Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chương I, Chủ đề 1: Một số kỹ thuật biến đổi tương đương (Có đáp án)

 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa
 Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó
+ A B; A B; A B; A B được gọi là các bất đẳng thức.
+ Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau 
 A B 0; A B 0; A B 0; A B 0
+ Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai. 
 Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức 
đúng.
II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
+ Tính chất giao hoán
 Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có A B B A
+ Tính chất bắc cầu
 Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có A B, B C A C 
+ Tính chất liên hệ với phép cộng 
 - Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có 
 A B A M B M 
 - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có 
 A B; C D A C B D
 A B; C D A D B C
+ Tính chất liên hệ với phép nhân
 - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có 
 A B; M 0 A.M B.M
 A B; M 0 A.M B.M
 - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có 
 0 A B
 0 A.C B.D
 0 C D
+ Tính chất liên hệ với lũy thừa
 - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có 
 A B 0 A n Bn 0, với n là số thực dương. 
 A B A n Bn , với n là số tự nhiên lẻ.
 A B A n Bn 0, với n là số tự nhiên chẵn.
 m n 0; A 1 A m A n 
 m n 0; 0 A 1 A m A n 
+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo
 1 1
 - Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có A B 
 A B
III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ
 + A 2 0 với  A + A 2k 0 với  A và k là số tự nhiên 
+ A 0 với A 
+ A B A B 
+ A B A B Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nội dung cơ bản của chương I gồm:
 Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
 Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên.
 Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được 
trình bày cụ thể.
 Giới thiệu một số bài tập tự luyện. 
 Chủ đề 1
 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Kiến thức cần nhớ 
 Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A B . Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương 
đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau:
 + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A B A B 0
 + Dạng tổng bình phương: A B mX 2 nY 2 kZ2 0, với các số m, n, k dương.
 + Dạng tích hai thừa số cùng dấu: 
 A B X.Y 0 hoặc A B X 2n.Y 0
 + Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z [a,b] thì ta nghĩ ngay tới 
một trong các bất đẳng thức đúng sau đây
 x a x b 0; x a y a z a 0; x b y b z b 0
Một số đẳng thức cần nhớ 
 2 2
 2 a b a b 
 + a b a2 2ab b2; a2 b2 
 2 2
 2
 + a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 + a b b c c a a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 2abc 
 + a b c ab bc ca a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3abc
 + a b b c c a abc a b c ab bc ca 
 + a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1
 + a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1
 + a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 
 3
 + a b c a3 b3 c3 3 a b b c c a 
 + a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2
Một số bất đẳng thức cơ bản
 2
 + a2 b2 2ab; 2 a2 b2 a b 4ab 2
 3 a b 
 + a2 b2 ab 
 4
 + a2 b2 c2 ab bc ca
 2
 + 3 a2 b2 c2 a b c 3 ab bc ca 
 2
 + 3 a4 b4 c4 ab bc ca 3abc a b c 
 + Bất đẳng thức tam giác
 b c a b c a b c 0
 c a b c a b c a 0
 a b c a b c a b 0
 Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương
 + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức.
 + Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức.
 + Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức. 
 + Kỹ thuật đặt biến phụ.
 + Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.
 + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến.
2. Một số ví dụ minh họa
 Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
 a) a2 b2 c2 ab bc ca
 b) a2 b2 c2 3 2 a b c 
Phân tích: Các bất đẳng thức trên khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi 
phân tích thành tổng các bình phương.
Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2
 a2 b2 c2 ab bc ca 
 2
 2 2 2
 a b b c c a 
 0
 2
Suy ra a2 b2 c2 ab bc ca 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c
b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 a2 b2 c2 3 2 a b c a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1
 2 2 2
 a 1 b 1 c 1 0
Suy ra a2 b2 c2 3 2 a b c 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 2
a2 b2 c2 a b c 
 3 3 
Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải 
rồi phân tích thành tổng các bình phương.
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 2
 2 2 2 2
 a2 b2 c2 a b c 3 a b c a b c 
a 
 3 3 9
 2 2 2
 a b b c c a 
 9
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 Suy ra 
 3 3 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất 
 2 2 2
hiện các đại lượng a b ; b c ; c a với điều kiện dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c . Do đó 
trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí.
Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 
a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải 
bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Để được các tích 
ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên 
ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau 
 a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 
 2 2 2 2
 a kb a kc a kd a ke 0
 Trong trường hợp trên ta có thể chọn k 2, tức là ta phải nhân hai vế với 4.
