Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

Bài 8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TT)
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Vị trí tương đối của hai đường tròn và 
Số điểm chung
Hệ thức giữa với và 
Số tiếp tuyến chung
Hai đường tròn cắt nhau.
2
2
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Tiếp xúc ngoài.
Tiếp xúc trong.
1
1
Hai đường tròn không giao nhau.
Ngoài nhau.
Đựng nhau.
Đồng tâm.
0
4
0
0
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Vận dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường tròn ở phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Điền vào ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn và có .
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức liên hệ giữa 
Số tiếp tuyến chung
Đựng nhau
Tiếp xúc trong
Ngoài nhau
Cắt nhau
 Lời giải
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức liên hệ giữa 
Số tiếp tuyến chung
Đựng nhau
0
0
Tiếp xúc ngoài
1
3
Tiếp xúc trong
1
1
Ngoài nhau
0
4
Cắt nhau
2
2
Ví dụ 2. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống ( ):
a) Tâm của đường tròn có bán kính bằng cm tiếp xúc ngoài với đường tròn ( cm) nằm trên ...
b) Tâm của đường tròn có bán kính bằng cm tiếp xúc trong với đường tròn ( cm) nằm trên 
Lời giải
a) Tâm của đường tròn có bán kính bằng cm tiếp xúc ngoài với đường tròn ( cm) nằm trên đường tròn ( cm).
b) Tâm của đường tròn có bán kính bằng cm tiếp xúc trong với đường tròn ( cm) nằm trên đường tròn ( cm).
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau
Vận dụng tính chất đường nối tâm, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; tính chất tiếp tuyến chung của hai đường tròn; hệ thực lượng trong tam giác vuông 
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Gọi là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn với và .
a) Tính số đo .
b) Tính độ dài biết cm; cm.
Lời giải
a) Từ kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt tại .
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau .
Từ đó suy ra vuông tại 
.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
Mà kề bù 
 cm
 cm.
Ví dụ 4. Cho đường tròn và đường tròn tâm có đường kính 
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b) Dây của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở . Chứng minh 
Lời giải
a) nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
b) Ta có có là đường kính của đường tròn () nên 
.
Mà cân tại nên là đường trung tuyến.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn ( cm) và ( cm) tiếp xúc ngoài tại Vẽ hai bán kính và song song với nhau và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ .
a) Tính số đo của 
b) Gọi là giao điểm của và . Tính độ dài .
Lời giải
a) Ta có .
Ta lại có 
.
b) Áp dụng định lí Ta-lét ta có
 cm.
Bài 2. Cho đường tròn () và điểm nằm bên ngoài đường tròn . Vẽ đường tròn .
a) Hai đường tròn và có vị trí tướng đối như thế nào với nhau?
b) Gọi là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính của đường tròn . Chứng minh 
Lời giải
a) Ta có nên () và () cắt nhau.
b) Vì cân tại .
Mà ( là đường kính).
 là đường trung tuyến của .
Bài 3. Cho vuông tại , đường cao . Gọi là hình chiếu của trên là hình chiếu của trên Gọi () là tâm đường tròn kính , () là tâm đường tròn đường kính Chứng mình:
a) Điểm thuộc đường tròn điểm thuộc đường tròn ;
b) Hai đường tròn và tiếp xúc ngoài;
c) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó;
d) ;
e) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và ;
f) Diện tích của tứ giác bằng nửa diện tích của tam giác 
Lời giải
a) nên thuộc đường tròn đường kính .
b) Tương tự, thuộc đường tròn đường kính .
c) nên () và () tiếp xúc ngoài.
d) nên là tiếp tuyến chung của () và ().
e) là hình chữ nhật nên .
Ta có do đó cân tại .
.
Ta lại có là hình chữ nhật nên .
Mà tại .
Từ đó ta có là tiếp tuyến của đường tròn ().
Chứng minh tương tự ta cũng có là tiếp tuyến của đường tròn ().
Vậy là tiếp tuyến chung của hai đường tròn () và ().
f) .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Kẻ các đường kính , Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, và . Gọi là giao điểm của và 
a) Tính số đo của 
b) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Lời giải
a) Từ kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt tại .
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau .
Từ đó suy ra vuông tại 
.
b) Ta có
 (AB là đường kính của đường tròn (O));
 (AC là đường kính của đường tròn (O’)).
Do đó tứ giác là hình chữ nhật vì có góc vuông.
c) Ta có tứ giác là hình chữ nhật nên ba điểm , , thẳng hàng, suy ra là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 
Bài 5. Cho hai đường tròn đồng tâm . Dây của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở và . Chứng minh .
Lời giải
Kẻ . Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung ta có
.
--- HẾT ---