Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 9: Chứng minh – Tính giá trị biểu thức

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 9: CHỨNG MINH - TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện BA VÌ 2019-2020) 
 1 1 1 1
 Cho ba số a,b,c thỏa mãn 
 a b c a b c
 Tính giá trị của biểu thức Q a27 b27 b41 c41 c2019 a2019 
 Lời giải
 Điều kiện: a,b,c 0 . Khi đó, ta có:
 1 1 1 1
 a b c a b c
 1 1 1 1 
 0
 a b c a b c 
 1 1 
 a b 0
 ab c a b c 
 a b ca cb c2 ab 0 
 a b b c c a 0 
 a b
 b c 
 c a
 a27 b27
 41 41 
 b c
 2019 2019
 c a
 Do đó: Q a27 b27 b41 c41 c2019 a2019 0 
Câu 2. (Đề thi HSG 9 huyện HẢI LĂNG 2008-2009) 
 Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau.
 1 1 1
 Chứng minh rằng bằng bình phương của một số hữu tỷ.
 a b 2 b c 2 c a 2
 Lời giải
 1 1 1
 Ta có: 
 a b 2 b c 2 c a 2 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2 . . . 
 a b b c c a a b b c b c c a c a a b 
 2
 1 1 1 c a b c a b
 2 
 a b b c c a (a b)(b c)(c a)
 2
 1 1 1 
 a b b c c a 
Câu 3. (Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) 
 4 2
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 2009x 2008x 2009 . 
 Lời giải
 x4 2009x2 2008x 2009 x4 x2 1 2008 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 1 2008 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 2009 .
Câu 4. (Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) 
 Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện:
 2006 2006 2007 2007 2008 2008 2009 2009
 a b a b a b . Hãy tính tổng: S a b .
 Lời giải
 Ta có: a2008 b2008 a2007 b2007 a b ab a2006 b2006 
 1 a b ab (1 a)(1 b) 0 a 1,b 1
 Vậy S 1 1 2 
Câu 5. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020) 
 a
 Cho các số dương a,b thỏa mãn 2a 3 ab 2b 0 . Tính tỉ số 
 b
 Lời giải
 2a 3 ab 2b 0
 (2 a b)( a 2 b) 0 (Vì 2 a b 0 )
 a 2 b 0
 a 2 b
 a a
 2 4
 b b
Câu 6. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020) 
 1 2 1 2
 Cho a ; b . Tính a 4 b4 
 2 2
 Lời giải CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 2 2 2 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
 a 4 b4 a 2 b2 2a 2b2 2 
 2 2 2 2 
 2 2 2
 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 1 17
 2 .
 4 4 2 8 8
Câu 7. (Đề thi HSG 9 huyện HOÀNG HÓA 2019) 
 a b
 Cho b a 0 và 3a2 b2 4ab . Tính .
 a b
 Lời giải
 a b
 Cho b a 0 và 3a2 b2 4ab . Tính .
 a b
 2 2 2 2
 Ta có 3a b 4ab 3a 3ab b ab 0 (a b)(3a b) 0
 Vì b a 0 a b 0 . Suy ra b 3a 0 b 3a .
 a b a 3a 2a 1
 Vì vậy (vì a 0 )
 a b a 3a 4a 2
Câu 8. (Đề thi HSG 9 huyện NAM ĐÀN 2019-2020) 
 a) Tìm số tự nhiên n sao cho các số 2n 2017 và n 2019 đều là các số chính phương. 
 b) Chứng minh rằng: A n3 3n2 n 3 chia hết cho 48 với n là số tự nhiên lẻ.
 Lời giải
 a) Cách 1: Với 2n 2017 và n 2019 là các số chính phương. 
 2n 2017 a2 2n 2017 a2
 Đặt 2b2 a2 2021
 2 2
 n 2019 b 2n 4038 2b
 2b a 2b a 2021.
 Ta xét các trường hợp: 
 45
 2b a 43 b 2013
 + TH1: 2 n (loại).
 2b a 47 2
 a 2
 45
 2b a 47 b 
 2 2013
 n 
 2b a 43 a 2
 + TH2: 2 (loại).
 1011
 2b a 2021 b 1018083
 + TH3: 2 n (loại).
 2b a 1 2
 a 1010 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1011
 2b a 1 b 1018083
 + TH4: 2 n (loại).
 2b a 2021 2
 a 1011
 Vậy không tồn tại số tự nhiên n nào thoả mãn yêu cầu bài toán.
 2n 2017 a2
 Cách 2: Đặt 2b2 a2 2021 (với a, b ).
 2 ¥
 n 2019 b
 Ta có a2 2n 2017 a là số lẻ. Đặt a 2k 1 (k ¥ ).
