Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 7

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ CÂU TOÁN LIÊN QUAN
 Câu 1: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BẮC GIANG NĂM 2016 - 2017
 a a b b a b
 a. Cho biểu thức M với a,b 0 và a b
 a b a b b a
 Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1 a 1 b 2 ab 1
 5 4
 b. Tìm các số nguyên a,b thoả mãn 18 2 3
 a b 2 a b 2
 c. Cho a,b,c thỏa mãn a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3
 1 1 1
 Tính giá trị biểu thức H 
 ab c 6 bc a 6 ca b 6
 Lời giải
 ab
 a) Rút gọn M với a,b 0 và a b
 a b
 Ta có.
 1 a 1 b 2 ab 1 ab a b 1 2 ab 1
 2 ab ab
 ab a b ( )2 1 1
 a b a b
 + Nếu a b 0
 ab
 a b a b 0; ab 0 0
 a b
 ab ab ab
 1 M 1
 a b a b a b
 + nếu 0 a b
 ab
 a b a b 0; ab 0 0
 a b
 ab ab ab
 1 M 1
 a b a b a b
 5 4
 b) 18 2 3
 a b 2 a b 2
 5a 5b 2 4a 4b 2 18 2 a2 2b2 3 a2 2b2 
 5a 5b 2 4a 4b 2 18a2 2 36b2 2 3a2 6b2
 18a2 2 36b2 2 9b 2 3a2 6b2 a
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 18a2 36b2 9b 2 3a2 6b2 a
 3a2 6b2 a
 Nếu 18a2 36b2 9b 0 2 
 18a2 36b2 9b
 3a2 6b2 a
 Vì a,b nguyên nên Q 2 Q Vô lý vì 2 là số vô tỉ.
 18a2 36b2 9b
 2 2 3
 18a2 36b2 9b 0 3a 6b b 3
 Vây ta có 18a2 36b2 9b 0 2 a b
 2 2 
 3a 6b a 0 2 2 2
 3a 6b a
 3
 Thay a b vào 3a2 6b2 a 0 Ta có
 2
 9 3
 3 b2 6b2 b 0 27b2 24b2 6b 0 3b(b 2) 0
 4 2
 Ta cób 0 (loại) ; b 2 (thoã mãn) , vậy a 3. Kết luận
 2
 c) Ta có a b c a b c 2 ab bc ca 
 mà a b c 7 ; a b c 23 nên ab bc ca 13
 Ta có a b c 7 c 6 a b 1
 nên ab c 6 ab a b 1 a 1 b 1 
 Tương tự bc a 6 b 1 c 1 ; ac b 6 a 1 c 1 
 1 1 1
 Vậy H 
 ab c 6 bc a 6 ca b 6
 1 1 1
 = 
 a 1 b 1 b 1 c 1 a 1 c 1 
 c 1 a 1 b 1
 =
 a 1 b 1 c 1 
 a b c 3 7 3
 = 1
 abc a b c ab bc ca 1 3 7 13 1
Câu 2: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 VĨNH PHÚC NĂM 2014 - 2015
 3x 16x 7 x 1 x 7 x 
 Cho biểu thức: A  2 
 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm x để A 6.
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 x 0 x 0
 x 2 x 3 0 x 1 x 3 0 x 0
 a) A xác định khi x 3 0 x 1 x 1 ĐKXĐ:
 x 4
 x 1 0 x 2 
 0
 x x 1
 2 0 
 x 1
 x 0; x 1; x 4 .
 3x 16x 7 x 1 x 7 x 1 3 x 7 x 1 x 7
 Ta có: T 
 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 3 x 1
 2 x 6 x 7 2 x 3 x 7
 x 3 x 1 x 3 x 1
 x 7 x 9
 2 
 x 1 x 1
 x x 2
 M 2 
 x 1 x 1
 x 9 x 2 x 9
 A T : M : 
 x 1 x 1 x 2
 x 9
 Vậy với x 0; x 1; x 4 thì A .
 x 2
 x 9
 b) Biến đổi: A 6 6 x 9 6 x 2
 x 2 
 7 x 21 x 9 (thỏa mãn điều kiện). 
 Vậy để A 6 thì x 9 .
