Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 8

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
 Cõu 1:(CHỌN HSG TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 Cho biểu thức P : với
 1 x x 1 x 1 x x 
 1
 x 0, x 1, x 
 4
 4
 Tớnh giỏ trị của P tại x 3 5 3 5
 10 
 Lời giải
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 Ta cú P : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 
 P : 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 
 2 x 1 1 x 
 : 2 x 1 
 x 1 x 1 x x x 1 
 2 x 1 2 x 1
 : 
 x 1 x 1 x x x 1 
 x x 1
 x
 Lại cú :
 4
 x 3 5 3 5
 10 
 5 1 5 1 4
 . 4
 2 10
 4 4 1 3
 Vậy P 
 4 2
 Cõu 2:(ĐỀ THI CHỌN HSG BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
 x 2 x 4 x 2 x 1 3 x 5 2 x 10 
 Cho biểu thức M : . 
 x x 8 x 1 x 2 x 6 x 5 
 Rỳt gọn M và tỡm x để M 1.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 0; x 1, x 3, x 4 .
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 *
 x 2 x 4 ( x 1)2 3 x 5 2 x 5 
M : 
 x 2 x 2 x 4 x 1 x 1 x 2 x 1 x 5 
 1 x 1 3 x 5 2 
 : 
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 1 x 2 (3 x 5)( x 1) 2( x 2)
 :
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 x 1 x 2 x x 2 3x 3 x 5 x 5 2 x 4
 : 
 x 2 x 11 x 2 x 1 
 x 3 3x 9 x 3 x 2 x 1 
 : 
 x 2 x 11 x 2 x 1 x 2 x 1 3(x 3)
 x 1
 3 x 1 
 x 1 x 1 4 2 x 2 x
* M 1 1 1 0 0 0
 3 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1
 x 2
 0 .
 x 1
 x 2 x 2 0 x 4
 Ta cú: x 2 x 1 nờn 0 khi 
 x 1 x 1 0 x 1
 1 x 4 .
 Kết hợp ĐKXĐ ta cú1 x 4 và x 3
 Vậy M 1 khi 1 x 4 và x 3 
 Cõu 3: (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018)
 x 2 x 1 x 2 x 1
Rỳt gọn biểu thức: P với x 2 .
 x 2 x 1 x 2 x 1
 Lời giải
 2 2 
 2. x 1 1 x 1 1
 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 
P 
 2 2
 2x 1 2 2x 1 1 2x 1 2 2x 1 1 2x 1 1 2x 1 1 
 2
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2. x 1 1 x 1 1 2.2 x 1
 2. x 1 .
 2x 1 1 2x 1 1 2
 Cõu 4: (CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017 – 2018)
 2 3 5 2 3 5 
 Rỳt gọn biểu thức: A .
 2 2 3 5 2 2 3 5
 Lời giải
 2 3 5 2 3 5 
 Ta cú: A 
 2 2 3 5 2 2 3 5
 2 2
 2 3 5 2 3 5 5 1 5 1 
A 
 2 2
 4 6 2 5 4 6 2 5 4 5 1 4 5 1 
 2 2
 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5
 2 .
 5 5 5 5 5 5 5
 Cõu 5: (ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019)
 2x 1 x x 4 
 Cho biểu thức: P x , với x 4; x 0 .
 x x 1 x x 1 x 2 
 a) Rỳt gọn biểu thức P .
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P x 1 0 
 Lời giải
 2x 1 x x 4 
 a. P x 
 x x 1 x x 1 x 2 
 2x 1 x x x 2 x 4
 P . 
 3 
 x 1 x x 1 x 2 x 2 
 2x 1 x x x 2x x 4 
 P 
 x 1 x x 1 x x 1 x 2 
 2x 1 x x 1 x x 2 x 4 
 P 
 x 1 x x 1 x 2 
 x x 1 x x 2 x 4 
 P 
 x 1 x x 1 x 2 
 1 x 2 x x 2 
 P .
 x 1 x 2
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 x 1 x 2 
P .
 1
 x 1 
P x 2
 x 2 0 x 4
b) P. x 1 0 x 2 x 1 0 
 x 1 0 x 1
Vậy với 1 x 4 thỡ P. x 1 0 .
Cõu 6: (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BèNH THUẬN _ NĂM HỌC 2017-2018)
 x2 x 3x 2 x 3(x 1) 
 Cho biểu thức: Q 25x : với x 1 và x 0 .
 x x 1 x x 1 
a) Rỳt gọn biểu thức Q .
b) Tỡm x để biểu thức Q nhận giỏ trị nguyờn.
 Lời giải
a) Với x 1 và x 0 , ta cú:
 x2 x 3x 2 x 3(x 1) 
Q 25x : 
 x x 1 x x 1 
 5 x : x x 1 3 x 2 3 x 1 
 5 x
 5 x : x x 3 x 2 3 x 3 5 x : x x 1 
 x x 1
b) Tỡm x để biểu thức Q nhận giỏ trị nguyờn.
