Tài liệu dạy học Đại số Lớp 9 - Chương 4: y=ax² - Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Xét phương trình bậc hai . Nếu , là nghiệm của phương trình thì
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai. Xét phương trình bậc hai .
Nếu thì phương trình có một nghiệm là , nghiệm kia là 
Nếu thì phương trình có một nghiệm là , nghiệm kia là 
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Nếu hai số có tổng bằng và tích bằng thì hai số đó là nghiệm của phương trình .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm . Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét
 và .
Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng và rồi áp dụng bước 1.
Ví dụ 1. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu , là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
a) , , , . 
b) ,, , . 
c) ,, , . 
d) ,, , . 
Ví dụ 2. Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu , là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
a) , , , . 
b) ,, , . 
c) ,, , . 
d) ,, , . 
Ví dụ 3. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 4. Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 5. Gọi , là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 6. Gọi , là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Sử dụng hệ thức Vi-ét.
Ví dụ 7. Xét tổng hoặc rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 8. Xét tổng hoặc rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 9. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Ví dụ 10. Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
Ví dụ 11. Cho phương trình . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không phụ thuộc vào . Tìm nghiệm còn lại.	ĐS: .
Ví dụ 12. Cho phương trình . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không phụ thuộc vào . Tìm nghiệm còn lại.	ĐS: .
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Để tìm hai số khi biết tổng và tích , ta làm như sau
Bước 1: Giải phương trình để tìm các nghiệm .
Bước 2: Suy ra các số cần tìm là hoặc .
Ví dụ 13. Tìm hai số và trong mỗi trường hợp sau
a) và .	ĐS: và .
b) và .	ĐS: và .
Ví dụ 14. Tìm hai số và trong mỗi trường hợp sau
a) và .	ĐS: và .
b) và .	ĐS: .
Ví dụ 15. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là và .	ĐS: .
Ví dụ 16. Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là và .	ĐS: .
Ví dụ 17. Cho phương trình có hai nghiệm là và . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .	ĐS: .
Ví dụ 18. Cho phương trình có hai nghiệm là và . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .	ĐS: .
Dạng 4: Phân tích tam giác bậc hai thành nhân tử
Xét tam thức bậc hai . Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì tam thức được phân tích thành
.
Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai một ẩn . Khi đó
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi .
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi .
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi .
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi .
Ví dụ 21. Cho phương trình . Tìm để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.	ĐS: .
b) Có hai nghiệm phân biệt.	ĐS: mọi .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.	ĐS: .
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.	ĐS: .
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.	ĐS: không tồn tại .
Ví dụ 22. Cho phương trình . Tìm để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.	ĐS: .
b) Có hai nghiệm phân biệt.	ĐS: mọi .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.	ĐS: .
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.	ĐS: không tồn tại.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.	ĐS: .
Dạng 6: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước
Bước 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm .
Bước 2: Từ hệ thức cho trước và hệ thức Vi-ét, ta tìm được điều kiện của tham số.
Ví dụ 23. Cho phương trình . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .	ĐS: .
Ví dụ 24. Cho phương trình . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 2. Gọi , là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 3. Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: vô nghiệm.
Bài 4. Tìm hai số và trong mỗi trường hợp sau
a) và .	ĐS: và .
b) và .	ĐS: và .
Bài 5. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .	ĐS: .
Bài 6. Cho phương trình có hai nghiệm là và . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .	ĐS: .
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) .	ĐS: .
b) .	ĐS: .
c) .	ĐS: .
d) .	ĐS: .
Bài 8. Cho phương trình . Tìm để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt.	ĐS: mọi .
b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu.	ĐS: .
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.	ĐS: .
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.	ĐS: .
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.	ĐS: không tồn tại .
Bài 9. Cho phương trình Tìm để phương trình
a) Có nghiệm.	ĐS: mọi .
b) Có một nghiệm bằng . Tìm nghiệm còn lại.	ĐS: , .
c) Có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .	ĐS: hoặc .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu , là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
a) ,,,. 
b) ,,,. 
c) ,,,. 
d) ,,,. 
Lời giải.
a) ,, . 
b) ,,. 
c) ,,. 
d) ,,. 
Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu , là hai nghiệm phương trình (nếu có) Không giải phương trình hãy điền vào chỗ trống
a) ,,,. 
b) ,,,. 
c) ,,,. 
d) ,,,. 
Lời giải.
a) ,,. 
b) ,,. 
c) ,,. 
d) ,,. 
Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
Tất cả các phương trình trình đã cho đều có tích nên luôn có nghiệm.
a) .,.
b) .,.
c) .,.
d) .,.
Không giải phương trình sau, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Gọi , là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
Phương trình có tích nên có nghiệm phân biệt , và ,.Theo định lý Vi-ét, ta có và .
a) .
b) .
c) .
d) .
