ca)- abc > 0 Þ 3(ab + bc + ca)- abc > 27 
 Mặt khác theo bđt Cô si ta có 
 (3- a)+ (3- b)+ (3- c)³ 33 (3- a)(3- b)(3- c)Þ 3 ³ 33 (3- a)(3- b)(3- c) 
 Þ (3- a)(3- b)(3- c)£ 1Þ 3(ab + bc + ca)- abc - 9(a + b + c)+ 27 £ 1
 Þ 3(ab + bc + ca)- abc - 54 + 27 £ 1Þ 3(ab + bc + ca)- abc £ 28
 Vậy ta có 52 £ 108- 2(3ab + 3bc + 3ca - abc)< 54
Þ 52 £ 3(a2 + b2 + c2 )+ 2abc < 54 ( đpcm ). 
Câu 14. (Đề thi HSG 9 huyện Kỳ Anh 2019-2020)
 Cho các số thực dương a,b,c .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 ab bc ac
 P 
 a b 2c b c 2a a c 2b
 Lời giải
 Ta có a + b + 2c = (a + c)+ (b + c)³ 2 (a + c)(b + c) ( BĐT cô si )
 ab 1 a b 1 1æ a b ö 1æ a b ö
 Þ £ . £ . ç + ÷= ç + ÷ (BĐT Cô si)
 a + b + 2c 2 (a + c) (b + c) 2 2èça + c b + cø÷ 4èça + c b + cø÷
 bc 1æ b c ö ac 1æ a c ö
Tương tự ta cũng có :£ ç + ÷ và £ ç + ÷ 
 b + c + 2a 4èça + b a + cø÷ a + c + 2b 4èça + b b + cø÷
Cộng vế theo vế tương ứng ta có :
 ab bc ac 1æa + b b + c c + aö 3
P = + + £ ç + + ÷= 
 a + b + 2c b + c + 2a a + c + 2b 4èça + b b + c c + aø÷ 4
 3
Vậy P = Û a = b = c 
 max 4
Câu 15. (Đề thi HSG 9 quận Thanh Xuân 2019-2020)
 2) Cho x, y, z là các số thực dương và các số thực a,b,c . 
 2 2 2
 a b c 2
 Chứng minh x y z a b c 
 x y z 
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1 1
P 
 1 2x 1 2y 1 2z
 Lời giải
 a2 y a2 x b2 x b2 z c2 x c2 y
 Ta biến đổi vế trái:VT a2 b2 c2 
 x x y y z z
 a2 y b2 x a2 x c2 x b2 z c2 y
 Ta có 2ab; 2ac; 2bc,
 x y x z y z
 Nên VT a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2 .
 a b c
3) Đặt x ; y ; z ;a,b,c 0 nên 
 b c a
 b c a b2 c2 a2
P 1
 b 2a c 2b a 2c b2 2ab c2 2bc a2 2ac
Dấu bằng xảy ra khi x y z 1
Câu 16.(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2014-2015)
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Tia Mx song song với AB cắt BC tại D, tia My 
song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F. Chứng minh rằng 
3SDEF SABC (SABC : diện tích tam giác ABC, SDEF : diện tích tam giác DEF).
 Lời giải
 A
Giả sử các đường thẳng qua D, E, F
 lần lượt song song với CA, AB, BC
 F K
cắt AB, BC, CA tại H, I, K. 
Đặt S = S¸ E
 ABC H
SAFK = S1, SBDH = S2 , SCEI = S3. M
 C
 B D I
Do HDMF, DIEM, MEKF là các hình bình hành nên:
 1 1
 S S S S S S ,
 DEF 2 HDIEKF 2 1 2 3 
 1
Suy ra, BĐT cần chứng minh là: S S S S .
 1 2 3 3
Do AFK HDB EIC ABC 
 2 2 2
 S1 FK ME DI 
Nên .
 S BC BC BC 
 2 2
 S2 BD S3 IC 
Tương tự, , .
 S BC S BC 
 1
Chứng minh được bất đẳng thức a2 b2 c2 (a b c)2 (*).
 3
Sử dụng (*) ta được:
 2 2 2 2
S1 S2 S3 BD DI IC 1 BD DI IC 1
 .
 S BC BC BC 3 BC BC BC 3
Đẳng thức xảy ra khi M là trọng tâm của tam giác.
  Trang 10 