Dễ thấy Q 0 .
Phương trỡnh sau cú nghiệm x 0, x 1.
 5 x
Q Q.x Q 5 . x Q 0 cú nghiệm x 0, x 1 .
 x x 1
 Q.y2 Q 5 .y Q 0 cú nghiệm y 0, y 1 .
 2 5
 Q 5 4Q2 3Q 5 Q 5 0 5 Q .
 3
 Q Z Q 1
Mà nờn .
 Q 0 Q 2
Với Q 1 tỡm được x 7 4 3 (Thỏa món).
Với Q 2 phương trỡnh vụ nghiệm.
Cõu 7: (ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018)
 x 3 2 x 4 x 4 2017
Rỳt gọn biểu thức P . Tỡm x sao cho P .
 x 3 x 2 2018
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
Ta cú:
 2
 x 3 2 x 4 x 4 x 3 2 x 2 x 3 2 x 2 
P 
 x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 
 2
 x 2 x 1 x 1 x 1
 .
 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2
 2017 x 1 2017
Mặt khỏc P x 2016 x 20162 .
 2018 x 2 2018
Cõu 8: (Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Lớp 9 CẤP HUYỆN Năm học 2010 – 
2011)
 Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
 2 5 24
a. (3 2 2 3)(3 2 2 3) b. 
 12
 sin2x cos2x
c. ( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13) d. + 1
 1+ cotgx 1+ tgx
 Lời giải
a. 
(3 2 2 3)(3 2 2 3) 9.2 4.3
 18 12 6
 2 5 24 2 3 2 3
b. 2
 12 2 3 2 3
 ( 12 2 14 2 13 12 2 11)( 11 13)
c. ( 12 2 13 2 12 2 11)( 11 13)
 ( 13 1 11 1)( 11 13)
 ( 13 11)( 13 11) 13 11 2
 sin2x cos2x sin3x cos3x
 + 1 1
 1+cotgx 1+tgx sinx +cosx sinx +cosx
d. 
 (sinx +cosx)(sin2x-sinxcosx +cos2x)
 1 1 sinxcosx-1= sinxcosx
 sinx +cosx
Cõu 9: (Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
 Năm học 2010 – 2011)
 2
 x - y x3 - y3 x - y + xy
Cho biểu thức P = ( + ) :
 x - y x - y x + y
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
a. Rỳt gọn P.
b. Tớnh giỏ trị của biểu thức P khi x = 5- 2 6 ; y = 5 + 2 6
c. Chứng minh: 0 P 1
 Lời giải
a. (ĐKXĐ: x ạ y; x > 0; y > 0 )
 2
 x - y x3 - y3 ( x - y) + xy
 P = ( + ) :
 x - y y - x x + y
 ộ ự
 ờ x + y + xy ỳ x + y - xy
 P = ờ x + y - ỳ:
 ởờ x + y ỷỳ x + y
 x + y + 2 xy - x - y - xy x + y
 P = .
 x + y x + y - xy
 xy x + y
 P = .
 x + y x + y - xy
 xy
 P =
 x + y - xy
 x = 5- 2 6 ( 3 2)2 x = 3 2
b. Với Thay vào biểu thức ta được:
 2
 y = 5 + 2 6 ( 3 2) x = 3 2
 ( 3 - 2)( 3 + 2)
P =
 3 - 2 + 3 + 2 - ( 3 - 2)( 3 + 2)
 1 2 3 + 1 2 3 + 1
P = = =
 2 3 -1 12- 1 11
c. 
 1 3
Với x > 0; y > 0 suy ra xy > 0 và x + y - xy = ( x - y)2 + y > 0
 2 4
ị P > 0
 2 xy
( x - y) > 0 ị x + y - xy > xy ị < 1
 x + y - xy
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
 Cõu 1: (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011-2012 )
 1 1 1
 a) Cho x 0, y 0, z 0 và 4 .
 x y z
 1 1 1
 Chứng minh rằng: 1
 2x y z x 2y z x y 2z
 b) Cho x 0, y 0, z 0 thỏa món x2011 y2011 z2011 3.
