Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan (Có đáp án)

 Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2012-2013) 
 x 2 x 3 x 2 x 
 Cho biểu thức :
 A : 2 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 1/ Rỳt gọn biểu thức A.
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để 
 A 2
 Lời giải
 1/ Rỳt gọn biểu thức A.
 x 2 x 3 x 2 x 
 A : 2 (ĐK: x x 0, x 4, x 9 ) 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 x 1
 A ... 
 x 4
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để 
 A 2
 1 5 x 4 5
 2x 8 5 x 5
 A 2 x 1 2
 1 1
 2x 5 x 3 0 3 x 0 x 
 2 2
 1
 0 x 
 4
 1
 Kết hợp với ĐK 0 x 
 4
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
 x 2 x 2
 Cho biểu thức: P 
 x x x 2 x ( x 1)(x 2 x)
 a. Rỳt gọn P .
 b. Tớnh P khi x 3 2 2 .
 c. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn.
 Lời giải
 a)
 x 2 x 2
 P 
 x( x 1) x( x 2) x( x 1)( x 2)
 x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2x 2 x 2 x 2
 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2)
 x x 2x 2 x x x( x 1)( x 2) ( x 1)
 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) ( x 1)
 b) x 3 2 2 x 2 2 2 1 ( 2 1)2 2 1
 ( x 1) 2 1 1 2 2
 P 1 2
 ( x 1) 2 1 1 2 c) ĐK: x 0; x 1: 
 ( x 1) x 1 2 2
 P 1 
 ( x 1) x 1 x 1
 Học sinh lập luận để tỡm ra x 4 hoặc x 9
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2011-2012)
 ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử
 ỗ ữ ỗ ữ
 Cho biểu thức P = ỗ + ữ:ỗ - ữ
 ốỗ3+ x- 1 10- xứữ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ứữ
 1) Rỳt gọn P 
 3 2 2 3 2 2
 2) Tớnh giỏ trị của P khi x 4 4
 3 2 2 3 2 2
 Lời giải
 ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử
 ỗ ữ ỗ ữ
 1) P = ỗ + ữ:ỗ - ữ(ĐK: x > 1; x ạ 10; x ạ 5 )
 ốỗ3+ x- 1 10- xứữ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ứữ
 Đặt x 1 a ( a 0 )
 3a + 9 ộ1 2a + 4ự 3(a + 3) a(a- 3) 3a
 ị P = : ờ . ỳ= . = -
 (a + 3)(3- a) ởờa a- 3 ỷỳ (a + 3)(3- a) 2(a + 2) 2(a + 2)
 3 x- 1 3 x- 1( x- 1- 2)
 P = - = -
 2( x- 1+ 2) 2(x- 5)
 2)
 3+ 2 2 3- 2 2
 x = 4 - 4 = 4 (3+ 2 2)2 - 4 (3- 2 2)2 = 3+ 2 2 - 3- 2 2
 3- 2 2 3+ 2 2
 = 1+ 2 - ( 2 - 1) = 2 (T/M)
 a x 1 2 1 1 (T/m)
 3a 3.1 1
 ị P = - = - = -
 2(a + 2) 2(1+ 2) 2
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lõm Thao 2017-2018)
 Hóy chọn phương ỏn trả lời đỳng
 Cõu 1.Giỏ trị x thỏa món : 2x 1 5 2 là :
 A. x 25 1 1 1
 B. x C. x 4 D. x 25
 2 2 2
 Cõu 2. Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 x 3 với x 3 là :
 A.-3 B. 3 C.-4 D.4
 Cõu 3. Cho x 3 5 2 6 3 5 2 6 thỡ giỏ trị biểu thức N x3 3x 2008 là
 A.2017B.2018C.2019D.2020
 1.D 2.C 3.B
 9.D 10.C 11.B
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phỳ Thọ 2012-2013) 2 10 30 2 2 6 2
 Rỳt gọn biểu thức: A= :
 2 10 2 2 3 1
 Lời giải
 2 10 30 2 2 6 2
 :
 2 10 2 2 3 1
 2 2( 5 1) 6( 5 1) 3 1 2 3 3 1 4 2 3 3 1 3 1 3 1 1
 . . . . 
 2 2( 5 1) 2 2 2 4 2 2 2 2
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2010-2011)
 a 1 a a 1 a2 a a a 1
 Cho biểu thức: M với a 0;a 1 .
 a a a a a a
 a) Chứng minh rằng M 4. 
 6
 b) Với những giỏ trị nào của a thỡ biểu thức N nhận giỏ trị nguyờn?
 M
 Lời giải
 a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
 a) Do a 0;a 1nờn: 
 a a a ( a 1) a
 a 2 a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
 Và 
 a a a a (1 a) a (1 a) a
 a 1
 M 2
 a
 Do a 0; a 1 nờn: ( a 1)2 0 a 1 2 a
 2 a
 M 2 4
 a
 6 3
 b) Ta cú 0 N do đú N chỉ cú thể nhận được một giỏ trị nguyờn là 1
 M 2
 6 a
 Mà N 1 1 a 4 a 1 0 ( a 2)2 3 
 a 1 2 a
 a 2 3 hay a 2 3 (phự hợp)
 Vậy, N nguyờn a (2 3)2
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2012-2013)
 2 x 9 x 3 2 x 1
 Rỳt gọn biểu thức A = A 
 x 5 x 6 x 2 3 x
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 4; x 9 2 x 9 x 3 2 x 1 2 x 9 x 9 2x 3 x 2 x x 2
 A 
 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 
 x 1 x 2 x 1
 A 
 x 2 x 3 x 3
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 tỉnh Khỏnh hũa 2017-2018)
 Chứng minh rằng: 3 70 4901 3 70 4901 là một số nguyờn
 Lời giải
 a) Với x a b x3 = a3 b3 3ab(a b) x3 a3 b3 3abx.
 Áp dụng: Đặt a 3 70 4901, b = 3 70 4901, x 3 70 4901+ 3 70 4901
 (x 5)(x2 5x 28) 0 x 5 0 ( do x2 5x 28 0) x 5.
 x3 70 70 33 702 4901x x3 140 3x x3 3x 140 0
 Vậy 3 70 4901 3 70 4901 5 là một số nguyờn (đpcm).
Cõu 9. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2012-2013)
 2012
 Cho hàm số : f x x3 12x 3 
 Tớnh f a tại a 3 16 8 5 3 16 8 5 
 Lời giải
 Từ a 3 16 8 5 3 16 8 5
 a3 32 33 16 8 5 16 8 5 3 16 8 5 3 16 8 5 32 12a 
 nờn a3 12a 32 
 Vậy f a 1