Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 3: Phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1.(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018) 
 5 5
 Giải phương trình 30 6x2 6x2 
 x2 x2
 Lời giải
 5 5 5
 Giải phương trình 30 6x2 6x2 ĐK: x2 
 x2 x2 6
 5 5
 Vì x2 0;6x2 1 0 , theo côsi ta có 
 6 x2
 5 2
 2 6x 1 
 5 5 2 x
 30 2 2 6x 1 
 x x 2
 5
 Dấu = có khi 6x2 1 x 1
 x2
 5
 (6x2 ) 1
 5 5 5 5 2
 Vì x2 6x2 0, theo côsi ta có 6x2 (6x2 )1 x
 6 x2 x2 x2 2
 5
 Dấu = có khi 6x2 1 x 1
 x2
 5 5
 6x2 1 6x2 1
 5 5 2 2
 Vây ta có 30 6x2 x x
 x2 x2 2
 5 5
 30 6x2 6x2 Dấu = có khi x 1
 x2 x2
 5 5
 Vậy x= 1 là nghiệm phương trình 30 6x2 6x2
 x2 x2
Câu 2.(Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn 2017-2018) 
 Cho phương trình: x2 2mx 2m 1 0 .
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm.
 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2x1x2 3
 B 2 2 .
 x1 x2 2(1 x1x2 )
 Lời giải
 a) Phương trình: x2 2mx 2m 1 0 có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm: 
 x1 1, x2 2m 1. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm m (hoặc tính theo để biện luận)
 Do PT luôn có nghiệm nên theo ĐL Vi-et ta có:
 x1 x2 2m, x1.x2 2m 1
  Trang 1  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 2(2m 1) 3 4m 1
 Suy ra: B 2 2
 (x1 x2 ) 2 4m 2
 Nhận thấy rằng mẫu số của B luôn dương, do đó để B nhỏ nhất thì ta chỉ xét 4m 1 0 
 hay m 1/ 4 , đặt t m 1/ 4 0, (nên t 0)
 Vậy m t 1/ 4 thay vào B, ta được:
 4( t 1/ 4) 1 4t
 B 
 4( t 1/ 4)2 2 4t 2 2t 9 / 4
 4t
 Để B nhỏ nhất thì C phải lớn nhất, C>0
 4t 2 2t 9 / 4
 4t 2 2t 9 / 4 1 9
 Để C lớn nhất thì D t nhỏ nhất
 4t 2 16t
 9 1 9 1
 Áp dụng BĐT Cô si: D t 2. t. 2
 16t 2 16t 2
 9 3
 Dấu = xảy ra khi t t khi đó m = -1, vậy minB = -1/2 khi m = - 1.
 16t 4
Câu 3.(Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn 2017-2018) 
 Giải phương trình: x2 4x 1 3x 1 0 .
 Lời giải
 1
 ĐK: x 
 3
 x2 4x 1 3x 1 0 x2 (3x 1) x 3x 1 0
 Đặt t 3x 1 0 ta được: x2 t 2 x t 0
 (x t)(x t) (x t) 0 (x t)(x t 1) 0
 3 5
 Với TH x t 0 hay x 3x 1 x2 3x 1 x (t/m)
 2
 Với TH x t 1 0 hay t 1 x 3x 1 1 x , ĐK: x 1
 5 17 5 17
 3x 1 1 2x x2 x t/m (loại x )
 2 2
 3 5 5 17
 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x , x 
 2 2
Câu 4.(Đề thi HSG tỉnh Nam Định 2015-2016) 
 Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5x 11 0 .
 Lời giải
 1
 Điều kiện x 
 2
 2 2x 1 x 3 5x 11 0 2 2x 1 x 3 5x 11
 9x 1 4 2x2 5x 3 5x 11 2x2 5x 3 3 x
 x 3 x 3 x 1
 2 2 2 
 2x 5x 3 9 6x x x 11x 12 0 x 12
 Đối chiếu điều kiện ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
  Trang 2  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Câu 5.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016) 
 Giải phương trình 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3.
 Lời giải
 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3.
 ( 4x2 5x 1 2 x2 x 1)( 4x2 5x 1 2 x2 x 1) (9x 3)( 4x2 5x 1 2 x2 x 1)
 9x 3 (9x 3)( 4x2 5x 1 2 x2 x 1)
 (9x 3)( 4x2 5x 1 2 x2 x 1 1) 0
 9x 3 0n
 1
 x 
 3
 Ta dễ chứng minh được phương trình 4x2 5x 1 2 x2 x 1 1= 0 vô nghiệm
 1
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x .
 3
Câu 6.(Đề thi HSG tỉnh Cẩm Giàng 2013-2014) 
 Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) x2 1
 Lời giải
 x2+ 5x +1 = (x+5) x2 1
 x2+1 + 5x = (x+5) x2 1
 x2+1 + 5x - x x2 1 - 5 x2 1 =0
 x2 1 ( x2 1 -x) +5(x- x2 1 )=0
 ( x2 1 -x) ( x2 1 - 5) = 0
 ( x2 1 -x) = 0 hoặc ( x2 1 - 5) = 0
 x2 1 =x hoặc x2 1 = 5
 x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25
 x2 = 24
 x = 24
 Vậy nghiệm của PT là x = 24
Câu 7.(Đề thi HSG tỉnh Cam Lộ 2008-2009) 
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 Giải phương trình sau: + = +
 13 15 37 9
 Lời giải
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 + = +
 13 15 37 9
 x 2 2x 45 3x 8 4x 69
 ( +1)+( -1)=( +1)+( -1) 
 13 15 37 9
 x 15 2(x 15) 3(x 15) 4(x 15)
 = + 
 13 15 37 9
 x=-15 
  Trang 3  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Câu 8.(Đề thi HSG tỉnh Thanh Oai 2013-2014) 
 Giải phương trình
 a) ( x 3)(x 4)(x 5)(x 6) 24 
 b) | 2x x2 1| = 2x x2 1
 Lời giải
 a. ( x 3)(x 6)(x 4)(x 5) 24
  (x2 9x 18)(x2 9x 20) 24 (1)
 Đặt x2 9x 19 y
 (1)  ( y + 1)(y – 1 ) – 24 = 0
  y2 – 25 = 0
  (x2 9x 24)(x2 9x 14) 0
  (x 2)(x 7)(x2 9x 24) 0 
 Chứng tỏ x2 9x 24 0
 Vậy nghiệm của phương trình : x 2; x 7
 b. Ta có 2x x2 1 (x2 2x 1) (x 1)2 0
 pt trở thành : 2x x2 1 x2 2x 1  x 1
Câu 9.(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai 2013-2014) 
 Tìm các số thực x thỏa x4 2x3 x2 2x 1 0 
 Lời giải
 Chia 2 vế cho x2 ta được:
 4 3 2 2 1 1 
 x 2x x 2x 1 0 x 2 2 x 1 0 
 x x 
 2
 1 1 
 x 2 x 1 0
 x x 
 2
 1 
 x 1 2
 x 
 1 1
 x 1 2 (1) hoặc x 1 2 (2)
 x x
 Giải (1) ta được 
 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1
 x hoặc x (3) 
 2 2
 Giải (2) vô nghiệm
 Vậy chỉ có hai giá trị của x ở (3) thỏa bài toán
  Trang 4 