Tài liệu dạy học Đại số Lớp 9 - Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1. Lập hệ phương trình.
Chọn các ẩn số, đặt điều kiện và đơn vị phù hợp cho ẩn số;
Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số;
Thiết lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết;
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập được;
Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) ở Bước 1, từ đó đưa ra kết luận cần tìm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Bài toán về quan hệ giữa các số
Thực hiện các bước giải trong phần kiến thức trọng tâm.
Chú ý: với a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, ta có
Số tự nhiên có hai chữ số: .
Số tự nhiên có ba chữ số: .
Ví dụ 1. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số của số đó bằng và nếu chia chữ số hàng chục cho hàng đơn vị thì được thương là dư . Tìm số đó. 	ĐS: .
Ví dụ 2. Cho hai số tự nhiên biết tổng của chúng là và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là dư . Tìm hai số đã cho. 	ĐS: và .
Ví dụ 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, lần chữ số hàng chục lớn hơn lần chữ số hàng đơn vị là . Nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được một số mới nhỏ hơn số đã cho đơn vị. Tìm số đó. 	ĐS: .
Ví dụ 4. Tổng chữ số hàng đơn vị và lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là . Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là đơn vị. Tìm số đó.	ĐS: .
Dạng 2: Bài toán về chuyển động
Chú ý các công thức:
, trong đó S là quãng đường, v là vận tốc và t là thời gian.
Trong bài toán chuyển động trên mặt nước, ta có
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước.
Vận tốc thực luôn lớn hơn vận tốc dòng nước.
Ví dụ 5. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau km gồm hai đoạn đường nhựa và đường sỏi. Thời gian xe đi trên đoạn đường nhựa và sỏi lần lượt là giờ và giờ. Tính vận tốc của ô tô đi trên từng đoạn đường, biết trên đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn hơn trên đoạn đường sỏi là km /h. 
	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 6. Một ô tô xuất phát từ tỉnh A và đi đến tỉnh B với vận tốc là km/h. Sau khi đến B người đó quay trở về A với vận tốc km/h. Tính thời gian của ô tô lúc đi và lúc về, biết tổng thời gian cả đi lẫn về là giờ.	ĐS: giờ và giờ.
Ví dụ 7. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.	
	ĐS: km/h, giờ, km.
Ví dụ 8. Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định, nếu người này tăng tốc thêm km/h thì sẽ đến B sớm hơn giờ, còn nếu xe chạy với vận tốc giảm đi km/h thì sẽ đến B chậm hơn giờ. Tính quãng đường AB. 	ĐS: km.
Ví dụ 9. Một ca nô chạy trên sông trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô này chạy trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước, biết rằng các vận tốc này không đổi. 
	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 10. Hai bến sông A, B cách nhau km. Một ca nô xuôi dòng từ bên A đến bến B rồi ngược từ B trở về A hết tổng thời gian là giờ. Biết thời gian ca nô xuôi dòng km bằng thời gian ca nô ngược dòng km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước. 
	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 11. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được phút. Tìm vận tốc của mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 12. Hai địa điểm A và B cách nhau km. Một xe đạp và xe máy khởi hành cùng lúc đi từ A đến B, sau giờ thì khoảng cách giữa hai xe là km. Tìm vận tốc hai xe, biết thời gian để đi hết quãng đường AB của xe đạp nhiều hơn xe máy là giờ. 	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 13. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 14. Một xe khách và một xe Du lịch khởi hành cùng một lúc từ Hà Nội đi đến Hải Phòng. Xe Du lịch có vận tốc lớn hơn xe khách là km/h, do đó xe đã đến Hải Phòng trước xe khách phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng là km. 
	ĐS: km/h và km/h.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hai số có tổng bằng . Bốn lần của số bé lớn hơn lần của số lớn là . Tìm hai số đã cho. 	ĐS: và .
Bài 2. Tìm số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là , số dư là .	ĐS: và .
Bài 3. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó ta được một số mới lớn hơn số đã cho là . Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là . Tìm số đã cho.	ĐS: .
Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ. Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.	
	ĐS: km/h, giờ, km.
Bài 5. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B, cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được giờ. Tìm vận tốc của mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Bài 6. Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.	ĐS: km/h và km/h.
Bài 7. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
HƯỚNG DẪN GIẢI
Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số của số đó bằng và nếu chia chữ số hàng chục cho hàng đơn vị thì được thương là dư . Tìm số đó.
Lời giải
Gọi số cần tìm là (;). Theo đề bài, ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được ;. Vậy số tự nhiên cần tìm là . 
Cho hai số tự nhiên biết tổng của chúng là và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là dư . Tìm hai số đã cho.
Lời giải
Gọi số lớn và số bé cần tìm lần lượt là , ().
Theo đề bài, ta có hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được ;.
Vậy hai số cần tìm là và .
Cho một số tự nhiên có hai chữ số, lần chữ số hàng chục lớn hơn lần chữ số hàng đơn vị là . Nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được một số mới nhỏ hơn số đã cho đơn vị. Tìm số đó.
Lời giải
 Gọi số cần tìm là (, ;).
 Theo đề ra, ta có hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được . Vậy số cần tìm là .
Tổng chữ số hàng đơn vị và lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là . Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là đơn vị. Tìm số đó.
Lời giải
Gọi số cần tìm là (, ;).
 Theo đề ra, ta có hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được . Vậy số cần tìm là .