 2
 Suy ra 2b2 2k 1 2021 b2 2k k 1 1011 . 1 
 Ta thấy vế trái của 1 là số chính phương nên chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1, vế phải của 1 
 chia cho 4 dư 3. Do đó không tồn tại số tự nhiên n nào thoả mãn yêu cầu bài toán. 
 2
 b) Ta có A n 3 3n 2 n 3 n n 3 n 3 n 1 n 1 n 3 .
 Với n là số tự nhiên lẻ n 1 n 1 n 3 là tích của 3 số chẵn liên tiếp nên A8 , A3;
 A2 . Suy ra A48 .
Câu 9. (Đề thi HSG 9 huyện NAM ĐÀN 2019-2020) 
 1 1 1
 Cho a , b là các số dương thoả mãn: . 
 a b 2019
 Chứng minh: a b a 2019 b 2019 . 
 Lời giải
 Điều kiện: a 2019 , b 2019 .
 1 1 1 ab
 Ta có: 2019 .
 a b 2019 a b
 Khi đó:
 ab ab a b a b
 a 2019 b 2019 a b a b .
 a b a b a b a b a b
Câu 10. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Động 2019-2020) 
 Cho các số a , b thỏa mãn: a b 3 và a 1; b 5 ; b 4 .
 a 8 4a b
 Tính giá trị của biểu thức: E 
 b 5 3a 3
 Lời giải
 a 8 4a b
 E 
 b 5 3a 3
 Có a b 3 a b 3 
 a 8 4a b b 3 8 4(b 3) b b 5 3b 12
 E 1 1 0
 b 5 3a 3 b 5 3(b 3) 3 b 5 3b 12
 Vậy E 0 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 11. (Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2019-2020) 
 Cho M a2 2bc 1 b2 2ac 1 1 c2 2ab . Trong đó a,b, c là các số hữu tỉ thỏa 
 mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ.
 Lời giải
 M a2 2bc 1 b2 2ac 1 1 c2 2ab 
 a2 bc ac ab b2 ac ab bc ac bc c2 ab 
 a b a c b a b c c a b c a b 2 a c 2 b c 2 
 M a b a c b c 
 Vì a,b, c là các số hữu tỉ nên M là một số hữu tỉ.
Câu 12. (Đề thi HSG 9 Quảng Trị 2019-2020) 
 1. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a b 5, ab 1 . Tính giá trị của a 5 b 5
 2. Cho các số nguyên m,n. Chứng minh mn mn 1 2 m n 2 mn chia hết cho 36.
 Lời giải
 1. a5 b5 a b a4 a3b a2b2 ab3 b4 
 5 a4 a2 1 b2 b4 
 2
 5 a2 b2 2a2b2 1 a2 b2 
 2 2 2 2 
 5 a b a b 1 1 
 5 a b 2 2ab a b 2 2ab 1 5
 5 25 2 25 2 1 5 2525 
 2. Ta có:
 A mn mn 1 2 m n 2 mn
 mn mn 1 2 m n 2 
 mn mn 1 m n mn 1 m n 
 mn m n 1 n 1 m n 1 n 1 
 mn m 1 n 1 n 1 m 1 
 Ta có: m 1, m, m 1 là 3 số nguyên liên tiếp m 1 m m 1 6 (1) 
 Ta có: n 1, n, n 1 là 3 số nguyên liên tiếp n 1 n n 1 6 (2)
 Từ (1), (2) A36 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 13. (Đề thi HSG 9 Quận Cầu Giấy 2019-2020) 
 3 3 3 2 2 2
 Cho 3 số dương x, y,z thỏa mãn: x y z (x y) (y z) (z x) .
 a) Tính x y z biết xy yz zx 9 .
 b) Chứng minh rằng nếu z x; z y thì z x y .
 Lời giải
 a) Với x 0, y 0, z 0
 3 3 3
 Xét VT x y z
 2 2 2
 (x y z). (x y z xy yz xz)
 VP (x y)2 (y z)2 (z x)2
 x2 2xy y2 y2 2yz z2 z2 2xz x2
 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx
 2(x2 y2 z2 xy yz zx)
 Do VT VP nên suy ra x y z 2 .
 Vậy x y z 2 .
 2 2 2
 b) Ta có: x y z 2(xy yz zx) 0
 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0
 z2 (x y)2 2x2 2y2 2yz 2zx 0
 z2 (x y)2 2y(z y) 2x(z x)
 Do x, y, z 0 và z y; z x nên 2 y(z y) 2x(z x) 0
 z2 (x y)2 0
 (z x y)(z x y) 0 mà x, y, z 0 nên z x y 0
 z x y (đpcm).
