Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 8: Hàm số

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 8: Hàm số:
1. Hàm số bậc nhất
A. Bài toán 
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : y m 2 x m 1 và 
 d ' : x m 2 y m 2 trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng 
nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi.
Bài 2: Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên được nhiều công ty mời về làm việc, trong 
đó có hai công ty A và B. Để thu hút người tài, cả hai công ty đưa ra hình thức trả lương 
trong thời gian thử việc như sau:
 Công ty A: Anh Bình được nhận 1400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi 
tháng sẽ được trả lương 1700USD.
 Công ty B: Anh Bình được nhận 2400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi 
tháng sẽ được trả lương 1500USD.
 Em hãy tư vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc sao cho tổng số tiền nhận 
được là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 tháng đến 8 tháng.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 
 1 3
 y x và y x .
 2 2
 a) Vẽ đồ thị (D) và (L).
(D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông
Bài 4:Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 
(m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M (x;y) 
sao cho y2 - 5y x + 6x = 0.
Bài 6: Cho hàm số y = ax+b (a khác 0) có đồ thi là (d) . Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) 
đi qua điểm A(1;2) và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C có 
tung độ dương và thỏa mãn OB OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)
Bài 7: Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị (D)
 a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình
Bài 8: Cho hàm số y x2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng có phương trình y x m cắt 
 4 4
đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) thoả mãn: (x2 x1) (y2 y1) 18 .
Bài 9: (1,5 điểm)
 Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số)
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua 1 điểm H cố định. 
 Tìm tọa độ của điểm H
 b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất.
Bài 10: a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các 
đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai 
đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B 
có hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục 
hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức 
liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 1 1
 Q .
 OM 2 ON 2
B. Lời giải 
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : y m 2 x m 1 và 
 d ' : x m 2 y m 2 trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng 
nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi.
 Lời giải 
 Nhận xét A 1;3 d ; B 0;1 d ' 
 • Với m 2 thì : d : y 3 và d ' : x 0 vuông góc với nhau
 1
 • Với m 2 thì : d ' : y x 1 
 m 2
 1 
 Khi đó ta có a.a ' m 2 1 d  d ' 
 m 2 
 Vậy d  d ' với mọi m
 Vậy giao điểm của hai đường thẳng nói trên nhìn đoạn AB cố định dưới 
một góc vuông nên thuộc đường tròn đường kính AB khi m thay đổi.
Bài 2: Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên được nhiều công ty mời về làm việc, trong 
đó có hai công ty A và B. Để thu hút người tài, cả hai công ty đưa ra hình thức trả lương 
trong thời gian thử việc như sau:
 Công ty A: Anh Bình được nhận 1400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi 
tháng sẽ được trả lương 1700USD. Công ty B: Anh Bình được nhận 2400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi 
tháng sẽ được trả lương 1500USD.
 Em hãy tư vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc sao cho tổng số tiền nhận 
được là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 tháng đến 8 tháng.
 Lời giải
Gọi x (tháng) là số tháng thử việc của anh Bình. (x N * , 3 x 8).
Gọi y (USD) là số tiền anh Bình nhận được sau x tháng thử việc.
Theo công ty A thì số tiền anh Bình nhận được: y = 1400 + 1700x (d1 )
Theo công ty B thì số tiền anh Bình nhận được: y = 2400 + 1500x (d2 )
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d1 ) và (d1 ):
1400 + 1700x = 2400 + 1500x x = 5 y = 9900
Xét đồ thị biễu diễn hai hàm (d1 ) và (d2 ) như sau:
Căn cứ vào đồ thị, ta có thể tư vấn cho anh Bình như sau:
+Nếu thử việc từ 3 đến dưới 5 tháng thì anh Bình nên chọn công ty B sẽ thu được tiền nhiều 
hơn.
+Nếu thử việc từ hơn 5 tháng thì anh Bình nên chọn công ty A sẽ thu được tiền nhiều hơn.
+Nếu thử việc đúng 5 tháng thì anh Bình chọn công ty nào cũng sẽ thu được tiền như nhau. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 
 1 3
 y x và y x .
 2 2
 a) Vẽ đồ thị (D) và (L).
(D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông
Giải:
 3
 1 3 x 0 y 
a)Đồ thị y x có : 2
 2 2
 y 0 x 3
 x khi x 0
Đồ thị y x 
 x khi x 0
Đồ thị như hình vẽ:
 y
 N
 3
 (L)
 (D)
 3/2
 M
 1
 - 3 O 1 3 x
b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)
Ta có: OM = 12 12 2 OM2 = 2
 ON = 32 ( 3)2 3 2 ON2 = 18
 MN = (1 3)2 (1 3)2 20 MN2 = 20
Vì: OM2 + ON2 = MN2 
Vậy: tam giác OMN vuông tại O
Bài4:Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 
 m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường 
thẳng (d) là lớn nhất.