Câu 3: ĐỀ CHỌN HSG BẮC GIANG LỚP 9 NĂM 2017 - 2018
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 a/ Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rút gọn M và tìm x để M 1
 a b b c c a
 b/ Cho a, b, c 0 thỏa mãn ab bc ca 1. Tính H 
 1 c 1 a 1 b
 Lời giải
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 a/ Cho biểu thức M : 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rút gọn M và tìm x để M>1
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 2 x 4 ( x 1)2 3 x 5 2 x 5 
* M : 
 x 2 x 2 x 4 x 1 x 1 x 2 x 1 x 5 
 1 x 1 3 x 5 2 
 : 
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 1 x 2 (3 x 5)( x 1) 2( x 2)
 :
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 2 x x 2 3x 3 x 5 x 5 2 x 4
 :
 x 2 x 11 x 2 x 1 
 x 3 3x 9 x 3 x 2 x 1 x 1
 : 
 x 2 x 11 x 2 x 1 x 2 x 1 3(x 3) 3 x 1 
 x 1
Vậy M= với x 0; x 1,3,4
 3 x 1 
 x 1 x 1 4 2 x 2 x
* M 1 1 1 0 0 0
 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1
 2 x 0
 x 1 0
Ta có 1 x 2 1 x 4 . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x 3
 2 x 0
 x 1 0
 a b b c c a
b/Cho a, b, c 0 thỏa mãn ab bc ca 1. Tính H= 
 1 c 1 a 1 b
￿ Vì ab bc ca 1 nên 1 c ab bc ca c ... a c b c 
￿ Tương tự ta có 1 a a b a c ;1 b a b b c 
 a b b c c a
￿ Vậy H 
 a c b c a b a c a b a c 
 a c b c a b a c b c a b 
 a c b c a b a c b c a b 
 1 1 1 1 1 1
 0
 b c a c a c a b a b b c
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Câu 4: Chọn hsg lớp 9 Đà Nẵng năm 2015 - 2016
 3a 9a 3 a 1 a 2
 Cho biểu thức M với a 0;a 1 
 a a 2 a 2 1 a
 a) Rút gọn biểu thức M . 
 b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
 3a 3 a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 
 a) Ta có: M 
 a 1 a 2 a 1 a 2 1 a a 2 
 3a 3 a 3 (a 1) (a 4) a 3 a 2
 M 
 a 1 a 2 a 1 a 2 
 a 1 a 2 a 1 a 1 2 2
 M M 1 . 
 a 1 a 2 a 1 a 1 a 1
 2
 b) M nguyên nguyên a 1 là ước của 2 . 
 a 1
 a 1 1;1;2 a 0;4;9(do a 0) . 
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
 Câu 1: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BÌNH ĐỊNH NĂM 2016 - 2017
 1 1 4
 Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 
 x y x y
 Lời giải
 1 1 4 a b 4 2 2
 a b 4ab a b 0 (đúng)
 x y x y ab a b
 Câu 2: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BÌNH ĐỊNH NĂM 2016 - 2017
 Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
 Lời giải
 Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x2 và yz , ta có:
 1 1 1 1
 x2 yz 2 x2 yz 2x yz . 
 x2 yz 2x yz 2 x yz
 1 1 1 1 1 1
 Tương tự, ta có: . và .
 y2 xz 2 y xz z2 xy 2 z xy
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 1 1 1 1 
 Suy ra: (1)
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 x yz y xz z xy 
 1 1 1 yz xz xy
 Ta có: (2)
 x yz y xz z xy xyz
 Ta có: yz xz xy x y z (3)
 Thật vậy: (*) 2 yz 2 xz 2 xy 2x 2y 2z 
 2 2 2
 x y z x y x 0 (BĐT đúng)
 Dấu “=” xảy ra khi x y z .
 1 1 1 x y z 1 1 1
 Từ (2) và (3) suy ra: (4)
 x yz y xz z xy xyz yz xz xy
 1 1 1 1 1 1 1 
 Từ (1) và (4) suy ra: 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
Câu 3:ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BẮC GIANG NĂM 2016 - 2017
 Cho a,b,c 0 thỏa mãn abc 1 . Chứng minh .