Câu 14. (Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2011 - 2012)
 2
 2 2 2 2 2 2 x y z
 Chứng minh: Nếu x y z a b c ax by cz thì 
 a b c
 Lời giải
 Ta có : (x2 + y2 + z2)(a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2 
 (ay – bx)2+ (az –cx)2+(bz – cy)2 = 0
 x y
 a b
 ay bx 0 
 x z x y z
 az cx 0 
 a c a b c
 bz cy 0 
 y z
 b c
 (Đề thi HSG 9 Đồng Xuân 2014 - 2015) CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x y z 2 2 2 2 2 2 2
 Cho chứng minh (x y z )(a b c ) (ax by cz)
 a b c
 Lời giải
 (x2 y2 z2 )(a2 b2 c2 ) (ax by cz)2
 Ta có (ay bx)2 (az cx)2 (bz cy)2 0
 a b
 x y
 ay bx 0 
 a c a b c
 az cx 0 
 x z x y z
 bz cy 0 
 b c
 y z
Câu 15. (Đề thi HSG 9 huyện Đồng Xuân 2015-2016)
 a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 9x + 20
 b/ Tìm số có bốn chữ số abcd ; biết a, b, c, d theo thứ tự là bốn số tự nhiên liên tiếp từ 
 nhỏ đến lớn và bacd là một số chính phương.
 Lời giải
 a/ (2đ) x2 - 9x + 20 = x2 - 4x - 5x + 20 = x (x - 4) - 5 (x - 4) = (x – 4 )( x - 5)
 b/ (2đ) Theo đề bài ta có: 1 a 9 ; 0 b, c, d 9 ; a, b, c, d N
 b = a + 1
 c = a + 2
 d = a + 3
 Suy ra 4 d 9
 mà bacd là một số chính phương nên d 4; 5; 6; 9
 suy ra a 1; 2; 3; 6
 do đó abcd 1234; 2345; 3456; 6789
 Nhưng bacd là số chính phương nên abcd = 3456
Câu 16. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
 Tìm số a, b trong sơ đồ sau:
 b
 a 9
 6 8 14
 9 7 13 19
 1 2
 10 8 22
 2 0
 Lời giải
 - Quy luật: tổng 2 số hàng dưới chia 2 rồi trừ 2 được số ở hàng trên giữa 2 số đó.
 - Tính đúng a = 5
 - Tính đúng b = 5
 Chú ý: Nếu chỉ ra quy luật sai, tính đúng a, b cho 0 điểm
 Nếu chỉ có kết quả đúng, không có quy luật cho 0,5 điểm CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 17.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
 Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho:
 2
 abc n 1
 2 Với n ¢ ; n 2 .
 cba n 2 
 Lời giải
 abc n 2 1 100a 10b c n 2 1 1 
 cba n 2 2 100c 10b a n2 4n 4 2 
 Trừ từng vế 1 và 2 ta có: 
 100a 10b c 100c 10b a n2 1 n2 4n 4 
 99a 99c 4n 5 . 
 99 a c 4n 5. 
 4n 5 99. 3 
 Mặt khác abc n 2 1 mà 100 abc 999 .
 100 n 2 1 999 . 
 101 n 2 1000 . 
 11 n 31. 
 39 4n 5 119 . 4 
 Từ 3 và 4 4n 5 99 n 26 . 
 abc 26 2 1 675 .
 Vậy abc 675 .
Câu 18. (Đề thi HSG 9 quận Thanh Xuân 2019-2020)
 2 2
 Chứng minh rằng, nếu p và 8p 1 là hai số nguyên tố lẻ thì 8p 2p 1 là số nguyên 
 tố.
 Lời giải
 Do p là số nguyên tố lẻ nên p 3k 1 hoặc p 3k
 2
 +Nếu p 3k 1 thì 8 p 2 1 8 3k 1 1 3 24k 2 16k 3 3 nên vô lý.
 +Nếu p 3k . Do p là số nguyên tố lẻ nên p 3 , rõ ràng 8.9 1 73 là số nguyên tố mà 
 2
 8p 2p 1 72 6 1 79là số nguyên tố.
Câu 19.(Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2014-2015)
 Gọi S (n ) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Hãy tìm số tự nhiên n biết 
 2
 S(n) n 2015n 8 và 0 S (n) n .
 Lời giải
 n2 2015n 8 0
 0 S(n) n 
 Ta có: 2
 n 2015n 8 n
 n2 2015n 2014 0
 2 
 n 2016n 0
 n 1 n 2014 0
 n n 2016 0
 2014 n 2016 n 2015 . CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 Thử lại với n = 2015, thấy thỏa S(n) n 2015n 8 . 
 Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 2015.