Giải:
Xét pt: m 4 x m 3 y 1
Ta thấy: m 4 .0 m 3 .0 0 1 nên (d) không thể đi qua O(0;0)
+ m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y 1 + m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x 1 1 
 1 1 
+ m 3;m 4 thì (d) cắt Ox tại A ,0 và cắt Oy tại B 0, 
 m 4 m 3 
 Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH. 
 Dựa vào ΔOAB vuông tại O chỉ ra được 
 2
 1 2 2 7 1 1
 2 (m 4) (m 3) 2 m 
 OH 2 2 2
Suy ra được: OH 2
 7
Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH = 2 khi m = 
 2
Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M (x;y) 
sao cho y2 - 5y x + 6x = 0.
Giải:
 é
 êy = 2 x
Ta có y2 - 5y x + 6x = 0 Û ê
 êy = 3 x
 EMBED Equation.DSMT4 ë
 2
Với y = 2 x Þ 2x + 1 = 2 x Û x + ( x - 1) = 0 , không có 
 EMBED Equation.DSMT4 
EMBED Equation.DSMT4 x thỏa mãn.
 é é
 ê x = 1 êx = 1
Với y = 3 x Þ 2x + 1 = 3 x Û ê Û ê
 ê 1 ê 1
 ê x = êx =
 EMBED Equation.DSMT4 ë 2 ë 4
Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là M 1;3 hoặc 
 EMBED Equation.DSMT4 ( )
 EMBED 
 æ1 3ö
 M ç ; ÷.
 ç4 2÷
Equation.DSMT4 è ø
Bài 6: Cho hàm số y = ax+b (a khác 0) có đồ thi là (d) . Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) 
đi qua điểm A(1;2) và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C có 
tung độ dương và thỏa mãn OB OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)
 Lời giải
Do (d) đi qua điểm A(1;2) nên (d) có dạng y ax 2 a 
 a 2 
Có (d) cắt trục Ox tại B ;0 và cắt trục Oy tại C 0;2 a 
 a 
Vì điểm B có hoành độ dương và C có tung độ dương nên a <0
 a 2 2 2 2
Khi đó ta có OB OC 2 a 1 2 a 3 ( a) 3 2 .( a) 5 
 a a a a
Suy ra OB + OC nhỏ nhất khi và chỉ khi a 2 Vậy phương trình (d) có dạng: y 2x 2 2 
Bài 7: Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị (D)
 a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm
 c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x
 Lời giải
 2 x 8nÕux 3
a) y 2 x 6x 9 x 2 2 x 3 x 2 
 3x 4 nÕux 3
 Học sinh tự vẽ đồ thị.
b) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị sau:
(D) y 2 x2 6x 9 x 2 (1)
(D’): y=m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ m. Căn cứ vào 
đồ thị , ta có phương trình (*) vô nghiệm
(D) và (D’) không giao nhau m 5 
Vậy m 5thì pt (*) vô nghiệm
c) Dựa vào đồ thị đã vẽ ở câu a, ta có nghiệm của (1) là tập hợp hoành độ của các điểm (D) có tung 
 x 6
độ y 2 , nên 
 x 2
Vậy tập nghiệm của (1) là x 6 hoặc x 2
Bài 8: Cho hàm số y x2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng có phương trình y x m cắt 
 4 4
đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) thoả mãn: (x2 x1) (y2 y1) 18 .
Giải: 
Xét pt hoành độ giao điểm:
 x2 x m
 x2 x m 0 (1)
Đường thẳng cắt đths đã cho tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi pt(1) có hai nghiệm phân 
biệt.
+ Điều kiện: 1 4m 0
 1
 m .
 4
+ Khi đó A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) 
+ Theo định lí Viet x1 x2 1, x1x2 m . Ta có y1 x1 m, y2 x2 m
 4 4 4 2 2
+ (x1 x2 ) (y1 y2 ) 18 (x1 x2 ) 9 [(x1 x2 ) 4x1x2 ] 9 
 m 1 (kot / m)
+ Tìm được 1
 m (t / m)
 2
KL:
Bài 9: (1,5 điểm) Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số)
 c) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua 1 điểm H cố định. 
 Tìm tọa độ của điểm H
 d) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất.
Giải: 
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng dm luôn đi qua 1 điểm H cố định. 
 Tìm tọa độ của điểm H.
 Gọi H (x0 ; y0 ) là điểm cố định luôn đi qua dm với mọi m.
 H (x0 ; y0 ) dm với mọi m
 Ta có: y0 mx0 2m 1 y0 1 x0 2 m
 x0 2 0 x0 2
 . Vậy H ( 2; 1)
 y0 1 0 y0 1
 b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm
 m 2 2m 1 3 m 1
 h A,d 3 2
 m m2 1 m2 1
 m 1
 Do ( m 1 2 2 m2 1 2 )
 m2 1
 Dấu “ = ” xảy ra khi m 1
 Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất là 3 2 khi m 1
Bài 1: a) Cho các hàm số bậc nhất: EMBED Equation.DSMT4 y 0,5x 3 , EMBED 
Equation.DSMT4 y 6 x và EMBED Equation.DSMT4 y mx có đồ thị lần lượt là các đường 
thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai đường 
thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có 
hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục 
hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định EMBED 
Equation.DSMT4 I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy 
 1 1 .
ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 2 2
 EMBED Equation.DSMT4 OM ON
 Lời giải
 a) Điều kiện để ( m) là đồ thị hàm số bậc nhất là EMBED Equation.DSMT4 m 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và ( m) là:
 EMBED Equation.DSMT4 0,5x 3 mx EMBED Equation.DSMT4 (m 0,5)x 3 Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là EMBED Equation.DSMT4 
 m 0,5 0 hay m 0,5 Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và ( m) là:
 EMBED Equation.DSMT4 6 x mx EMBED Equation.DSMT4 (m 1)x 6
Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là EMBED Equation.DSMT4 
 m 1 0 hay m 1Vậy điều kiện cần tìm là: EMBED Equation.DSMT4 1 m 0,5; m 0
 b) Đặt m = xM và n = yN mn 0 và m 1 (*)
Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 
 EMBED Equation.DSMT4 
 0 am b
 2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là EMBED Equation.DSMT4 2m n mn
 n b
 1 2
Chia hai vế cho mn 0 ta được: 1 (**)
 EMBED Equation.DSMT4 m n
 2 2
 1 2 1 4 4 1 1 2 1 
 1 2 2 5 2 2 
 EMBED Equation.DSMT4 m n m n mn m n m n 
 1 1 1
 Q 2 2 ; dấu “=” xảy ra khi 
 EMBED Equation.DSMT4 m n 5 EMBED Equation.DSMT4 
 2 1
 ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*))
 m n
 Lời giải 
2. Hàm số bậc hai
A. Bài toán
 1
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol P : y x2 .
 2
 a) Vẽ đồ thị P .
 b) Trên P lấy điểm A có hoành độ xA 2 . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho 
 MA MB đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B 1;1 .
 2
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): EMBED Equation.DSMT4 y x 
và hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành 
độ là m EMBED Equation.DSMT4 1 m 3 . Tìm m để tam giác ABM có diện 
tích lớn nhất. 2
Bài 3: Cho parabol P : y ax . Tìm điều kiện của a để trên P có A x0 ; y0 với hoành độ 
 2
dương thỏa mãn điều kiện x0 1 y0 4 x0 y0 3
B. Lời giải
 1
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol P : y x2 .
 2
 a) Vẽ đồ thị P .
 b) Trên P lấy điểm A có hoành độ xA 2 . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho 
 MA MB đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B 1;1 .
 Lời giải
 a) Bảng giá trị
 x 4 2 0 2 4
 1
 y x2 8 2 0 2 8
 2
 b) Vì A P có hoành độ xA 2 nên yA 2 A 2;2 
 Lấy M xM ;0 bất kì thuộc Ox , ta có: MA MB AB
 Dấu “ =” xảy ra khi 3 điểm A , B , M thẳng hàng khi đó M là giao điểm của đường thẳng 
 AB và trục Ox .
 Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng: y ax b
 Do A , B thuộc đường thẳng AB nên ta có:
 1
 a 
 2a b 2 3
 a b 1 4
 b 
 3 1 4
 Phương trình đường thẳng AB là: y x 
 3 3
 Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và Ox là:
 1 4
 x 0 x 4
 3 3
 M 4;0 
 2
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): EMBED Equation.DSMT4 y x 
và hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành 
độ là m EMBED Equation.DSMT4 1 m 3 . Tìm m để tam giác ABM có diện 
tích lớn nhất.
Giải:
 1
 S AA' BB' .A'B'
 ABB'A' 2
 1
 1 9 .4 20
 EMBED Equation.DSMT4 2
 1
 S AA' MM' .A'M'
 AMM'A' 2
 1
 1 m2 m 1 
 EMBED Equation.DSMT4 2
 1
 S MM' BB' .B'M'
 MBB'M' 2
 1
 m2 9 3 m 
 EMBED Equation.DSMT4 2
 SABM SABB'A' SAMM'A' SMBB'M'
 8 2 m 1 2
 EMBED Equation.DSMT4 
Ta có: S 8 2 m 1 2 8 vaø S 8 m 1 
 EMBED Equation.DSMT4 ABM ABM
Suy ra SABM lớn nhất bằng 8 EMBED Equation.DSMT4 m = 1
 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
 2
Bài 3: Cho parabol P : y ax . Tìm điều kiện của a để trên P có A x0 ; y0 với hoành độ 
dương thỏa mãn điều kiện x2 1 y 4 x y 3
 0 0 0 0 .
Giải:
 2 2
 Ta có x0 1 y0 4 x0 y0 3 x0 1 x0 y0 4 y0 3 . 
 1 1
 .
 2 y 4 y 3
 x0 1 x0 0 0