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2
 Lời giải
 1 1 4
 a) Áp dụng bất đẳng thức (với x, y 0 )
 x y x y
 1 1 1 1 1 1 1
 Ta cú: ; 
 2x y z 4 2x y z y z 4y 4z
 1 1 1 1 1 
 Suy ra: (1)
 2x y z 4 2x 4y 4z 
 1 1 1 1 1 
 Tương tự: (2)
 x 2y z 4 4x 2y 4z 
 1 1 1 1 1
 ( ) (3)
 x y 2z 4 4x 4y 2z
 1 1 1 1 1 1 1
 Từ (1),(2),(3) ( )
 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
 1 1 1
 1
 2x y z x 2y z x y 2z
 3
 Dấu "=" xảy ra x y z 
 4
 b) Áp dụng bất đẳng thức CụSy cho x2011, x2011 và 2009 số 1 ta cú:
 2011 2011 2011 2 2011
 x  x 1 1 ... 1 2011 (x )
 2009 C/S1
 2x2011 2009 2011x2 (1)
 Tương tự: 2y2011 2009 2011y2 (2)
 2z2011 2009 2011z2 (3)
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2(x2011 y2011 z2011) 3.2009
Từ (1), (2), (3) x2 y2 z2 
 2011
 x2 y2 z2 3
Giỏ trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x y z 1
 Cõu 2: (ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM 
 HỌC 2017-2018)
 Cho a,b,c là cỏc số thực thỏa món a2 b2 c2 12 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu 
thức S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 Lời giải
 Ta cú 
 S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 4a3 a4 4b3 b4 4c3 c4 
Ta chứng minh : 4a3 a4 4a2 thật vậy 
 4a3 a4 4a2
 a4 4a3 4a2 0
 a2 a 2 2 0
Tương tự 
 4b3 b4 4b2
 4c3 c4 4c2
Vậy ta cú :
 S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 4a3 a4 4b3 b4 4c3 c4 
 4 a2 b2 c2 48
Vậy giỏ trị lớn nhất bằng 48 xảy ra khi a,b,c 2,2,2 
Cõu 3:(ĐỀ THI CHỌN HSG BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018)
 Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x y z xyz . Chứng minh rằng: 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
 xyz .
 x y z
 Lời giải
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1
Vỡ x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món x y z xyz 1. 
 xy yz zx
 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 
Nờn ta cú: 2 ; Dấu 
 x x xy yz zx x y x z 2 x y z 
 " "xảy ra y z
 1 1 x2 1 4 1 1 
 . 
 x 2 x y z 
 1 1 y2 1 1 4 1 1 1 z2 1 1 1 4 
Tương tự ta cú ; .
 y 2 x y z z 2 x y z 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 1 1 1 
Do đú 3 ; Dấu " "xảy ra 
 x y z x y z 
 x y z
Ta cú x y x 2 3 xy yz zx x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 3xy 3yz 3zx
 1 2 2 2
 x2 y2 z2 xy yz zx x y y z x z 0
 2 
Nờn x y x 2 3 xy yz zx xyz 2 3 xy yz xz 
 xy yz xz 1 1 1 
 3 xyz 3 xyz
 xyz x y z 
 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2
Vậy xyz . Dấu " "xảy ra x y z .
 x y z
 Cõu 4: (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018)
 Cho x , y , z là cỏc số thực khụng õm thỏa món x y z 3 và xy yz zx 0 . 
Chứng minh rằng
 x 1 y 1 z 1 25
 .
 y 1 z 1 x 1 33 4xy yz zx
 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
 25 25 25
VT 
 33 2.2 xy yz zx xy yz zx 4 xy yz zx x y z 1
 25
 x 1 y 1 z 1 
Cần chứng minh  x 1 2 y 1 25
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Sau khi rỳt gọn, BĐT trở thành x2 y y2 z z2 x 4
 Giả sử y nằm giữa x và z , suy ra y x y z 0 hay y2 zx xy yz
 Do đú y2 z z2 x xyz yz2
 2 1 1
 x2 y y2 z z2 x x2 y xyz yz2 y z x .2 y z x z x 
 2 54
 2 y z x z x 3 4 .
 Cõu 5: (ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017-2018)
 Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món ab bc ca 28. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 biểu thức:
 5a 5b 2c
 P .
 12 a2 28 12 b2 28 c2 28
 Lời giải
 Ta cú: 12 a2 28 12 a2 ab bc ca 6 a b .2 a c .
 6 a b 2 a c 
 Áp dụng BĐT CauChy được 6 a b 2 a c 4a 3b c .
 2
 12 a2 28 4a 3b c 1 . Tương tự 12 b2 28 4b 3a c 2 và 
 a b
 c2 28 c 3 .
 2
 Cộng theo vế 1 , 2 và 3 được:
 15a 15b 6c
 12 a2 28 12 b2 28 c2 28 .
 2
 2 5a 5b 2c 2
 Do đú: P .
 15a 15b 6c 3
 2 28 28
 Vậy GTNN của P là . Đạt được khi và chỉ khi a b , c 5 .
 3 11 11
 Cõu 6: (ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019)
Cho x, y, z là cỏc số thức dương thay đổi và thỏa minh điều kiện xyz 1. Tỡm GTNN 
 x2 y z y2 z x z2 x y 
của biểu thức: .
 y y 2z z z z 2x x x x 2y y
 Lời giải
 Ta cú: x2 y z 2x x . Tương tự, y2 x z 2y y , z2 x y 2z z .
  Trang 10 