Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình
docx 152 trang Sơn Thạch 09/06/2025 40
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 3: PHƯƠNG TRèNH
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vũng 2 năm 2020) 
 Giải phương trỡnh: 2x2 16x 6 4 x x 8 .
 Lời giải
 Đk: x 0 hoặc x 8 
 2x2 16x 6 4 x x 8 
 x 2 8x 3 2 x x 8 (1)
 Đặt t x x 8 t 0 t 2 x 2 8x 
 2 2 t 1
 (1) t 3 2t t 2t 3 0 
 t 3
 Ta thấy t 1 khụng thỏa món đk.
 2 x 1
 Với t 3 x 8x 9 (tmđk)
 x 9
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 1; 9.
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Bỡnh Giang 2019) 
 x 2 x 1
 1) Tỡm mđể phương trỡnh: vụ nghiệm. 
 x m x 1
 1 1 1 1
 2) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 
 x y 6xy 6
 Lời giải
 1) Điều kiện: x m; x 1
 x 2 x 1
 Ta cú: 
 x m x 1
 x 2 x 1 x m x 1 
 x 2 x 2 x 2 mx x m 
 mx 2 m
 + Nếu m 0, ta cú phương trỡnh: 0x 2 , phương trỡnh vụ nghiệm.
 2 m
 + Nếu m 0 x 
 m
 Để phương trỡnh vụ nghiệm thỡ x mhoặc x 1
 2 m
 + Khi x m m m 2 m 2 0 m 2 m 1 0
 m
 m 2 0 m 2
 m 1 0 m 1
 2 m
 + Khi x 1 1 m 1
 m
 Vậy m 1; m 2 thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm.
 1 1 1 1
 2) Ta cú: 6y 6x 1 xy xy 6x 6y 36 37
 x y 6xy 6
 x 6 y 6 37
 Ta cú bảng sau:
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 6 37 1 1 37
 y 6 1 37 37 1
 x 31 5 7 43
 y 5 31 43 7
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019) 
 Giải phương trỡnh:
 1. x2 9 2 x 3 0
 2. x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1
 Lời giải
 1. Điều kiện x 3 
 Ta cú: x 2 9 2 x 3 0 x 3 x 3 2 x 3 0 x 3 x 3 2 0
 x 3 0 x 3 TMDK 
 x 3 2 0 x 1 KTMDK 
 Vậy x 3 là nghiệm của phương trỡnh.
 2. ĐKXĐ: x 1. 
 x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1 x 1 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 1 0
 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 0
 x 1 1 x2 1 x 1 1 x 1 0
 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 0
 x 1 1 1 x2 1 x 1 0
 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 1 
 1 x2 1 x 1 0 x2 1 x 1 1 x2 1 x 1 1 2
 1 x 1 1 x 2 TMDK 
 2 x2 1 x 1 1 x3 x2 x 0 (vụ nghiệm vỡ x 1.)
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 2.
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tớn 2019-2020) 
 Giải phương trỡnh:
 x 4 x 1 3 x 6 x 1 8 1.
 Lời giải
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ĐKXĐ: x 1
 Phương trỡnh được viết lại là:
 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 1
 2 2
 x 1 2 x 1 3 1
 x 1 2 x 1 3 1. 1 
 * Nếu 1 x 5 ta cú 1 2 x 1 3 x 1 1 x 1 2 x 5 khụng thuộc 
 khoảng đang xột.
 * Nếu 5 x 10 ta cú 0x 0 phương trỡnh cú vụ số nghiệm.
 * Nếu x 10 thỡ 1 5 1 phương trỡnh vụ nghiệm.
 Vậy phương trỡnh cú vụ số nghiệm: 5 x 10 .
