Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 9: Hình học

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 9: Hình học:
1. Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau, trung điểm
A. Bài toán (giữ nguyên màu)
Bài 1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm , trên dây cung lấy điểm sao cho , 
nối cắt cung nhỏ tại . Trên cung nhỏ lấy điểm sao cho cung nhỏ bằng cung nhỏ , nối cắt 
dây cung tại . Chứng minh rằng: là trung điểm của .
Bài 2: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại , . Kẻ dây của đường tròn tiếp xúc với và dây 
 của đường tròn tiếp xúc với . Đường tròn ngoại tiếp cắt đường thẳng tại . Chứng 
 minh rằng .
Bài 3: Cho cân tại , đường vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Dựng vuông góc với . 
 Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng .
Bài 4: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường 
tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là 
giao điểm của OM và AB.
a. Chứng minh: 
b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường 
tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E 
là giao điểm của AM và OK.
 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. 
 Chứng minh: IN = IO.
 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: 
 EF//AB.
Bài 6: Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB . Tia phân giác của cắt AB 
tại C. Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự ở D, H. 
Chứng minh CA = CH.
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường 
cao kẻ từ C, B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H 
là trực tâm tam giác ABC.
 a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD.
 b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L 
đối xứng nhau qua AB. Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm 
E, F sao cho EC là phân giác góc BEF . Trên tia AB lấy K sao cho BK=DF. Chứng minh rằng 
CK = CF.
Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, 
lấy N trên tia DE sao cho . Chứng minh MA là tia phân giác của góc 
Bài 10: Cho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và 
đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp 
điểm của với , là điểm chính giữa cung B¼AC của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và 
là điểm đối xứng với qua O. Chứng minh .
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm 
A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O 
không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M 
và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại 
điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q).
 Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng 
MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME
B. Lời giải (giữ nguyên màu)
Bài 1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm , trên dây cung lấy điểm sao cho , 
nối cắt cung nhỏ tại . Trên cung nhỏ lấy điểm sao cho cung nhỏ bằng cung nhỏ , nối cắt 
dây cung tại . Chứng minh rằng: là trung điểm của .
 Lời giải
 Gọi là giao điểm và : 
 Kẻ vuông góc với (g.g)
 Xét 
 .
 (g.c.g)
 đpcm
Bài 2: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại , . Kẻ dây của đường tròn tiếp xúc với và dây 
 của đường tròn tiếp xúc với . Đường tròn ngoại tiếp cắt đường thẳng tại . Chứng 
 minh rằng .
 Lời giải
 M
 O'
 H
 K
 O
 N
 I
 B
 A
 P
 Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 Gọi theo thứ tự là giao điểm của với và 
 và 
 Ta có: , 
 là đường trung trực của .
 (cùng vuông góc với )
 Tương tự: là hình bình hành
 là trung điểm của là đường trung bình của 
 hay 
 Mà 
 hay 
Bài 3: Cho cân tại , đường vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Dựng vuông góc với . 
 Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng .
 Lời giải
 Ta có: cân tại ; 
 vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
 Xét tứ giác , ta có:
 tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính 
 Mà ( là đường phân giác, cân tại )
 (cùng phụ với )
 cân tại 
Bài 4: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường 
tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là 
giao điểm của OM và AB.
a. Chứng minh: 
b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất.
Giải: A
 Q
 P
 M
 O H
 B
a) MPA đồng dạng MAQ (g.g), suy ra MA2 = MP.MQ (1)
MAO vuông tại A, có đường cao AH nên MA2 = MH.MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra MP.MQ = MH.MO hay (*)
MPH và MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy ra MPH đồng dạng MOQ (c.g.c) suy 
ra 
Do đó tứ giác PQOH là tứ giác nội tiếp= (đpcm)
b)
 O'
 F
 E
 A B
b) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EB = EF hay EBF cân tại E, suy ra . Đặt khi đó 
nên F di chuyển trên cung chứa góc dựng trên BC.
Ta có: . Như vậy nhỏ nhất khi EA + EB lớn nhất hay EA + EF lớn nhấtAF lớn nhất (**)
Gọi O’ là điểm chính giữa của cung lớn AB, suy ra O’AB cân tại O’ suy ra O’A=O’B (3)
O’EB và O’EF có EB = EF, O’E chung và (cùng bù với O’EB =O’EF (c.g.c) suy ra O’B = O’F 
(4)
Từ (3) và (4) suy ra O’ là tâm cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC. (cung đó và cung lớn 
AB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)
Do đó AF lớn nhất khi nó là đường kính của (O’) khi EO’ (***). 
Từ (**) và (***) suy ra E là điểm chính giữa cung lớn AB thì có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường 
tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E 
là giao điểm của AM và OK.
 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO.
 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: 
 EF//AB.
Giải:
 K N
 M
 I
 E F
 A B
 O H
a) Chứng minh được OK AM tại E
Dựa vào OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK = OA2 = R2 không đổi
b) Chứng minh được: OK // BN (AM)
 Chứng minh được:AOK = OBN (g.c.g) OK = BN
Suy được OBNK là hình bình hành từ đó suy được: IN = IO
c) Chứng minh được AOK đồng dạng HBM 
 (1)
Chỉ ra được MB2 = HB.AB và OA2 = OE.OK (cma) (2) 
 Từ (1) và (2) suy được (3)
Chứng minh được (4)
Từ (3) và (4) suy ra EF // OB //AB (đl Ta let)
Bài 6: Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB . Tia phân giác của cắt AB 
tại C. Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự ở D, H. 
Chứng minh CA = CH.
 Lời giải D F
 M
 E H
 I
 A B
 C O
Do MC là phân giác của , theo tính chất đường phân giác 
Xét và có , góc B là góc chung
 ∽ 
Từ (1) và (2) 
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường 
cao kẻ từ C, B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H 
là trực tâm tam giác ABC.
 a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD.
 b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L 
đối xứng nhau qua AB.
 Lời giải T
 A
 F
 L H O
 E
 C
 K M
 B
 D
a) nên CE // DB
 nên DC // BF
Tứ giác ABDC là hình bình hành, M là trung điểm BC nên M là trung điểm DH.
b) 
 (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung)
 đồng dạng (K là giao điểm của AH và BC)
Từ (1) và (2) suy ra AE là phân giác (b)
Từ (a) và (b) suy ra E là trung điểm HL. Vậy H, L đối xứng qua AB.
Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm 
E, F sao cho EC là phân giác góc BEF . Trên tia AB lấy K sao cho BK=DF. Chứng minh rằng 
CK = CF.
 Lời giải A E B K
 H
 F
 D C
Ta có: CD = CB, DF = BK, nên 
Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, 
lấy N trên tia DE sao cho . Chứng minh MA là tia phân giác của góc 
Giải: A
Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K
Tứ giác AEDB nội tiếp N
 F
Mà: (vì MK // BC). E
 H
Do đó: Tứ giác AMKN nội tiếp
 M K
 1 2
Ta có: (= ) 3 4
 B D C
DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D
 DM = DK
AMD = AKD (c.g.c) 
Nên: . Ta có: 
Vậy: MA là phân giác của góc 
Bài 10: Cho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và 
đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp điểm của với , là điểm chính giữa cung B¼AC của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và 
là điểm đối xứng với qua O. Chứng minh .
Giải:
Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.
Xét hai tam giác có: 
đồng dạng với . 
Suy ra mà: , nên 
Ta có: 
 nên suy rađồng dạng với (1).
DoNIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP nên 
 (2)
Từ (1) và (2) ta có 
 P
 A
 F
 O
 I
 B D
 M C
 K N
 Ia
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm 
A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O 
không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M