Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 5: Hàm số y = ax + b và y = ax² (Có đáp án)

 2
 Chuyên đề 5: HÀM SỐ y ax+b VÀ y ax
Câu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol P : y ax2 a 0 và đường thẳng d 
 y bx 1 
 1/ Tìm các giá trị của a và b để P và d cùng đi qua điểm M 1;2 
 2/ Với a,b vừa tìm được, chứng minh rằng P và d còn có một điểm chung N khác M 
 . Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
 Lời giải
 Trong mặt phẳng toạ độOxy , cho Parabol P : y ax2 a 0 và đường thẳng d 
 y bx 1 
 1/ Tìm các giá trị của a và b để P và d cùng đi qua điểm M 1;2 
 M P a 2 y 2x2 
 M d b 1 y x 1 
 2/ Với a,b vừa tìm được, chứng minh rằng P và d còn có một điểm chung N khác M . 
 Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
 Xét pt hoành độ gđ: 2x2 x 1 2x2 x 1 0 2x2 = x + 1 2x2 - x - 1 = 0 
 x 1 y 2
 1 1 
 1 1 M 1;2 ; N ; 
 x y 2 2 
 2 2
 S MON Sthang S1 S2 ... 0,75 (dvdt)
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012)
 Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d : y x 2 và parabol P : y x2 . Gọi 
 A và B là giao điểm của d và P 
 1) Tính độ dài AB .
 2) Tìm m để đường thẳng d ' : y x m cắt P tại hai điểm C và D sao cho 
 CD AB .
 Lời giải
 1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình x2 x 2 0 x2 + x -2=0
 x 1 hoặc x 2 
 2 2 2
 Vậy A 1; 1 và B 2; 4 hoặc A 2; 4 và B 1; 1 AB x2 x1 y2 y1 18 
 AB 3 2 
 2)Để d ' cắt P tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2 x m 0 1 
 1
 có hai nghiệm phân biệt D > 0 m <
 4
 2 2 2
 Ta có CD x1 x2 y1 y2 
 m y2 y1 x2 m x1 m x1 x2
 2 2 2
 nên: y2 y1 x2 m x1 m x1 x2 
 Ta có AB2 18
 2 2 2 2
 nên AB CD AB CD x2 x1 y2 y1 18 (*)
 2 2
 2 x1 x2 18 x1 x2 9 
 2
 x1 x2 4x1x2 9 
 1 4m 9 0 (Theo Viet)
 m 2 (TM)
Câu 3. (Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2010-2011)
 1) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3, y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các 
 đường thẳng d1 , d2 và m . Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng 
 m cắt hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành 
 độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên 
 trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . 
 Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất 
 1 1
 của biểu thức Q .
 OM2 ON2
 Lời giải 1)Điều kiện để m là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0
Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và m là:
 0,5x 3 mx (m 0,5)x 3 
Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5
Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và m là:
 6 x mx (m 1)x 6
Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1
Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m 0
2) Đặt m xm và n yn mn 0 và m 1 (*)
Nên đường thẳng qua ba điểm M , N, I có dạng: y ax b 
 0 am b
 2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn
 n b
 1 2
Chia hai vế cho mn 0 ta được: 1 (**)
 m n
 2 2
 1 2 1 4 4 1 1 2 1 
 1 2 2 5 2 2 
 m n m n mn m n m n 
 1 1 1 2 1
 Q ; dấu “=” xảy ra khi ; kết hợp (**): m 5;n 2,5 (*)
 m2 n2 5 m n
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 
 5