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 huyện Yờn Thành 2019-2020) 
 Giải phương trỡnh: 10x2 3x 1 (6x 1) x2 3
 Lời giải
 ĐKXĐ của phương trỡnh là: x Ă 
 Ta cú: 10x2 3x 1 (6x 1) x2 3
 40x2 12x 4 4(6x 1) x2 3
 (36x2 12x 1) 4(6x 1) x2 3 4(x2 3) 9 0
 2
 (6x 1)2 2.(6x 1).2 x2 3 2 x2 3 9
 2
 6x 1 2 x2 3 9
 6x 1 2 x 2 3 3
 2
 6x 1 2 x 3 3
 * Trường hợp 1: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 2 x2 3 3x 1
 1
 1 x 
 x 3 0 x 3
 3 x 1
 2 2 x 1 0
 x 3 9x 6x 1 2 
 4x 3x 1 0 
 4x 1 0
 * Trường hợp 2: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 4 x2 3 3x 2
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 x 
 3
 2 
 x 2 0 x 3 7 3 7
 3 x 
 2 2 x 
 x 3 9x 12x 4 2 4 4
 8x 12x 1 0 
 3 7
 x 
 4
 3 7
 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm là: x 1 và x 
 4 .
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 
 2
 Giải phương trỡnh: 4 x 1 x 5x 14.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x ³ - 1 
 2 2
 4 x 1 x 5x 14 Û x - 5x- 4 x+1+14= 0 
 2
 Û x - 6x+ 9+ x+1- 4 x+1+ 4= 0 
 2 2
 Û (x- 3) + ( x + 1- 2) = 0 
 ỡ
 ù x- 3= 0
 Û ớ Û x = 3 (TM)
 ù
 ợù x+ 1- 2= 0
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 3. 
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 
 2m 1
 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh m 3 vụ nghiệm.
 x 2
 Lời giải
 ĐKXĐ: x ạ 2 .
 2m 1
 m 3 ị 2m- 1= (x- 2)(m- 3)
 x 2
 Û (m- 3)x = 4m- 7 (*)
 + Xột m= 3 Phương trỡnh (*) trở thành 0x = 5 (Vụ lý)
 ị m= 3 thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm.
 4m - 7
 + mạ 3, phương trỡnh đó cho cú nghiệm x = 
 m - 3
 4m - 7 1
 Để phương trỡnh đó cho vụ nghiệm thỡ = 2 ị m = 
 m - 3 2
 1
 Vậy với m= 3, m = thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 
 2
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 
 3
 Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x 8 7 8x 1.
 Lời giải
 x3 8 7 8x 1
 1
 ĐK xỏc định: 8x 1 0 x x 0 (vỡ x Â)
 8
 PT tương đương với:
 25 8x 1 
 5x3 40 7 25 8x 1 7. 7. 4x 13 28x 91
 2
 5x3 28x 51 0 x 3 5x 2 15x 17 0
 Vỡ với x 0 thỡ 5 x 2 15 x 17 0 nờn suy ra x 3 0 x 3
 Vậy PT cú nghiệm duy nhất x 3
 Lưu ý: HS cú thể giải theo cỏch thử trực tiếp x = 1,2,..,5. Với x > 5 chứng minh vế trỏi 
 lớn hơn vế phải.
Cõu 9.(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sờ 2019-2020) 
 x 2 - x + 1 1
 Giải phương trỡnh: 6 ì - (x + 1) ì = 5 .
 x + 1 x 3 + 1
 Lời giải
 Điều kiện: x > - 1.
 x 2 - x + 1 1 x 2 - x + 1 x + 1
 6 ì - (x + 1) ì = 5 Û 6 ì - = 5 .
 x + 1 x 3 + 1 x + 1 x 2 - x + 1
 x 2 - x + 1 1
 Đặt t = (t > 0). Phương trỡnh trở thành: 6t - = 5.
 x + 1 t
 ộ
 ờt = 1 (n)
 ị 6t 2 - 5t - 1= 0 Û ờ
 ờ - 1 .
 ờt = (l)
 ở 6
 x2 - x + 1 x2 - x + 1 ộx = 0 (n)
 Với t = 1 ị = 1 Û = 1 ị x2 - 2x = 0 Û ờ .
 x + 1 x + 1 ờx = 2 n
 ởờ ( )
 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 0;x = 2 .