Một ô tô đi từ A đến B cách nhau km gồm hai đoạn đường nhựa và đường sỏi. Thời gian xe đi trên đoạn đường nhựa và sỏi lần lượt là giờ và giờ. Tính vận tốc của ô tô đi trên từng đoạn đường, biết trên đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn hơn trên đoạn đường sỏi là km /h.
Lời giải
Gọi vận tốc ôtô đi trên đoạn đường nhựa là (, km/h).
Vận tốc của xe đi trên đoạn đường sỏi là (, km/h).
Theo đề bài, ta có: (TMĐK).
Vậy vận tốc ô tô trên đoạn đường nhựa và đường sỏi lần lượt là km/h và km/h. 
Một ô tô xuất phát từ tỉnh A và đi đến tỉnh B với vận tốc là km/h. Sau khi đến B người đó quay trở về A với vận tốc km/h. Tính thời gian của ô tô lúc đi và lúc về, biết tổng thời gian cả đi lẫn về là giờ.
Lời giải
Gọi thời gian ôtô lúc đi và về lần lượt là , (, giờ).
Theo đề bài, ta có: (TMĐK).
Vậy thời gian lúc đi là giờ, lúc về là giờ.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.
Lời giải
Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là (km/h); (h). (ĐK: ;).
Ta có hệ phương trình: Vậy, vận tốc dự định là km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: km. 
Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định, nếu người này tăng tốc thêm km/h thì sẽ đến B sớm hơn giờ, còn nếu xe chạy với vận tốc giảm đi km/h thì sẽ đến B chậm hơn giờ. Tính quãng đường AB.
Lời giải
Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là (km/h); (h). (ĐK: ;).
Ta có hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình, ta được 
Vậy, vận tốc dự định là km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: km. 
Một ca nô chạy trên sông trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô này chạy trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước, biết rằng các vận tốc này không đổi. 
Lời giải.
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Đặt Ta được hệ . Giải HPT ta được .
Từ đó tìm được: , (TMĐK).
Vậy vận tốc ca nô là km/h, vận tốc dòng nước là km/h.
Hai bến sông A, B cách nhau km. Một ca nô xuôi dòng từ bên A đến bến B rồi ngược từ B trở về A hết tổng thời gian là giờ. Biết thời gian ca nô xuôi dòng km bằng thời gian ca nô ngược dòng km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước.
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Đặt . Giải HPT ta được .
Từ đó tìm được: , (TMĐK).
Vậy vận tốc ca nô là km/h, vận tốc dòng nước là km/h.
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được phút. Tìm vận tốc của mỗi xe.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được . (TMĐK).
Vậy vận tốc xe thứ nhất là km/h, vận tốc xe thứ hai là km/h. 
Hai địa điểm A và B cách nhau km. Một xe đạp và xe máy khởi hành cùng lúc đi từ A đến B, sau giờ thì khoảng cách giữa hai xe là km. Tìm vận tốc hai xe, biết thời gian để đi hết quãng đường AB của xe đạp nhiều hơn xe máy là giờ.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe máy và xe đạp lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được (TMĐK).
Vậy vận tốc xe máy là km/h, vận tốc xe đạp là km/h. 
Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Lời giải
Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được (TMĐK).
Vậy vận tốc ô tô là km/h, vận tốc xe máy là km/h. 
Một xe khách và một xe Du lịch khởi hành cùng một lúc từ Hà Nội đi đến Hải Phòng. Xe Du lịch có vận tốc lớn hơn xe khách là km/h, do đó xe đã đến Hải Phòng trước xe khách phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng là km.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe du lịch và xe khách lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được (TMĐK).
Vậy vận tốc xe Du lịch là km/h, vận tốc xe khách là km/h. 
Cho hai số có tổng bằng . Bốn lần của số bé lớn hơn lần của số lớn là . Tìm hai số đã cho.
Lời giải
Gọi số bé là số lớn là .
Ta có hệ phương trình: 
Giải ra ta được 
Vậy số bé là , số lớn là . 
Tìm số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là , số dư là .
Lời giải
Gọi số lớn là số bé là ().
Ta có hệ phương trình: 
Giải ra ta được 
Vậy số bé là , số lớn là . 
Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó ta được một số mới lớn hơn số đã cho là . Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là . Tìm số đã cho.
Lời giải.
Gọi số cần tìm là ().
 Đổi chỗ hai chữ số ta được số .
Ta có hệ phương trình: 
Giải ra ta được 
Vậy số cần tìm là . 
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ. Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.
Lời giải.
Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là (km/h); (h). (ĐK: ;).
Ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình, ta được 
Vậy, vận tốc dự định là km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: km. 
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B, cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được giờ. Tìm vận tốc của mỗi xe.
Lời giải
Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là , (km/h; ).
Đổi: giờ phút giờ và vì hai xe đi ngược chiều nên gặp nhau khi tổng quãng đường chúng đi bằng AB.
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được . (TMĐK).
Vậy vận tốc xe thứ nhất là km/h, vận tốc xe thứ hai là km/h. 
Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Đặt . Giải HPT ta được .
Từ đó tìm được: , (TMĐK).
Vậy vận tốc ca nô là km/h, vận tốc dòng nước là km/h. 
Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Lời giải
Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là , (km/h; ).
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT ta được . (TMĐK).
Vậy vận tốc xe máy là km/h, vận tốc xe đạp là km/h. 
--- HẾT ---