Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 9: Chứng minh – Tính giá trị của biểu thức (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
Cho x y 5 và x2 y2 11. Tính x3 y3 
 Lời giải
Ta có: x3 y3 x y x2 y2 xy 5(11 xy) (1) 
Mà x y 5 x2 y2 2xy 25 11 2xy 25 xy 7 (2) 
Từ (1) và (2) x3 y3 5.(11 7) 20 
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
 1 1 1 1
Cho a, b, c thỏa mãn 
 a b c a b c
Tính giá trị biểu thức Q a27 b27 b41 c41 c2013 a2013 
 Lời giải
Ta có :
 1 1 1 1 1 1 1 1 a b (a b)
 a b c a b c a b a b c c ab c(a b c)
 (a b)c(a b c) ab(a b) (a b)c(a b c) ab 0
 (a b)c(a c) bc ab 0 (a b)c(a c) b(a c) 0 
 a b 0 a b
 (a b)(a c)(b c) 0 b c 0 b c
 c a 0 c a
Thế vào tính được Q 0.
Câu 3.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 y 2 2 3 
 Lời giải
 1
Đáp số x= 6; y=
 2
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
 ab
Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b 
 a b
 Lời giải
 ab ab
 Do là số hữu tỉ và a+b là số nguyên dương nên từ a b 
 a b a b
 Suy ra a b là số chính phương
 Do a b 18 a b 1;4;9;16 
 Thử lại các trường hợp ta có a 2;b 7 Suy ra số cần tìm là 27
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
a) Cho S 1 3 32 33 34 ...... 396 397 398 399 
 Chứng minh S chia hết cho 40
 a3 b3 c3 3abc
b) Rút gọn phân thức 
 a b 2 a c 2 b c 2
 Lời giải
a)
S 1 31 32 33 34 35 36 37 ..... 396 397 398 399 
S 1 31 32 33 34. 1 31 32 33 .... 396. 1 31 32 33 
S 1 31 32 33 . 1 34 38...... 396 
S 40. 1 34 38...... 396 
Vậy S chia hết cho 40.
b)
Tử thức = a b 3 3ab(a b) c3 3abc 
 a b 3 c3 3ab.(a b) 3abc
 a b c a b 2 (a b)c c2 3ab(a b c)
 a b c . a2 2ab b2 ac bc c2 3ab 
 a b c . a2 b2 c2 ab bc ca 
Mẫu thức 
 a2 2ab b2 a2 2ac c2 b2 2bc c2
 2(a2 b2 c2 ab bc ca)
 a b c
Kết quả với a2 b2 c2 ab bc ca 0 
 2
Câu 6.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
 1 1 1 1 1 1
Cho a b c 0; a,b,c 0 . Chứng minh đẳng thức 
 a2 b2 c2 a b c
 Lời giải
Ta có:
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 2 
 a b c a b c ab ac bc 
 1 1 1 c b a 1 1 1
 2 2 2 2 2 2 2 
 a b c abc a b c
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 
 a b c a b c a b c
Câu 7.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016) 
Cho a 2. 2....2. 2 và b 2. 2....... 2.2 .
 2016thõa sè 2 3016thõa sè 2
 Chứng minh rằng a và b có cùng chữ số hàng đơn vị.
 Lời giải
Nhận xét 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 16 (8 thừa số 2) 
2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm có giá trị bằng 
16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàn đơn vị là 6
3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm có giá trị bằng 
16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6
Suy ra điều phải chứng minh
Câu 8.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016) 
Cho x y z 0 và xyz 0. Tính giá trị của biểu thức
 1 1 1
 P 
 x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 x2 y2
 Lời giải
Ta có : x+y+z=0 x (y z); y (z x); z (x y) 
 x2 y z 2 ; y2 z x 2 ; z2 x y 2
 1 1 1
 P 
 x2 y2 x y 2 y2 z2 y z 2 z2 x2 x z 2
 1 1 1 x y z
 P P 0
 2xy 2yz 2xz 2xyz
Câu 9.(Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014) 
Cho đa thức P(x) x5 x; Q(x) x2 4 (x2 1)x 
a) Hãy phân tích đa thức P x Q x thành tích các nhân tử.
b) Chứng tỏ rằng nếu x là số nguyên thì P(x) luôn chia hết cho 5.
