Giáo án Dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chủ đề 15: Phương trình bậc hai một ẩn

CHỦ ĐỀ 15: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A/ LÝ THUYẾT.
I/ Dạng phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 
II/ Công thức nghiệm: 
 	Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có biệt thức (Đenta): D = b2 - 4ac
+ Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm 
+ Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
+ Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 
Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 + 3x + 3 = 0
	Ta có: a = 1; b = 3 ; c = 3 => ∆ = b2 – 4ac = 9 – 12 = - 3 < 0
Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 + x - 5 = 0
	Ta có: a = 1 ; b = 1 ; c = - 5 => ∆ = b2 – 4ac = 1 + 20 = 21 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
x1 = = 	x2 = = 
Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 + 2x + 2 = 0
	Ta có: a = 1 ; b = 2 ; c = 2 => ∆ = b2 – 4ac = 0 
Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN: Dùng khi hệ số b = 2 
 	Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có D’ = b’ 2 - ac ( b = 2b’ )
+ Nếu D’ < 0 thì phương trình vô nghiệm 
+ Nếu D’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
+ Nếu D’ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 
III/ Hệ thức Vi-ét.
a) Định lí Vi-ét: 
 	Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) thì : 
+) Tổng hai ngiệm: S = x1 + x2 = 	
+) Tích hai nghiệm: P = x1.x2 = 
b) Ứng dụng: 
+ Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 
+ Hệ quả 2: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có: a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = 
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
 	Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình bậc hai: 
x2 - S.x + P = 0	(x1 ; x2 tồn tại khi ∆ = S2 – 4P ³ 0)
Chú ý: 
 	+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là D ≥ 0)
 	+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.
DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2.
I/ Phương pháp.
	- Liệt kê các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai. 
- Nếu có: a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 	(1)
=> Áp dụng Hệ quả Viet suy ra nghiệm của phương trình.
- Nếu không có (1) thì tính ∆ = b2 – 4ac 
=> Áp dụng công thức nghiệm (Công thức nghiệm thu gọn).
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Xác định các hệ số a, b, c và giải phương trình bậc hai sau.
a) x2 - 49x - 50 = 0 	b) (2-)x2 + 2x – 2 – = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
	a) 3x2 – 7x - 10 = 0 	b) x2 – 3x + 2 = 0 	c) 3x2 – 2x – 3 = 0	
	d) x2 – (1+)x + = 0	e)x2 – (1-)x – 1 = 0	f) x2 – 4x – 5 = 0
	g) (2+)x2 - 2x – 2 + = 0	h) x2 – – 6 = 0
DẠNG 2: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH:. 
I/ Phương pháp:
* Áp dụng định lý (đảo Viet): 	
Nếu hai số x1; x2 có x1 + x2 = S ; x1.x2 = P thì x1 và x2 có thể là hai nghiệm của phương trình bậc ha: x2 - S.x + P = 0
Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ?
+ Nếu S2 – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2. 
+ Nếu S2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2 tính theo công thức nghiệm 
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
	Ta có: u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai: 
	x2 – 42x + 441 = 0 	(*)
	Ta có: D’ = (- 21)2- 441 = 0
	Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
	Vậy u = v = 21
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: 
	a) u + v = - 42 và u.v = - 400 	b) u - v = 5 và u.v = 24 
	c) u + v = 3 và u.v = - 8 	d) u - v = -5 và u.v = -10 
Bài 3: Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2.
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
I/ Phương pháp.
	- Xác định điều kiện của phương trình nếu có (Mẫu thức ≠ 0 và Điều kiện biểu thức trong căn bậc hai không âm hoặc dương).
	- Quy đồng, biến đổi, đặt ẩn phụ...để đưa về phương trình bậc hai.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
	a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 	b) 
	c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2	d) 3(x2 + x) – 2 (x2 + x) – 1 = 0
Giải
 	a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 	(1)
 	(1) Û (x2 - 2)(x + 3) = 0 Û (x + )(x - )(x + 3) = 0
 	Û x = -; x = ; x = - 3 
 	Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -; x = ; x = - 3
 	b) Giải phương trình 	(2)
 	Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì 
 	(2) Û 2x(x- 4) = x2 – x + 8 Û x2 – 7x – 8 = 0 (*)
 	Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
 	 	Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
Bài 2: Giải các phương trình sau:
	1. x3+3x2+3x+2 = 0	2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2	
	3. x4 – 5x2 + 4 = 0	4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0	
	5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2	6. 
	7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0	8. 	
	9. 	10.