Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 4: Hệ phương trình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Chuyên đề 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1.(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) 
 mx 2y 2
 Cho hệ phương trình: (với m là tham số).
 2x my 5
 a) Giải hệ phương trình trên khi m 10.
 b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056
 x y 2014 
 m2 4
 Lời giải
 a) Giải hệ phương trình trên khi m 10.
 10x 2y 2 5x y 1 50x-10y=10
 Thay m 10 ta được hệ: 
 2x 10y 5 2x 10y 5 2x 10y 5
 15 15
 x x 
 52x=15 52 52
 2x 10y 5 5 2x 23
 y y 
 10 52
 15
 x 
 52
 Kết luận: với m 10 thì hệ có nghiệm duy nhất: 
 23
 y 
 52
 b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056
 x y 2014 
 m2 4
 mx 2
 mx 2 y 
 mx 2y 2 y 2
 Dùng phương pháp thế, ta có: 2 
 2x my 5 mx 2
 2x my 5 2x m 5
 2
 2m 10
 mx 2 x 
 y m2 4
 2 ,m R
 5m 4
 m2 4 x=2m+10 y 
 m2 4
 2m 10
 x 
 m2 4
 Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất: ,m R
 5m 4
 y 
 m2 4
 2015m2 14m 8056
 Thay vào hệ thức: x y 2014 
 m2 4
 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056
 Ta được: 
 m2 4 m2 4
 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056
  Trang 1  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 2 m 1
 m 7m 6 0 m 1 m 6 0 . 
 m 6
 Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức: 
 2015m2 14m 8056 m 1
 x y 2014 2 thì 
 m 4 m 6
Câu 2.(Đề thi HSG tỉnh Nam Định 2015-2016) 
 2
 y y x 1 1 x 1 0 1 
 Giải hệ phương trình 
 2 2
 x y 7x 3 0. 2 
 Lời giải
 Điều kiện x 1, y ¡
 y2 y x 1 1 x 1 0 y2 y x 1 y 1 0 y 1 y x 1 0
 y 1
 .
 y x 1
 Với y 1, thay vào (2) ta được 
 x2 1 7x2 3 0 x2 1 7x2 3 x4 2x2 1 7x2 3
 x2 1 x 1
 x4 5x2 4 0 (do điều kiện của x)
 2 
 x 4 x 2
 Với y x 1 , thay vào (2) ta được x2 x 1 7x2 3 0
 x2 4 x 1 1 7x2 3 5 0
 x 2 7 x 2 x 2 
 x 2 x 2 0
 x 1 1 7x2 3 5
 x 2
 1 7 x 2 
 x 2 0
 x 1 1 7x2 3 5
 Với x 2 suy ra y 1.
 1 7 x 2 7 1
 Ta có x 2 x 2 1 
 x 1 1 7x2 3 5 7x2 3 5 x 1 1
 7x2 3 2 1
 x 2 
 7x2 3 5 x 1 1
 7x2 3 2
 Với x 1 thì 7x2 3 2 0 x 2 0
 7x2 3 5
 7x2 3 2 1
 Suy ra x 2 0
 7x2 3 5 x 1 1
 Vậy hệ phương trình có các nghiệm 1;1 , 2;1 .
  Trang 2  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Câu 3.(Đề thi HSG tỉnh Hậu Giang 2017-2018) 
 x y 2(1 xy)
 Giải hệ phương trình 
 xy x y 2 0
 Lời giải
 Từ phương trình xy x y 2 0 1 xy x y 3 
 Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
 x y 2(x y 3) x y 2x 2y 6 0 x 3y 6 
 Thay vào phương trình thứ hai ta được 3y2 8y 4 0 3y 2 . y 2 0 
 2
 Với y 2 x 0. Với y x 4 
 3
 2 
 Vậy hệ có nghiệm x; y 0;2 ; 4;  
 3 
Câu 4.(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai 2013-2014) 
 x3 2y 1
 Giải hệ phương trình: 
 3
 y 2x 1
 Lời giải
 x3 2y 1
 x3 y3 2x 2y 0
 3
 y 2x 1 
 x y x2 y2 xy 2 0
 y x (1) hoặc x2 y2 xy 2 0 (2) 
 Với y = - x . Khi đó x3 2x 1 0 x 1 . x2 x 1 0 
 x 1 hoặc x2 x 1 0(3) 
 Khi x = 1 thì y 1 
 1 5 1 5
 Giải (3) ta được x hoặc x 
 2 2
 1 5 1 5
 Với x y 
 2 2
 1 5 1 5
 Với x y 
 2 2
 2
 y 3y2
 (2) x 2 0 (vô nghiệm)
 2 4
 Hệ đã cho có 3 nghiệm như trên
  Trang 3 