Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 Chuyờn đề 3: PHƯƠNG TRèNH Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vũng 2 năm 2020) Giải phương trỡnh: 2x2 16x 6 4 x x 8 . Lời giải Đk: x 0 hoặc x 8 2x2 16x 6 4 x x 8 x 2 8x 3 2 x x 8 (1) Đặt t x x 8 t 0 t 2 x 2 8x 2 2 t 1 (1) t 3 2t t 2t 3 0 t 3 Ta thấy t 1 khụng thỏa món đk. 2 x 1 Với t 3 x 8x 9 (tmđk) x 9 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 1; 9. Cõu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Bỡnh Giang 2019) x 2 x 1 1) Tỡm mđể phương trỡnh: vụ nghiệm. x m x 1 1 1 1 1 2) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x y 6xy 6 Lời giải 1) Điều kiện: x m; x 1 x 2 x 1 Ta cú: x m x 1 x 2 x 1 x m x 1 x 2 x 2 x 2 mx x m mx 2 m + Nếu m 0, ta cú phương trỡnh: 0x 2 , phương trỡnh vụ nghiệm. 2 m + Nếu m 0 x m Để phương trỡnh vụ nghiệm thỡ x mhoặc x 1 2 m + Khi x m m m 2 m 2 0 m 2 m 1 0 m m 2 0 m 2 m 1 0 m 1 2 m + Khi x 1 1 m 1 m Vậy m 1; m 2 thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 1 1 1 1 2) Ta cú: 6y 6x 1 xy xy 6x 6y 36 37 x y 6xy 6 x 6 y 6 37 Ta cú bảng sau: Trang 1 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 x 6 37 1 1 37 y 6 1 37 37 1 x 31 5 7 43 y 5 31 43 7 Cõu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019) Giải phương trỡnh: 1. x2 9 2 x 3 0 2. x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1 Lời giải 1. Điều kiện x 3 Ta cú: x 2 9 2 x 3 0 x 3 x 3 2 x 3 0 x 3 x 3 2 0 x 3 0 x 3 TMDK x 3 2 0 x 1 KTMDK Vậy x 3 là nghiệm của phương trỡnh. 2. ĐKXĐ: x 1. x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1 x 1 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 1 0 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 0 x 1 1 x2 1 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 0 x 1 1 1 x2 1 x 1 0 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 1 1 x2 1 x 1 0 x2 1 x 1 1 x2 1 x 1 1 2 1 x 1 1 x 2 TMDK 2 x2 1 x 1 1 x3 x2 x 0 (vụ nghiệm vỡ x 1.) Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 2. Cõu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tớn 2019-2020) Giải phương trỡnh: x 4 x 1 3 x 6 x 1 8 1. Lời giải Trang 2 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 ĐKXĐ: x 1 Phương trỡnh được viết lại là: x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 1 2 2 x 1 2 x 1 3 1 x 1 2 x 1 3 1. 1 * Nếu 1 x 5 ta cú 1 2 x 1 3 x 1 1 x 1 2 x 5 khụng thuộc khoảng đang xột. * Nếu 5 x 10 ta cú 0x 0 phương trỡnh cú vụ số nghiệm. * Nếu x 10 thỡ 1 5 1 phương trỡnh vụ nghiệm. Vậy phương trỡnh cú vụ số nghiệm: 5 x 10 . Cõu 5. (Đề thi HSG 9 huyện Yờn Thành 2019-2020) Giải phương trỡnh: 10x2 3x 1 (6x 1) x2 3 Lời giải ĐKXĐ của phương trỡnh là: x Ă Ta cú: 10x2 3x 1 (6x 1) x2 3 40x2 12x 4 4(6x 1) x2 3 (36x2 12x 1) 4(6x 1) x2 3 4(x2 3) 9 0 2 (6x 1)2 2.(6x 1).2 x2 3 2 x2 3 9 2 6x 1 2 x2 3 9 6x 1 2 x 2 3 3 2 6x 1 2 x 3 3 * Trường hợp 1: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 2 x2 3 3x 1 1 1 x x 3 0 x 3 3 x 1 2 2 x 1 0 x 3 9x 6x 1 2 4x 3x 1 0 4x 1 0 * Trường hợp 2: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 4 x2 3 3x 2 Trang 3 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 2 x 3 2 x 2 0 x 3 7 3 7 3 x 2 2 x x 3 9x 12x 4 2 4 4 8x 12x 1 0 3 7 x 4 3 7 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm là: x 1 và x 4 . Cõu 6. