Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1.(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) 
 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 a b c
 P 
 9a3 3b2 c 9b3 3c2 a 9c3 3a2 b
 Lời giải
 Chứng minh:
 (a2 b2 c2 )(x2 y2 z2 ) (ax by cz)2 , a,b,c, x, y, z R . (1)
 Thật vậy: (1) (a2 y2 2abxy b2 x2 ) (a2 z2 2acxz c2 z2 ) (b2 y2 2bcyz c2 z2 ) 0 
 (ay bx)2 (az cx)2 (by cz)2 0 (đúng)
 ay bx
 Dấu " " az cx
 by cz
 1 1
 Áp dụng BĐT (1) ta có: (9a3 3b2 c)( c) (a b c)2 1
 9a 3
 1
 Dấu " " a b c .
 3
 1 a 1 1
 9a3 3b2 c a( c)
 1 1 3 2
 c 9a 3b c 9a 3
 9a 3
 b 1 1 c 1 1
 Tương tự có: b( a); c( b)
 9b3 3c2 a 9b 3 9c3 3a2 b 9c 3
 1 a b c
 P 3. (ab bc ca)
 9 3
 1 1 (a b c)2 (a b c)2
 P 1. Do ab bc ca 
 3 3 3 3
 1
 Vậy P 1 a b c .
 max 3
Câu 2.(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018) 
 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 Chứng minh rằng: xyz 
 x y z
 Lời giải
 1 1 1
 Từ Gt suy ra: 1. 
 xy yz zx
 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Nên ta có: 2 
 x x xy yz zx x y x z 
 1 2 1 1 
 ;" " y z
 2 x y z 
  Trang 1  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 1 1 x2 1 4 1 1 
 Vậy . 
 x 2 x y z 
 1 1 y2 1 1 4 1 1 1 z2 1 1 1 4 
 Tương tụ ta có ; 
 y 2 x y z z 2 x y z 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 1 1 1 
 Vậy ta có 3 ;" " x y z
 x y z x y z 
 2 1 2 2 2
 Ta có x y x 3 xy yz xx .... x y y z x z 0
 2 
 2
 Nên x y x 3 xy yz xx 
 2 xy yz xz 1 1 1 
 xyz 3 xy yz xz 3 xyz 3 xyz
 xyz x y z 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 Vậy xyz ; " " x y z
 x y z
Câu 3.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016) 
 1 1 1
 Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2.
 1 2x 1 2y 1 2z
 1
 Chứng minh rằng xyz .
 64
 Lời giải
 1 1 1 2y 2z 4yz
 Ta có : 1 1 2
 1 2x 1 2y 1 2z 1 2y 1 2z (1 2y)(1 2z)
 1 4xz 1 4xy
 Tương tự ta có : 2 , 2
 1 2y (1 2x)(1 2z) 1 2z (1 2x)(1 2y)
 1 1 1 64x2 y2 z2
 . . 8.
 1 2x 1 2y 1 2z (1 2x)2 (1 2y)2 (1 2z)2
 1 8xyz
 8.
 Khi đó : (1 2x)(1 2y)(1 2z) (1 2x)(1 2y)(1 2z)
 1 64xyz
 1
 xyz 
 64
Câu 4.(Đề thi HSG tỉnh Cẩm Giàng 2013-2014) 
 a b c
 Chứng minh 2 , với a, b, c>0
 b c a c b a
 Lời giải
 b c a b c a (b c)a
 Ta có (b c)a 
 2 2a a
 b c a b c a 2a
 2a a b c a b c
  Trang 2  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 b 2b c 2a
 Tương tự: , 
 a c a b c b a a b c
 a b c 2(a b c)
 2 
 b c a c b a (a b c)
 Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)
 a b c
 Vậy 2 
 b c a c b a
Câu 5.(Đề thi HSG tỉnh Cẩm Giàng 2013-2014) 
 Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 
 1 1 1 1 1 1
 a b c b c a c a b a b c
 Lời giải
 1 1 4
 Với x 0, y 0 ta có (x y)2 4xy 
 x y x y
 1 1 1 1 
 (I)
 x y 4 x y 
 a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,
 Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:
 1 1 4 2
 a b c a c b a b c a c b a
 1 1 4 2
 Tương tự: 
 b a c b c a c b a a b c b
 1 1 4 2
 c b a c a b c b a c a b c
 1 1 1 1 1 1
 (đpcm)
 a b c b c a c a b a b c
Câu 6.(Đề thi HSG tỉnh Cam Lộ 2008-2009) 
 a4 b4
 a) Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2
 2
 1 1
 b) Cho hai số dương a,b và a = 5-b. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P= 
 a b
 Lời giải
 a/ 
 a4 b4
 ab3 a3b a2b2
 2
 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 
 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0 
 (a4 2a3b a2b2 ) (b4 2ab3 a2b2 ) 
 (a2 ab)2 (b2 ab)2 0 
 b/ 
 1 1 a b 5
 P= = = 
 a b ab ab
  Trang 3  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 20 20 4
 P= = 
 4ab (a b)2 5
 4 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a=b= 
 5 2
Câu 7.(Đề thi HSG tỉnh Thanh Oai 2013-2014) 
 a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.