Cõu 10. (Đề thi HSG 9 huyện Yờn Định 2012-2013) 
 Giải phương trỡnh: 2x2 8x 3 x2 4x 8 18
 Lời giải
 2x2 8x 3 x2 4x 8 18
 2(x2 4x 8) 3 x2 4x 8 2 0
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Đặt x2 4x 8 y, y 0 ta được phương trỡnh:
 2y 2 3y 2 0 2y 2 y 4y 2 0
 y 2
 (y 2)(2y 1) 0 1
 y 
 2
 1
 y = <0 (loại); với y = 2 ta cú
 2
 x 2 4x 8 2 x 2 4x 12 0
 (x 6)(x 2) 0
 x 6 hoặc x 2 (thỏa món phương trỡnh đó cho)
 Vậy pt đó cho cú 2 nghiệm: x 6 , x 2
Cõu 11. (Đề thi HSG 9 huyện Nụng Cống 2019-2020) 
 2x x 5
 Giải phương trỡnh 
 x 2 x 1 x 2 x 1 3
 Lời giải
 Dễ thấy = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh do đú phương trỡnh tương đương 
 với :
 2 1 5
 1 1
 x 1 x 1 3
 x x
 1
 Đặt 푡 = + phương trỡnh trở thành:
 2 1 5
 ― =
 푡 ― 1 푡 + 1 3
 => 5푡2 ― 3푡 ― 14 = 0(푡 ≠± 1)
 (푡 ― 2)(5푡 + 7) = 0
 t 2(TM )
 7
 t 
 5
 Nếu 푡 = 2 => = 1
 7
 Nếu 푡 = ― 5( vụ nghiệm)
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x 1. 
Cõu 12. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tớn 2019-2020) 
 2 3 2 3
 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 6x y 3x 10y 2.
 Lời giải
 6x2y3 3x2 10y3 2
 3x2(2y3 1) 5(2y3 1) 7
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 3
 (3x 5)(2y 1) 7. 
 2 3
 Nờn suy ra 3x 5; 2y 1 là ước của 7
 3x2 5 7 x 2
 * 
 3 (thỏa món).
 2y 1 1 y 1
 2 2
 3x 5 7 x2 
 * 3 (loại).
 2y3 1 1
 y 0
 2
 3x2 5 1 x 
 * 3
 3 (loại).
 2y 1 7 3
 y 3
 3x2 5 1 x 2
 * (loại).
 3 3
 2y 1 7 y 4
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn x; y 2; 1 ; 2; 1  . 
Cõu 13. (Đề thi HSG 9 huyện BA Vè 2019-2020) 
 Giải cỏc phương trỡnh: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 
 Lời giải
 Giải phương trỡnh: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 (1)
 2 x2 2x 0
 ĐKXĐ: 
 2
 x 6x 8 0
 2
 Ta cú: 2 x2 2x x2 2x 2 3 x 1 3 
 2
 x2 6x 8 x2 6x 8 1 x 3 1 
 Do đú: Vế trỏi (1) 3 1 
 2
 x 1 0 x 1
 Dấu “=” xảy ra khi: (vụ lớ)
 2 x 3
 x 3 0 
 Vậy phương trỡnh đó cho vụ nghiệm.
Cõu 14.(Đề thi HSG 9 huyện HẢI LĂNG 2008-2009) 
 Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh 5x 2.5y 5z 4500 với x y z .
 Lời giải
 Ta cú: 5x 2.5y 5z 4500 (*)
 5x ( 1 2.5y x 5z x ) 4500 22. 33. 53
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 5x 53; 1 2.5y x 5z x 36 1 35
 x 3; 5y x ( 2 5z y ) 5 . 7
 x 3; y – 3 1 ; 2 5z y 7 2 5
 x 3; y 4 ; z – y 1
 x 3; y 4 ; z 5 thoả (*)
Cõu 15. (Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) 
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 Giải phương trỡnh sau: . 
 13 15 37 9
 Lời giải
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 13 15 37 9
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69 
 1 1 1 1 
 13 15 37 9 
 x 15 2(x 15) 3(x 15) 4(x 15)
 13 15 37 9
 1 2 3 4 
 x 15 0 
 13 15 37 9 
 x 15 
Cõu 16.(Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) 
 Tỡm cỏc số nguyờn dương x,y thỏa món phương trỡnh sau: xy 2x 3y 1 0 .
