Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh các đoạn thẳng
Sử dụng kiến thức liên hệ giữa đường kính và dây.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn , các đường cao và cắt nhau tại . Chứng minh
a) ốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn;
b) ;
c) .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của . Ta có . Vậy , , , thuộc đường tròn đường kính .
b) Xét có , lần lượt là dây không đi qua tâm và đường kính suy ra .
c) Ta có nên , , , cùng thuộc đường tròn đường kính . Từ đó suy ra .
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Ví dụ 2. Cho đường tròn tâm , đường kính . Dây cắt đường kính tại . Gọi , theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ và đến . Đường thẳng đi qua vuông góc với tại cắt tại . Chứng minh
a) ;	b) ;	c) .
Lời giải
a) có là trung điểm của , suy ra là trung điểm của .
b) có là trung điểm của , suy ra là trung điểm của .
c) suy ra là trung điểm của , suy ra .
Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính , dây . Các đường vuông góc với tại và tương ứng cắt ở và . Chứng minh .
Lời giải
Kẻ () suy ra là trung điểm của . là hình thang vuông có mà là trung điểm của .
Suy ra là trung điểm của .
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn tâm , có bán kính cm. Dây vuông góc với tại trung điểm của . Tính độ dài .
Lời giải
Áp dụng định lý Py-ta-go, tính được cm. Từ đó tính được cm.
Bài 2. Cho đường tròn và điểm nằm bên trong đường tròn.
a) Hãy nêu cách dựng dây nhận làm trung điểm;
b) Tính độ dài dây khi cm, cm.
Lời giải
a) Vẽ dây tại suy ra là trung điểm của .
b) Dùng định lý Py-ta-go tính được cm.
Bài 3. Cho đường tròn tâm có bán kính cm. Lấy thuộc sao cho cm. Qua vẽ dây cm. Kẻ (). Tính
a) , ;	b) , .
Lời giải
a) Vì nên là trung điểm của suy ra cm. Áp dụng định lý Py-ta-go ta được cm, cm.
b) cm, cm.
Bài 4. Cho đường tròn đường kính . Vẽ cung tròn tâm , bán kính , cung này cắt đường tròn ở và .
a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc , , ;
c) Chứng minh là tam giác đều.
Lời giải
a) Ta có suy ra là hình thoi.
b) Vì nên đều, suy ra mà là đường chéo của hình thoi suy ra .
Ta có , mà nên cân tại nên .
c) (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra cân tại , mà là tam giác đều.
Bài 5. Cho đường tròn , dây cung . Kẻ (), lấy hai điểm , đối xứng với nhau qua . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Vì nên là trung điểm , từ đó tứ giác là hình bình hành.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Cho tứ giác có .
a) Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn;
b) So sánh độ dài và ;
c) Nếu thì tứ giác là hình gì?
Lời giải
a) Vì vuông tại nên trung điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp với bán kính . Tương tự ta cũng có trung điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp với bán kính . Do dó bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Vì là đường kính nên .
c) Nếu thì cũng là đường kính của đường tròn. Suy ra là hình chữ nhật.
Bài 7. Cho đường tròn đường kính , dây không cắt đường kính . Gọi , lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ và đến . Chứng minh .
Lời giải
Kẻ () suy ra là trung điểm . ta có , nên hay là hình thang.
Mặt khác nên , , là trung điểm của nên là đường trung bình của hình thang hay là trung điểm của .
Suy ra .
Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính . Trên lấy điểm , sao cho . Qua , kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại và . Chứng minh và vuông góc với .
Lời giải
Kẻ () suy ra là trung điểm của . Ta có , .
Ta có là hình thang mà là đường trung bình của hình thang mà nên ta có đpcm.
--- HẾT ---