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 
a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 
 4 a2 b2 c2 d2 e2 4 ab ac ad ae 
 4
 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d2 a2 4ae 4e2 
 4
 2 2 2 2
 a 2b a 2c a 2d a 2e 
 0
 4
 Suy ra a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2b 2c 2d 2e. Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam 
thức bậc hai để chứng minh. 
Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c 1. Chứng minh rẳng: 
 1 1 2 1 1 1 3
a) b) 
 1 a2 1 b2 1 ab 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc
Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng 
thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương. Chú ý đến giả thiết 
a, b 1 ab 1 0.
Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 1 1 2 1 1 1 1
1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab
 2
 a b ab 1 
 0
 a2 1 b2 1 ab 1 
 1 1 2
 Suy ra 
 1 a2 1 b2 1 ab
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 1.
b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. 
 1 1 1 3 1 1 1 1 4
1 a3 1 b3 1 c3 1 abc 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc 1 abc
Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được 
 1 1 1 1 2 2
 3 3 3
1 a 1 b 1 c 1 abc 1 a3b3 1 abc4
 4 4
 3 3 4 1 abc
 1 a b abc
 1 1 1 3
 Suy ra 
 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3 b3 a b . Chứng minh rẳng: 
a2 b2 ab 1
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2 b2 ab . Trong khi đó giả 
thiết lại xuất hiện biểu thức a b . Vậy mối liên hệ của hai biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được 
hằng đẳng thức a b a2 b2 ab a3 b3 . Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết 
với biểu thức a2 b2 ab để làm xuất hiện a3 b3 và a2 b2 ab , khi đó ta được 
 a3 b3 a3 b3
a2 ab b2 . Tới đây chỉ cần chứng minh 1 là xong.
 a3 b3 a3 b3
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta được a3 b3 a b a3 b3 a2 ab b2 a b a2 ab b2 
 a3 b3
 a3 b3 a2 ab b2 a3 b3 a2 ab b2 
 3 3
 a b
Ta cần chứng minh được
a3 b3
 1 a3 b3 a3 b3 0 2b3 0 b
a3 b3
Do b 0 hiển nhiên đúng. Nên bất đẳng thức được chứng minh. 
Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b . Chứng minh rằng: 
 a2 b2 2ab b2 a
Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa các bình phương, lại có 
thêm điều kiện a b 0, nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 2
 a2 b2 2ab b2 a2
 a2 b2 2 a2 b2 . 2ab b2 2ab b2 a2
 2b a b 2 a2 b2 . 2ab b2 0
Vì a b 0 nên b a b 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Ví dụ 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 
a4 b4 c4 abc a b c 
Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy thừa bậc chẵn. Để ý ta 
thấy abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức 
thành tổng của các bình phương.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 a4 b4 c4 a2bc b2ac c2ab 0 2a4 2b4 2c4 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0
 2 2 2
 a2 b2 2a2b2 b2 c2 2b2c2 c2 a2 2a2c2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0
 2 2 2 2 2 2
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc bc ac ab ac 0
 Suy ra a4 b4 c4 abc a b c 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c
Ví dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: 
 a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4 
Phân tích: Để ý ta thấy a10.a2 a8.a4, b10.b2 b8.b4 , do đó ta biến đổi tương đương để thu gọn và 
chứng minh bất đẳng thức. 
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4
 a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12
 a8b2 a2 b2 a2b8 b2 a2 0 a2b2 a2 b2 a6 b6 0
 2
 a2b2 a2 b2 a4 a2b2 b4 0
Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0 . Chứng minh rằng: 
ab 2bc 3ca 0
Phân tích: Từ giả thiết a b c 0 ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn c a b , 
thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được 3a2 4ab 2b2 là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện 
các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng 
thức.
Lời giải
Theo giả thiết thì c a b , nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với 
 ab c 2a 3a 0 ab a b 2b 3a 0
 2
 ab 2ab 3a2 2b2 3ab 0 3a2 4ab 2b2 0 a2 2 a b 0
Từ đó ta có điều phải chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 0.