 1 1 1 3
 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2
 Lời giải
 Ta có 3 x2 y2 z2 x y z 2 ... x y 2 y z 2 x z 2 0
 2
 x y z 3 x2 y2 z2 nên với x, y, z 0 ta có
 x y z 3 x2 y2 z2 , áp dụng ta có .
 1 1 1 1 1 1 
 3 
 ab a 2 bc b 2 ca c 2 ab a 2 bc b 2 ca c 2 
 2 1 1 1 1 
 -Với x, y 0 ta có x y 2 xy x y 4xy 
 x y 4 x y 
 Áp dụng ta có .
 1 1 1 1
 ab a 2 ab 1 a 1 ab abc a 1 ab(c 1) (a 1)
 1 1 1 1 abc 1 1 c 1 
 4 ab(c 1) a 1 4 ab(c 1) a 1 4 c 1 a 1 
 1 1 c 1 
 Vây ta có 
 ab a 2 4 c 1 a 1 
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 a 1 1 1 b 1 
 Tương tự ta có ; nên.
 bc b 2 4 a 1 b 1 ca c 2 4 b 1 c 1 
 1 1 1 
 3 
 ab a 2 bc b 2 ca c 2 
 1 c 1 a 1 b 1 3
 3 
 4 c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 2
 1 1 1 3
 Vậy dấu “=” có khi a b c 1.
 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2
Câu 4: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 VĨNH PHÚC NĂM 2014 - 2015
 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 a b c
 P .
 9a3 3b2 c 9b3 3c2 a 9c3 3a2 b
 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x(1 x x2 ) 4y(y 1).
 Lời giải
 Ta có: (a2 b2 c2 )(x2 y2 z2 ) (ax by cz)2 , a,b,c, x, y, z ¡ . 1 
 Thật vậy: (1) (a2 y2 2abxy b2 x2 ) (a2 z2 2acxz c2 z2 ) (b2 y2 2bcyz c2 z2 ) 0 
 (ay bx)2 (az cx)2 (by cz)2 0 (đúng)
 ay bx
 Dấu " " az cx
 by cz
 1 1
 Áp dụng BĐT 1 ta có: (9a3 3b2 c)( c) (a b c)2 1
 9a 3
 1
 Dấu " " a b c .
 3
 1 a 1 1
 9a3 3b2 c a( c) .
 1 1 3 2
 c 9a 3b c 9a 3
 9a 3
 b 1 1 c 1 1
 Tương tự ta có: b( a); c( b)
 9b3 3c2 a 9b 3 9c3 3a2 b 9c 3
 1 a b c
 P 3. (ab bc ca)
 9 3
 1 1 (a b c)2 (a b c)2
 P 1. Do ab bc ca .
 3 3 3 3
 1
 Vậy P 1 a b c .
 max 3
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 5: ĐỀ CHỌN HSG BẮC GIANG LỚP 9 NĂM 2017 - 2018
 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz .
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 Chứng minh rằng: xyz
 x y z
 Lời giải
 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 Chứng minh rằng: xyz 
 x y z
 1 1 1
 Từ Gt suy ra: 1. 
 xy yz zx
 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 
 Nên ta có: 2 ;" " y z
 x x xy yz zx x y x z 2 x y z 
 1 1 x2 1 4 1 1 
 Vậy . 
 x 2 x y z 
 1 1 y2 1 1 4 1 1 1 z2 1 1 1 4 
 Tương tụ ta có ; 
 y 2 x y z z 2 x y z 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 1 1 1 
 Vậy ta có 3 ;" " x y z
 x y z x y z 
 2 1 2 2 2
 Ta có x y x 3 xy yz xx .... x y y z x z 0
 2 
 Nên x y x 2 3 xy yz xx 
 2 xy yz xz 1 1 1 
 xyz 3 xy yz xz 3 xyz 3 xyz
 xyz x y z 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 Vậy xyz ; " " x y z
 x y z
Câu 6: ĐỀ CHỌN HSG TỈNH LỚP 9 THANH HÓA 2015 - 2016
 2 1 3 1 
 Chứng minh rằng với mọi x 1 ta luôn có 3 x 2 2 x 3 . 
 x x 
 Lời giải
 2 1 3 1 1 1 1 2 1 
 Xét 3 x 2 2 x 3 3 x x 2 x x 2 1 
 x x x x x x 
 1 2 1 
 3 x 2 x 2 1 1 (Vì x 1 nên x 1 0 ).
 x x 
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1
 Đặt x t x2 t 2 2 . 
 x x2
 Khi đó 1 t 2 3t 2 0 t 2 2t 1 0 2 .