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 2 Giải phương trỡnh: 4 x 1 x 5x 14. Lời giải ĐKXĐ: x ³ - 1 2 2 4 x 1 x 5x 14 Û x - 5x- 4 x+1+14= 0 2 Û x - 6x+ 9+ x+1- 4 x+1+ 4= 0 2 2 Û (x- 3) + ( x + 1- 2) = 0 ỡ ù x- 3= 0 Û ớ Û x = 3 (TM) ù ợù x+ 1- 2= 0 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 3. Cõu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 2m 1 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh m 3 vụ nghiệm. x 2 Lời giải ĐKXĐ: x ạ 2 . 2m 1 m 3 ị 2m- 1= (x- 2)(m- 3) x 2 Û (m- 3)x = 4m- 7 (*) + Xột m= 3 Phương trỡnh (*) trở thành 0x = 5 (Vụ lý) ị m= 3 thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 4m - 7 + mạ 3, phương trỡnh đó cho cú nghiệm x = m - 3 4m - 7 1 Để phương trỡnh đó cho vụ nghiệm thỡ = 2 ị m = m - 3 2 1 Vậy với m= 3, m = thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 2 Trang 4 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 Cõu 8. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 3 Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x 8 7 8x 1. Lời giải x3 8 7 8x 1 1 ĐK xỏc định: 8x 1 0 x x 0 (vỡ x Â) 8 PT tương đương với: 25 8x 1 5x3 40 7 25 8x 1 7. 7. 4x 13 28x 91 2 5x3 28x 51 0 x 3 5x 2 15x 17 0 Vỡ với x 0 thỡ 5 x 2 15 x 17 0 nờn suy ra x 3 0 x 3 Vậy PT cú nghiệm duy nhất x 3 Lưu ý: HS cú thể giải theo cỏch thử trực tiếp x = 1,2,..,5. Với x > 5 chứng minh vế trỏi lớn hơn vế phải. Cõu 9.(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sờ 2019-2020) x 2 - x + 1 1 Giải phương trỡnh: 6 ì - (x + 1) ì = 5 . x + 1 x 3 + 1 Lời giải Điều kiện: x > - 1. x 2 - x + 1 1 x 2 - x + 1 x + 1 6 ì - (x + 1) ì = 5 Û 6 ì - = 5 . x + 1 x 3 + 1 x + 1 x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 1 Đặt t = (t > 0). Phương trỡnh trở thành: 6t - = 5. x + 1 t ộ ờt = 1 (n) ị 6t 2 - 5t - 1= 0 Û ờ ờ - 1 . ờt = (l) ở 6 x2 - x + 1 x2 - x + 1 ộx = 0 (n) Với t = 1 ị = 1 Û = 1 ị x2 - 2x = 0 Û ờ . x + 1 x + 1 ờx = 2 n ởờ ( ) Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 0;x = 2 . Cõu 10. (Đề thi HSG 9 huyện Yờn Định 2012-2013) Giải phương trỡnh: 2x2 8x 3 x2 4x 8 18 Lời giải 2x2 8x 3 x2 4x 8 18 2(x2 4x 8) 3 x2 4x 8 2 0 Trang 5 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 Đặt x2 4x 8 y, y 0 ta được phương trỡnh: 2y 2 3y 2 0 2y 2 y 4y 2 0 y 2 (y 2)(2y 1) 0 1 y 2 1 y = <0 (loại); với y = 2 ta cú 2 x 2 4x 8 2 x 2 4x 12 0 (x 6)(x 2) 0 x 6 hoặc x 2 (thỏa món phương trỡnh đó cho) Vậy pt đó cho cú 2 nghiệm: x 6 , x 2 Cõu 11. (Đề thi HSG 9 huyện Nụng Cống 2019-2020) 2x x 5 Giải phương trỡnh x 2 x 1 x 2 x 1 3 Lời giải Dễ thấy = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh do đú phương trỡnh tương đương với : 2 1 5 1 1 x 1 x 1 3 x x 1 Đặt 푡 = + phương trỡnh trở thành: 2 1 5 ― = 푡 ― 1 푡 + 1 3 => 5푡2 ― 3푡 ― 14 = 0(푡 ≠± 1) (푡 ― 2)(5푡 + 7) = 0 t 2(TM ) 7 t 5 Nếu 푡 = 2 => = 1 7 Nếu 푡 = ― 5( vụ nghiệm) Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x 1. Cõu 12. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tớn 2019-2020) 2 3 2 3 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 6x y 3x 10y 2. Lời giải 6x2y3 3x2 10y3 2 3x2(2y3 1) 5(2y3 1) 7 Trang 6 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 2 3 (3x 5)(2y 1) 7. 2 3 Nờn suy ra 3x 5; 2y 1 là ước của 7 3x2 5 7 x 2 * 3 (thỏa món). 2y 1 1 y 1 2 2 3x 5 7 x2 * 3 (loại). 2y3 1 1 y 0 2 3x2 5 1 x * 3 3 (loại). 2y 1 7 3 y 3 3x2 5 1 x 2 * (loại). 