 Lời giải
 xy 2x 3y 1 0 xy 3y 2x 1 y x 3 2x 1 
 5
 Ta thấy x 3 khụng thỏa món, với x 3thỡ y 2 ;
 x 3
 Để y nguyờn thỡ x 3 phải là ước của 5 ; 
 Suy ra: x, y = 4,7 ; 8,3 .
Cõu 17. (Đề thi HSG 9 VINH 2009-2010)
 Giải phương trỡnh: x 2 x 1 x 1 1.
 Lời giải
 Điều kiện x 1
 2
 x 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1
 x 1 1 x 1 1
 (1)
 Khi x 1 1 x 1 1 x 2 : Ta cú
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 (1) x 1 1 x 1 1. Phương trỡnh vụ nghiệm
 Khi 0 x 1 1 0 x 1 1 1 x 2 : Ta cú
 1 (1) 1 x 1 x 1 1 2 x 1 0 x 1
 Vậy x 1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho.
Cõu 18. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYấN 2019-2020) 
 2 2
 Giải phương trỡnh 3x 12x 13 2x 8x 12 3.
 Lời giải
 Ta cú :
 3x2 12x 13 3(x2 4x 4) 1 3(x 2)2 1 1
 2x2 8x 12 2(x2 4x 4) 4 2(x 2)2 4 4 2
 VT 1 2 3
 2
 Dấu “=” xảy ra x 2 0 x 2
Cõu 19.(Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011) 
 1
 x y z z x y 3 .
 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x, y, z sao cho: 2
 Lời giải
 Điều kiện x 0; y z 0; z x 0 y z x 0 
 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3
 (2) 
 ( x 1)2 ( y z 1)2 ( z x 1)2 0
 x 1
 x 1
 y z 1 
 y 3
 z x 1 z 2
 (thỏa) 
Cõu 20. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHấ 2019) 
 Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn x; y thỏa món: x2 1 x2 y2 4x2 y 
 Lời giải
 PT x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y
 x2 x2 y x2 y y 1 x2 1 y y y x2 0 
 x2 y x2 y2 y 1 x2 y x2 0 
 2
 x2 y y 1 y 1 .x2 0 
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2
 x2 y y 1 .x2 0 * 
 2
 2 2
 x y  x y 0
 Vỡ x, y  nờn hay 
 y 1 Â 2 2
 y 1 .x 0
 2
 2 x y
 x2 y 0 x y 
 Kết hợp với * suy ra 2 x 0 
 y 1 0 x 1 .x 0 
 x 1
 - Nếu x 0 thỡ y 02 0 (Thỏa món x, y  )
 - Nếu x 1 thỡ y 12 1 (Thỏa món x, y  )
 2
 - Nếu x 1 thỡ y 1 1 (Thỏa món x, y  )
 Vậy cỏc cặp số nguyờn x, y thỏa món yờu cầu bài toỏn là: 0;0 , 1;1 , 1;1 . 
Cõu 21. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHấ 2019) 
 Giải cỏc phương trỡnh sau:
 2x x 5
 a) ; b) x2 5x 8 2 x 2. 
 x2 x 1 x2 x 1 3
 Lời giải
 2 2
 2x x x 1 x x x 1 5
 a) PT 
 x2 x 1 x2 x 1 3
 2x3 2x2 2x x3 x2 x 5
 x2 x 1 x2 x 1 3
 3x3 9x2 3x 5x4 5x2 5 
 5x4 3x3 4x2 3x 5 0 
 x 1 2 5x3 2x2 2x 5 0 
 x 1 1 
 2
 5x 7x 5 0 2 
 2 5x2 7x 5 0 
 5x2 7x 5 0 
 2
 2 7 7 51
 5x 2 5x 0 
 2 5 2 5 20
 2
 7 51
 5x 0
 20
 2 5 
  Trang 10  

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_chuyen_de_3.docx