 2 1
 Vì x 1nên x 1 0 x2 1 2x x 2 hay t 2 2 đúng 1 đúng.
 x
 Vậy ta có đpcm. 
Câu 7: ĐỀ CHỌN HSG TỈNH LỚP 9 THANH HÓA 2015 - 2016
 9
 Với a,b là các số thực thỏa mãn đẳng thức 1 a 1 b . 
 4
 Hãy tìm GTNN của P 1 a4 1 b4 .
 Lời giải
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai dãy a2 ; 1 và 1; 4 ta được: 
 2
 2 a 4 1
 12 42 a4 12 a2 4 a4 1 1 . Dấu " " xảy ra a .
 17 2
 b2 4 1
 Tương tự ta cũng có b4 1 2 . Dấu " " xảy ra b .
 17 2
 a2 b2 8
 Từ 1 và 2 suy ra P * .
 17
 9 5
 Mặt khác theo giả thiết 1 a 1 b a b ab .
 4 4
 1 1 a2 b2
 Áp dụng BĐT Côsi ta có: a2 a , b2 b , ab . 
 4 4 2
 3 1 5 1
 Cộng từng vế ba BĐT ta được: a2 b2 a b ab a2 b2 .
 2 2 4 2
 1
 8
 17
 Thay vào * ta được P 2 .
 17 2
 17 1
 Vậy GTNN của P bằng đạt được khi a b . 
 2 2
Câu 8: ĐỀ HSG TỈNH 9_NGHỆ AN 2015-2016
 a 1 b 1 c 1
 Cho a,b,c 0 thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng: 3.
 b2 1 c2 1 a2 1
 Lời giải
 - Sử dụng bất đẳng thức Cô si,ta có:
 a 1 b2 a 1 b2 a 1 b ab
 a 1 a 1 a 1 (1)
 b2 1 b2 1 2b 2
 b 1 c bc c 1 a ca
 - Tương tự: b 1 (2) và c 1 (3)
 c2 1 2 a2 1 2
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca
 - Từ (1), (2) và (3) suy ra: 3 
 b2 1 c2 1 a2 1 2 2
 - Mặt khác a2 b2 c2 ab bc ca hay 3(ab bc ca) a b c 2 9
 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 9
 - Do đó: 3 = 3 3 .
 b2 1 c2 1 a2 1 2 2 2 6
 a 1 b 1 c 1
 - Vậy 3. Dấu bằng xảy ra khi a b c 1.
 b2 1 c2 1 a2 1
Câu 9: ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016
 Cho a, b, c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2
 P .
 2abc c2 ab a2 bc b2 ca
 Lời giải
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 Ta có P .
 2bc 2ca 2ab c2 ab a2 bc b2 ca
 a2 a2 bc 1 b2 b2 ca 1 c2 c2 ab 1
 Mà , , .
 2bc 2bc 2 2ca 2ca 2 2ab 2ab 2
 a2 bc 2bc b2 ca 2ca c2 ab 2ab 3
 Suy ra P 2 2 2 
 2bc a bc 2ca b ca 2ab c ab 2
 3 9 x y
 2 2 2 (Vì với x, y 0 , áp dụng BĐT Cosi ta được 2 ).
 2 2 y x
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c . 
 9
 Vậy GTNN của P bằng đạt được khi a b c . 
 2
Câu 10: Đề chọn hsg lớp 9 Đà Nẵng năm 2015 – 2016
 1 1 1
 Cho x, y, z dương sao cho 6.
 x y y z z x
 1 1 1
 Tìm giá trị lớn nhất của P 
 3x 3y 2z 3y 3z 2x 3z 3x 2y
 Lời giải
 1 1 4
 Áp dụng bất đẳng thức ta có:
 a b a b
 1 1 1 1 1 
 3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 4 x y x z x y y z 16 x y x z x y y z 
 1 1 2 1 1 
 3x 3y 2z 16 x y x z y z 
 Chứng minh tương tự, ta có: 
  Trang 10 