3 3 2y 1 7 y 4 Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn x; y 2; 1 ; 2; 1 . Cõu 13. (Đề thi HSG 9 huyện BA Vè 2019-2020) Giải cỏc phương trỡnh: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 Lời giải Giải phương trỡnh: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 (1) 2 x2 2x 0 ĐKXĐ: 2 x 6x 8 0 2 Ta cú: 2 x2 2x x2 2x 2 3 x 1 3 2 x2 6x 8 x2 6x 8 1 x 3 1 Do đú: Vế trỏi (1) 3 1 2 x 1 0 x 1 Dấu “=” xảy ra khi: (vụ lớ) 2 x 3 x 3 0 Vậy phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. Cõu 14.(Đề thi HSG 9 huyện HẢI LĂNG 2008-2009) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh 5x 2.5y 5z 4500 với x y z . Lời giải Ta cú: 5x 2.5y 5z 4500 (*) 5x ( 1 2.5y x 5z x ) 4500 22. 33. 53 Trang 7 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 5x 53; 1 2.5y x 5z x 36 1 35 x 3; 5y x ( 2 5z y ) 5 . 7 x 3; y – 3 1 ; 2 5z y 7 2 5 x 3; y 4 ; z – y 1 x 3; y 4 ; z 5 thoả (*) Cõu 15. (Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) x 2 2x 45 3x 8 4x 69 Giải phương trỡnh sau: . 13 15 37 9 Lời giải x 2 2x 45 3x 8 4x 69 13 15 37 9 x 2 2x 45 3x 8 4x 69 1 1 1 1 13 15 37 9 x 15 2(x 15) 3(x 15) 4(x 15) 13 15 37 9 1 2 3 4 x 15 0 13 15 37 9 x 15 Cõu 16.(Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) Tỡm cỏc số nguyờn dương x,y thỏa món phương trỡnh sau: xy 2x 3y 1 0 . Lời giải xy 2x 3y 1 0 xy 3y 2x 1 y x 3 2x 1 5 Ta thấy x 3 khụng thỏa món, với x 3thỡ y 2 ; x 3 Để y nguyờn thỡ x 3 phải là ước của 5 ; Suy ra: x, y = 4,7 ; 8,3 . Cõu 17. (Đề thi HSG 9 VINH 2009-2010) Giải phương trỡnh: x 2 x 1 x 1 1. Lời giải Điều kiện x 1 2 x 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 (1) Khi x 1 1 x 1 1 x 2 : Ta cú Trang 8 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 (1) x 1 1 x 1 1. Phương trỡnh vụ nghiệm Khi 0 x 1 1 0 x 1 1 1 x 2 : Ta cú 1 (1) 1 x 1 x 1 1 2 x 1 0 x 1 Vậy x 1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho. Cõu 18. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYấN 2019-2020) 2 2 Giải phương trỡnh 3x 12x 13 2x 8x 12 3. Lời giải Ta cú : 3x2 12x 13 3(x2 4x 4) 1 3(x 2)2 1 1 2x2 8x 12 2(x2 4x 4) 4 2(x 2)2 4 4 2 VT 1 2 3 2 Dấu “=” xảy ra x 2 0 x 2 Cõu 19.(Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011) 1 x y z z x y 3 . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x, y, z sao cho: 2 Lời giải Điều kiện x 0; y z 0; z x 0 y z x 0 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3 (2) ( x 1)2 ( y z 1)2 ( z x 1)2 0 x 1 x 1 y z 1 y 3 z x 1 z 2 (thỏa) Cõu 20. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHấ 2019) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn x; y thỏa món: x2 1 x2 y2 4x2 y Lời giải PT x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y x2 x2 y x2 y y 1 x2 1 y y y x2 0 x2 y x2 y2 y 1 x2 y x2 0 2 x2 y y 1 y 1 .x2 0 Trang 9 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 2 2 x2 y y 1 .x2 0 * 2 2 2 x y  x y 0 Vỡ x, y  nờn hay y 1  2 2 y 1 .x 0 2 2 x y x2 y 0 x y Kết hợp với * suy ra 2 x 0 y 1 0 x 1 .x 0 x 1 - Nếu x 0 thỡ y 02 0 (Thỏa món x, y  ) - Nếu x 1 thỡ y 12 1 (Thỏa món x, y  ) 2 - Nếu x 1 thỡ y 1 1 (Thỏa món x, y  ) Vậy cỏc cặp số nguyờn x, y thỏa món yờu cầu bài toỏn là: 0;0 , 1;1 , 1;1 . Cõu 21. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHấ 2019) Giải cỏc phương trỡnh sau: 2x x 5 a) ; b) x2 5x 8 2 x 2. x2 x 1 x2 x 1 3 Lời giải 2 2 2x x x 1 x x x 1 5 a) PT x2 x 1 x2 x 1 3 2x3 2x2 2x x3 x2 x 5 x2 x 1 x2 x 1 3 3x3 9x2 3x 5x4 5x2 5 5x4 3x3 4x2 3x 5 0 x 1 2 5x3 2x2 2x 5 0 x 1 1 2 5x 7x 5 0 2 2 5x2 7x 5 0 5x2 7x 5 0 2 2 7 7 51 5x 2 5x 0 2 5 2 5 20 2 7 51 5x 0 20 2 5 Trang 10
Tài liệu đính kèm:
chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_chuyen_de_3.docx