Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1.(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c P 9a3 3b2 c 9b3 3c2 a 9c3 3a2 b Lời giải Chứng minh: (a2 b2 c2 )(x2 y2 z2 ) (ax by cz)2 , a,b,c, x, y, z R . (1) Thật vậy: (1) (a2 y2 2abxy b2 x2 ) (a2 z2 2acxz c2 z2 ) (b2 y2 2bcyz c2 z2 ) 0 (ay bx)2 (az cx)2 (by cz)2 0 (đúng) ay bx Dấu " " az cx by cz 1 1 Áp dụng BĐT (1) ta có: (9a3 3b2 c)( c) (a b c)2 1 9a 3 1 Dấu " " a b c . 3 1 a 1 1 9a3 3b2 c a( c) 1 1 3 2 c 9a 3b c 9a 3 9a 3 b 1 1 c 1 1 Tương tự có: b( a); c( b) 9b3 3c2 a 9b 3 9c3 3a2 b 9c 3 1 a b c P 3. (ab bc ca) 9 3 1 1 (a b c)2 (a b c)2 P 1. Do ab bc ca 3 3 3 3 1 Vậy P 1 a b c . max 3 Câu 2.(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 Chứng minh rằng: xyz x y z Lời giải 1 1 1 Từ Gt suy ra: 1. xy yz zx 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên ta có: 2 x x xy yz zx x y x z 1 2 1 1 ;" " y z 2 x y z Trang 1 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 1 x2 1 4 1 1 Vậy . x 2 x y z 1 1 y2 1 1 4 1 1 1 z2 1 1 1 4 Tương tụ ta có ; y 2 x y z z 2 x y z 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 1 1 1 Vậy ta có 3 ;" " x y z x y z x y z 2 1 2 2 2 Ta có x y x 3 xy yz xx .... x y y z x z 0 2 2 Nên x y x 3 xy yz xx 2 xy yz xz 1 1 1 xyz 3 xy yz xz 3 xyz 3 xyz xyz x y z 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 Vậy xyz ; " " x y z x y z Câu 3.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016) 1 1 1 Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 2. 1 2x 1 2y 1 2z 1 Chứng minh rằng xyz . 64 Lời giải 1 1 1 2y 2z 4yz Ta có : 1 1 2 1 2x 1 2y 1 2z 1 2y 1 2z (1 2y)(1 2z) 1 4xz 1 4xy Tương tự ta có : 2 , 2 1 2y (1 2x)(1 2z) 1 2z (1 2x)(1 2y) 1 1 1 64x2 y2 z2 . . 8. 1 2x 1 2y 1 2z (1 2x)2 (1 2y)2 (1 2z)2 1 8xyz 8. Khi đó : (1 2x)(1 2y)(1 2z) (1 2x)(1 2y)(1 2z) 1 64xyz 1 xyz 64 Câu 4.(Đề thi HSG tỉnh Cẩm Giàng 2013-2014) a b c Chứng minh 2 , với a, b, c>0 b c a c b a Lời giải b c a b c a (b c)a Ta có (b c)a 2 2a a b c a b c a 2a 2a a b c a b c Trang 2 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 b 2b c 2a Tương tự: , a c a b c b a a b c a b c 2(a b c) 2 b c a c b a (a b c) Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có) a b c Vậy 2 b c a c b a Câu 5.(Đề thi HSG tỉnh Cẩm Giàng 2013-2014) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Lời giải 1 1 4 Với x 0, y 0 ta có (x y)2 4xy x y x y 1 1 1 1 (I) x y 4 x y a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0, Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có: 1 1 4 2 a b c a c b a b c a c b a 1 1 4 2 Tương tự: b a c b c a c b a a b c b 1 1 4 2 c b a c a b c b a c a b c 1 1 1 1 1 1 (đpcm) a b c b c a c a b a b c Câu 6.(Đề thi HSG tỉnh Cam Lộ 2008-2009) a4 b4 a) Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2 2 1 1 b) Cho hai số dương a,b và a = 5-b. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P= a b Lời giải a/ a4 b4 ab3 a3b a2b2 2 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0 (a4 2a3b a2b2 ) (b4 2ab3 a2b2 ) (a2 ab)2 (b2 ab)2 0 b/ 1 1 a b 5 P= = = a b ab ab Trang 3 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 20 20 4 P= = 4ab (a b)2 5 4 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a=b= 5 2 Câu 7.(Đề thi HSG tỉnh Thanh Oai 2013-2014) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1. 2 1 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 y x 1 1 1 b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 6. x y y z z x 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2 Lời giải a) Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1. 2 1 2 1 Tìm GTNN của biểu thức: M = x 2 y 2 y x 4 4 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y 2x y 1 M = x 2 y 2 = x y 1 1 2 2 2 2 y x x y x y 2 2 2 2 2 x y 1 x2 y2 1 1 2 2 xy x y xy xy 1 1 15 Ta có: xy xy xy 16xy 16xy 1 1 1 1 * Ta có: xy 2 xy. 2. (1) * 16xy 16xy 4 2 x y 1 1 1 1 4 1 15 15 xy xy 4 (2) 2 2 4 xy 16xy 16 4 16xy 4 1 1 15 1 15 17 Từ (1) và (2) xy xy xy 16xy 16xy 2 4 4 2 2 1 17 289 Vậy M = xy xy 4 16 1 1 xy xy 1 Dấu “=” xảy ra 16xy 4 x y (Vì x, y > 0) 2 x y x y 289 1 Vậy min M = tại x = y = 16 2 1 1 1 b) Cho x, y là các số dương thỏa mãn: 6 x y y z z x 1 1 1 3 Chứng minh rằng: 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2 1 1 4 Áp dụng BĐT (với a, b > 0) a b a b Trang 4 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 1 1 1 a b 4 a b 1 1 1 1 1 Ta có: 3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 x y x z x y y z 4 4 x y x z x y y z 1 2 1 1 16 x y x z y z 1 1 2 1 1 Tương tự: 3x 2y 3z 16 x z x y y z 1 1 2 1 1 2x 3y 3z 16 y z x y x z cộng vế theo vế, ta có: 1 1 1 1 4 4 4 . . 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z 4 1 1 1 1 3 .6 16 x y x z y z 4 2 Câu 8.(Đề thi HSG tỉnh Hậu Giang 2017-2018) a2 b2 c2 Cho a,b,c 0 chứng minh rằng a b c b c a Lời giải a2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b 2a b b2 c2 Tương tự ta có: c 2b ; a 2c c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c a 2a 2b 2c a b c b c a b c a Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Câu 9.(Đề thi HSG tỉnh Hậu Giang 2017-2018) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác . Tìm a 9b 16 giá trị nhỏ nhất của biểu thức S b c a c a b a b c Lời giải b c a x 2a y z Đặt c a b y 2b z x a b c z 2c z y Ta có y z 9(z x) 16(x y) 1 y 9x z 16x 9z 16y 1 S . 2.3 2.4 2.3.4 19 2x 2y 2z 2 x y x z y z 2 Trang 5 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 7 5 1 Giá trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a ;b ;c 8 8 2 Trang 6
Tài liệu đính kèm:
chuyen_de_on_thi_vao_lop_10_thpt_chuyen_mon_toan_chuyen_de_2.docx