 Lời giải
a)
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
P(x) x5 x;Q(x) x2 4 . x2 1 x
P(x) Q(x) x5 x x2 4 . x2 1 x
 x5 x x4 5x2 4 x 
 x5 x x5 5x3 4x 5x3 5x
 5x x2 1 5x(x 1)(x 1)
Vậy P(x) 5x(x 1)(x 1) 
b) Theo trên P(x) Q(x) 5x(x 1)(x 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên x
Mặt khác Q(x) x2 4 x2 1 x x 2 x 1 x x 1 x 2 nên Q x là tích của 5 số nguyên 
liên tiếp Q(x) chia hết cho 5.
Vậy P(x) g(x) 5x(x2 1) luôn chia hết cho 5
Câu 10.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau
 a) A x3 3x2 y 4xy2 12y3 b) B x3 4y2 2xy x2 8y3 
2. Cho a 11 6 2 11 6 2 .Chứng minh rằng a là một số nguyên
 Lời giải
1. a) A x 3y x 2y x 2y b) B x 2y 1 x2 2xy 4y2 
 2 2
2. a 11 6 2 11 6 2 3 2 3 2 6 
Câu 11.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Nghệ An 2016-2017) 
Tìm hệ số a, b, c của đa thức P(x) x2 bx c biết P (x) có giá trị nhỏ nhất bằng – 1 tại x = 2.
 Lời giải
Do đa thức P(x) x2 bx c có bậc hai và có giá trị nhỏ nhất là - 1 tại x=2 nên viết được dưới 
dạng P(x) x 2 2 1. 
Từ đó ta có P(x) x2 bx c x 2 2 1 
Hay ta được x2 bx c x2 4x 3. Đồng nhất hệ số hai vế ta được b 4;c 3.
Câu 12.(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017) 
Cho a b c 0 và a,b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức: 
 ab bc ca
 A 
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
 Lời giải
Từ a b c 0 a b c 
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Bình phương hai vế ta được a2 b2 2ab c2 nên a2 b2 c2 2ab 
Tương tự : b2 c2 a2 2bc và c2 a2 b2 2ac 
 ab bc ca 1 1 1 3
Do đó A 
 2ab 2bc 2ca 2 2 2 2
 3
Vậy A 
 2
Câu 13.(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017) 
 1 1 1
Giả sử a, b, c là những số thực thỏa mãn a, b, c 0 và a b c 0. 
 a b c
 a6 b6 c6
Chứng minh rằng abc 
 a3 b3 c3
 Lời giải
 *a b c 0 a b c a b 3 c3 a3 b3 c3 3ab(a b) 3abc
 1 1 1
* 0 ab bc ca 0
 a b c 
 2 2 2
*a6 b6 c6 a3 b3 c3 2 a3b3 b3c3 c3a3 
*ab bc ca 0 a3b3 b3c3 c3a3 3a2b2c2
Do đó *a6 b6 c6 3abc 2 2.3a2b2c2 3a2b2c2 
 a6 b6 c6 3a2b2c2
Vậy abc 
 a3 b3 c3 3abc
Câu 14.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019) 
 1 x
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3 y x 3 y . Tính giá trị của biểu thức 
 27 y
 Lời giải
 1
Ta có x3 y x 3 y 27x3 27y 1 27x 3 y 0 
 27
 3 3 2 2 2
 3x 33 y 1 3.3x.3 y 0 3x 3 y 1 . 3x 33 y 3.3 y 1 1 3x 0 
 1
 x 
 3 x
Do x, y >0 nên suy ra 3x 33 y 1 9. 
 1 y
 y 
 27
 x
Vậy giá trị của biểu thức là 9
 y
  Trang 5 