Câu 20.(ĐỀ TS VÀO 10 CHUYÊN TOÁN HÀ NAM 2013-2014)
 Cho số nguyên dương n và các số A 444....4 (A gồm 2n chữ số 4); B 888.....8 (
 2n n
 B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A 2B 4 là số chính phương.
 Lời giải:
 n
 Ta có A 444.....4 444......4000...0 444.....4 444....4. 10 1 888....8
 2n n n n n n
 2
 = 4.111....1.999....9 B 4.111....1.9.111....1 B 6.111....1 B
 n n n n n 
 2 2
 3 3 
 = .888....8 B B B
 4 n 4 
 Khi đó
 2 2 2
 3 3 3 3 
 A 2B 4 B B 2B 4 B 2. B.2 4 B 2 
 4 4 4 4 
 2 2 2
 3 
 = .888....8 2 3.222....2 2 666....6 8 
 4 n n n 1 
 Ta có điều phải chứng minh.
Câu 21. (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH 2012-2013)
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 4 n là hợp số.
 Lời giải
 n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n 2k hoặc n 2k 1 , với k ¥ * 
 4
 - Với n 2k , ta có n4 4n 2k 42k lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó n 4 4 n là hợp 
 số.
 2 2 2
 - Với n 2k 1 , ta có n 4 4n n 4 42k.4 n 4 2.4k n 2 2.4k 2.n.2k 
 2 2
 n2 2.4k 2.n.2k n2 2.4k 2.n.2k n 2k 4k n 2k 4k 
 Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n 4 4 n là hợp số.
Câu 22. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ 2019-2020)
 a) Cho x 2 1 , hãy tính giá trị của D x 5 x 4 3x 3 4 x 2 6 x 2022
 Lời giải
 Từ x 2 1 biến đổi x 2 2 x 1 0
 D x 5 2 x 4 x 3 x 4 2 x 3 x 2 3x 2 6 x 3 2019
 D x3 x2 2x 1 x2 x2 2x 1 3 x2 2x 1 2019
 D 2019
 Kết luận:
Câu 23. (Đề thi HSG 9 huyện Kỳ Anh 2019-2020)
 1 1 1 2018 2019 2009
 b) Cho : x2 y2 z2 x2 6 Tính P x y z
 y2 x2 z2
 LỜI GIẢI
 1 1 1 1 1 1
 b)Áp dụng : x2 2; y2 2;z2 2 x2 y2 z2 x2 6
 x2 y2 z2 y2 x2 z2 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2 2
 đẳng thức xảy ra khi x = 1;y = 1;z = 1Û x 1; y 1; z 1 
 1009
 Khi đó x2018 = (x2 ) = 11009 = 1 và 
 1009 1004
 y2019 + z2009 = y.(y2 ) + z.(z2 ) = y.1+ z.1= y + z 
 +)Nếu y = z = 1 Þ P = 1 + 1 + 1 = 3 
 +)Nếu y = 1; z = - 1 hay y = - 1; z = 1 Þ P = 1 + 1- 1 = 1 
 +) Nếu y = z = - 1 Þ P = 1- 1- 1 = - 1 
Câu 24. (Đề thi HSG 9 quận Thanh Xuân 2019-2020)
 Trong mặt phẳng cho 2020 điểm, khoảng cách giữa hai điểm bất kì đôi một khác nhau. Nối 
 mỗi điểm trong số 2020 điểm này với điểm ở gần nhất tương ứng. Chứng minh rằng với 
 cách nối đó không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín.
 Lời giải
 Giả sử tồn tại một đường gấp khúc khép kín.
 Gọi AB là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất trong đường gấp khúc khép kín trên. Khi đó, giả 
 sử AC ,BD là hai đoạn kề với đoạn AB
 TH1: Nếu AC AB nên điểm B không là điểm gần A nhất
 TH2: Nếu DB AB nên điểm A không là điểm gần B nhất
 Điều đó chứng tỏ không thể nối điểm B và điểm A
 Do đó, không tồn tại đường gấp khúc thỏa mãn
Câu 25. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Yên 2016-2017)
 Cho tam giác ABC thay đổi, cân tại A, nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước. Kẻ BD vuông 
 góc với AC tại D. 
 8R 3
 Chứng minh rằng: BD .
 9
 Lời giải
 A
 O
 D
 K
 B H C
 E
 Kẻ đường kính AE. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, DC
 1
 suy ra HK BD BD 2HK (1) và HK//BD.
 2
 Áp dụng định lý Thales cho tam giác AEC ta có: 
 HK AH EC.AH
 HK (2).
 EC AE AE
 2EC.AH
 Từ (1) và (2) suy ra BD .
 AE
 Đặt AH = x. Tam giác AEC vuông tại C có CH là đường cao nên 
 EC2 = EH.EA = 2R(2R - x).