 2
 a 5 a 1 11
Ví dụ 10. Chứng minh với các số thực a dương, ta có: 
 a2 1 2a 2
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường ta sử dụng phương 
pháp biến đổi tương đương để chứng minh. Để ý thêm nữa ta thấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng 
 2
a2 1 và 2a làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức a 1 , lại thấy đẳng thức xẩy ra khi a 1 nên suy 
 2
nghĩ rất tự nhiên là biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng a 1 xem có thể 
 2
 a 1 5 a 1 11 1
chứng minh bài toán được không. Với a 1 khi đó ta có ; 5 và 5 nên 
 a2 1 2 2a 2 2
ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức.
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức
 2 2
 a 5 a 1 11 a 1 5 a 1 
 5 0
 a2 1 2a 2 a2 1 2 2a
 2 2 2
 a 1 5 a 1 a 1 5 1 
 0 0
 2 
 2 a2 1 2a 2 a a 1 
 2
 2 2 2
 a 1 5a2 a 5 a 1 a 1 9 a 1 
 . 0 . 0
 2 a a2 1 2 2 a2 1 
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 
a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 a b c
 ab bc ca 
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy những đặc điểm sau: 
 + Hai vế của bất đẳng thức cùng có bậc một.
 + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến một bất bất đẳng thức khá hay dùng 
x3 y3 xy x y . 
Lời giải
 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x3 y3 xy x y với x, y là các số dương
Thật vậy 
 2
x3 y3 xy x y x y x2 y2 xy xy x y x y 0
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 
a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab a b bc b c ca c a 
 2 a b c
 ab bc ca ab bc ca 
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 Suy ra 2 a b c
 ab bc ca 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c.
Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có 
 2x 1 . x2 x 1 2x 1 . x2 x 1
Phân tích: Bất đẳng thức chỉ chứa một biến và có chứa căn bậc hai. Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác 
định của các căn thức
 2 2
 2 1 3 2 1 3
x x 1 x 0 và x x 1 x 0
 2 4 2 4
Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x.
 Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng x thì vế trái của bất đẳng thức trở là 
 2x 1 . x2 x 1 và vế phải của bất đẳng thức là 2x 1 . x2 x 1 , khi đó nếu nhân hai vế với 
 1 thì được 2x 1 . x2 x 1 2x 1 . x2 x 1 , tức là bất đẳng thức không thay đổi gì cả. 
Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp x không âm là được. 
 1
 Với 0 x , ta thấy vế trái luôn dương và vế phải nhỏ hơn hoặc bằng không nên ta có thể 
 2
 1 1
chia nhỏ các trường hợp 0 x và x để chứng minh bất đẳng thức.
 2 2
Lời giải
 2 2
 2 1 3 2 1 3
Vì x x 1 x 0 và x x 1 x 0
 2 4 2 4
Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x.
Nếu x 0, ta đặt x t, t 0 khi đó bất đẳng thức trở thành. 2t 1 t 2 t 1 2t 1 t 2 t 1
 2t 1 t 2 t 1 2t 1 t 2 t 1
 Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng hơn lúc này ta lại có 
t 0. Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài toán trong trường hợp x 0 là đủ. Lúc này 
có hai khả năng xảy ra :
 1
+ Nếu 0 x thì 2x 1 . x2 x 1 0; 2x 1 . x2 x 1 0 
 2 
 suy ra 2x 1 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 . Nên bất đẳng thức đúng.
 1
+ Nếu x thì hai vế cùng dương, nên bình phương hai vế ta được
 2
 2 2
 2x 1 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 
 4x4 x2 3x 1 4x4 x2 3x 1 x 0
 1
 Mà x nên bất đẳng thức cuối cùng đúng.
 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 13. Cho các số thực a,b,c [0, 1]. Chứng minh rằng: 
 a4 b3 c2 ab bc ac 1
Phân tích: Từ giả thiết a,b,c [0, 1] ta được 0 a,b,c 1, khi đó theo tính chất của lũy thừa ta được 
a a4; b b3; c c2 . Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được thay bằng đại lượng 
a b c ab bc ca . Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] và biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích 
 1 a 1 b 1 c 0 . Do đó ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức 
trên.
Lời giải
Theo giả thiết a,b,c [0, 1] ta có
 1 a 1 b 1 c 0
 1 a b c ab bc ac abc 0
 1 a b c ab bc ac abc
Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] nên abc 0và a a4; b b3; c c2 .
Do đó ta suy ra 1 a b c ab bc ac a4 b3 c2 ab bc ac
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 hoặc 
a 1; b c 0 và các hoán vị. 
 a2 b2 a b
Ví dụ 14. Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có: 
 b2 a2 b a