Gọi , là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
Phương trình có tích nên có nghiệm phân biệt , và ,.Theo định lý Vi-ét, ta có và .
a) .
b) .
c) .
d) .
Xét tổng hoặc rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
a) . nên phương trình có nghiệm ,.
b) . nên phương trình có nghiệm ,.
c) . nên phương trình có nghiệm ,.
d) . nên phương trình có nghiệm ,.
Xét tổng hoặc rồi tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
a) . nên phương trình có nghiêm ,.
b) . nên phương trình có nghiêm ,.
c) . nên phương trình có nghiêm ,.
d) . nên phương trình có nghiêm ,.
Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) .	b) .
Lời giải.
a) .Theo định lý Vi-ét, ta có 
b) .Theo định lý Vi-ét, ta có r
Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm của phương trình2
a) .	b) .
Lời giải.
a) .Theo định lý Vi-ét, ta có 
b) .Theo định lý Vi-ét, ta có r
Cho phương trình . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không phụ thuộc vào . Tìm nghiệm còn lại.
Lời giải.
Ta có nên phương trình có nghiệm ,.
Cho phương trình . Chứng minh phương trình đã cho luôn một nghiệm không phụ thuộc vào . Tìm nghiệm còn lại.
Lời giải.
Ta có nên phương trình có nghiệm ,.
Tìm hai số và trong mỗi trường hợp sau
a) và .	b) và .
Lời giải.
a) và . và là nghiệm của phương trình
Vậy hoặc 
b) và . và là nghiệm của phương trình
Vậy hoặc r
Tìm hai số và trong mỗi trường hợp sau
a) và .	b) và .
Lời giải.
a) và . và là nghiệm của phương trình
Vậy hoặc 
b) và . và là nghiệm của phương trình
Vậy r
Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải.
Ta có và nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình
Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải.
Ta có và nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình
Cho phương trình có hai nghiệm là và . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải.
Theo định lý Vi-ét, ta có và .
.
Vậy phương trình thỏa đề bài là 
Cho phương trình có hai nghiệm là và . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải.
Theo định lý Vi-ét, ta có và . và Vậy phương trình thỏa đề bài là 
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
a) .Vậy 
b) .Vậy 
c) .Vậy .
d) .Vậy r
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
a) .
Vậy 
b) .
Vậy 
c) .
Vậy 
d) .
Vậy r
Cho phương trình . Tìm để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.	b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.	d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải.
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu 
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt , đúng với mọi .
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (Vô lý). Vậy không tồn tại .
Cho phương trình . Tìm để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải.
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt , đúng với mọi .
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (Vô lý). Vậy không tồn tại .
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
Cho phương trình . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .
Lời giải.
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Theo định lý Vi-et ta có và . Ta có
.
Vậy 
Cho phương trình . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .
Lời giải.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Theo định lý Vi-et ta có và Ta có
 (thỏa mãn).
Vậy 
Không giải các phương trình, tính tổng và tích các nghiệm phương trình sau
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
Tất cả các phương trình đã cho đều có tích nên luôn có nghiệm.2
a) .,
b) .,
c) .,.
d) .,r
Gọi , là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức
a) .	b) .
c) .	d) 
Lời giải.
Theo định lý Vi-ét, ta có và .
a) .
b) .
c) .
d) 
Tính nhẩm các nghiệm của phương trình sau2
a) .	b) .
c) .	d) .
Lời giải.
a) .Ta có nên phương trình có nghiệm ,
b) .Ta có nên phương trình có nghiệm ,
c) .Ta có nên phương trình có nghiệm ,
d) .Ta có nên phương trình vô nghiệm.
Tìm hai số và trong mỗi trường hợp sau
a) và .	b) và .
Lời giải.
a) và . Hai số và là nghiệm của phương trình Vậy hoặc 
b) và . Hai số và là nghiệm của phương trình Vậy hoặc 
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải.
Ta có và nên hai số đã cho là nghiệm của phương trình 
Cho phương trình có hai nghiệm là và . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Lời giải.
Phương trình có tích nên có nghiệm.
Theo định lý Vi-et ta có và Ta có và nên phương trình cần tìm là 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) .	b) .
c) .	d) .	
Lời giải.
a) Vậy 
b) Vậy 
c) Vậy 
d) Vậy r
Cho phương trình . Tìm để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt.	b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu.	
c) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.	d) Có hai nghiệm dương phân biệt.
e) Có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải.
,.
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt , đúng với mọi .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu 
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (Vô lý.)Vậy không tồn tại .
Cho phương trình Tìm để phương trình
a) Có nghiệm.
b) Có một nghiệm bằng . Tìm nghiệm còn lại.
c) Có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .
Lời giải.
a) nên phương trình luôn có nghiệm với mọi .
b) Theo định lý Vi-ét, ta có và Phương trình có nghiệm ta có 
Vậy và nghiệm còn lại là .
c) 
Vậy hoặc .
--- HẾT ---