 2 1 2 1 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 
 y x 
 1 1 1
 b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 6.
 x y y z z x
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng: .
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
 Lời giải
 a) Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1.
 2 1 2 1 
 Tìm GTNN của biểu thức: M = x 2 y 2 
 y x 
 4 4 2 2
 2 1 2 1 2 2 1 x y 2x y 1
 M = x 2 y 2 = x y 1 1 2 2 2 2
 y x x y x y
 2 2 2 2 2
 x y 1 x2 y2 1 1 
 2 2 xy 
 x y xy xy 
 1 1 15
 Ta có: xy xy 
 xy 16xy 16xy
 1 1 1 1
 * Ta có: xy 2 xy. 2. (1) *
 16xy 16xy 4 2
 x y 1 1 1 1 4 1 15 15
 xy xy 4 (2)
 2 2 4 xy 16xy 16 4 16xy 4
 1 1 15 1 15 17
 Từ (1) và (2) xy xy 
 xy 16xy 16xy 2 4 4
 2 2
 1 17 289
 Vậy M = xy 
 xy 4 16
 1 1
 xy xy 1
 Dấu “=” xảy ra 16xy 4 x y (Vì x, y > 0)
 2
 x y x y
 289 1
 Vậy min M = tại x = y = 
 16 2
 1 1 1
 b) Cho x, y là các số dương thỏa mãn: 6
 x y y z z x
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng: 
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
 1 1 4
 Áp dụng BĐT (với a, b > 0)
 a b a b
  Trang 4  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 1 1 1 1 
 a b 4 a b 
 1 1 1 1 1 
 Ta có: 
 3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 4 x y x z x y y z 4 4 x y x z x y y z 
 1 2 1 1 
 16 x y x z y z 
 1 1 2 1 1 
 Tương tự: 
 3x 2y 3z 16 x z x y y z 
 1 1 2 1 1 
 2x 3y 3z 16 y z x y x z 
 cộng vế theo vế, ta có: 
 1 1 1 1 4 4 4 
 . .
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z 
 4 1 1 1 1 3
 .6 
 16 x y x z y z 4 2
Câu 8.(Đề thi HSG tỉnh Hậu Giang 2017-2018) 
 a2 b2 c2
 Cho a,b,c 0 chứng minh rằng a b c 
 b c a
 Lời giải
 a2
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b 2a 
 b
 b2 c2
 Tương tự ta có: c 2b ; a 2c 
 c a
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 b c a 2a 2b 2c a b c 
 b c a b c a
 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Câu 9.(Đề thi HSG tỉnh Hậu Giang 2017-2018) 
 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác . Tìm 
 a 9b 16
 giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 
 b c a c a b a b c
 Lời giải
 b c a x 2a y z
 Đặt c a b y 2b z x 
 a b c z 2c z y
 Ta có 
 y z 9(z x) 16(x y) 1 y 9x z 16x 9z 16y 1
 S . 2.3 2.4 2.3.4 19 
 2x 2y 2z 2 x y x z y z 2
  Trang 5  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 7 5 1
Giá trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a ;b ;c 
 8 8 2
  Trang 6 