Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Liên quan tới các bài toán căn thức

 Chuyên đề liên quan tới các bài toán căn thức
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
Câu 1: (4,0 điểm)
 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 
 1) Cho số thực a mà a 2 . Rút gọn biểu thức A . .
 a a 2 a 1 a 2 a 1 
 Lời giải
 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 
 1) A . 
 a a 2 a 1 a 2 a 1 
 3 3 
 1 a 1 1 a 1 1 
 . 
 a 2 2
 a 1 1 a 1 1 
 1 a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 1 
 . 
 a a 1 1 a 1 1 
 1
 . a a 1 a a 1 2 (do a 2 a 1 0; a 1 1 0) .
 a 
 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016-2017
Câu 1: (2,0 điểm)
 2 1 2 1
 Cho a ;b . Tính a7 b7 .
 2 2
 Lời giải
 1 2 1 3
 Ta có : .a b 2 ;ab ; a2 b2 a b 2ab 2 
 4 2 2
 Lại có .a 7 b7 a3 b3 a4 b4 a3b3 a b 
 2
 a b 3 3ab(a b) a2 b2 2a2b2 a3b3 (a b).
 2
 3 1 3 1 1 5 17 1 169 2
 2 3. . 2 2. . 2 . 2. . 2 .
 4 2 16 16 4 8 64 64
 ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC
Câu 1: (4,0 điểm)
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1. Rút gọn biểu thức: P , với x 0; x 1 .
 x x 1 x x 1
 100 50
 2. Cho x 3 2 , tính giá trị biểu thức A 7 x2 4x x2 4x 2016 . 
 Lời giải
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1. Ta có P 
 x x 1 x x 1 8
 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 
 x x 1 x x 1
 x x 1 2 x 1 2 x 1 
 x x 1.
 2. Ta có: x 3 2 x 2 3 x 2 2 3 x2 4x 1 0 x2 4x 1 . Suy ra:
 A 7 1 100 1 50 2016 2024
LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019
Câu 4: (2,0 điểm)
 Cho x, y, z 0 và x y z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x2 y2 z2
 P 
 y z z x x y
 Lời giải
 x2 y z
 Vì x, y, z 0 nên áp dụng BĐT Côsi đối với hai số dương và ta được:
 y z 4
 x2 y z x2 y z x
 2 . 2 x 1 .
 y z 4 y z 4 2
 Tương tự ta có:
 y2 z x
 y 2 
 z x 4
 z2 x y
 z 3 
 x y 4
 Cộng 1 2 3 , ta được:
 x y z
 P x y z 1
 2
 2 2
 Dấu “=” xảy ra x y z . Vậy min P 1 x y z .
 3 3
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (4,0 điểm)
 5 3 3 5
 1) Rút gọn biểu thức: A .
 2 3 5 2 3 5
 x2 x x2 x
 2) Cho A .
 x x 1 x x 1
 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A . 
 b) Đặt B A x – 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B .
 Lời giải 5 3 3 5
 1) Ta có A .
 2 3 5 2 3 5
 5 3 3 5 2 5 3 2 3 5 
 A = = 
 2 3 5 2 3 5 2 6 2 5 2 6 2 5
 2 5 3 2 3 5 2 5 3 2 3 5 
 = 
 2 2 5 3 3 5
 2 5 1 2 5 1 
 = 2 2 .
 x2 x x2 x
 2. A 
 x x 1 x x 1
 a) ĐKXĐ: x 0
 3 3
 x2 x x2 x x x 1 x x 1 
 A 
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 
 x x 1 x x 1
 x x 1 x x 1 x x x x 2 x .
 2
 b)B A x – 1 = 2 x x 1 x 2 x 1 x 1 2 2 .
 Dấu “=” xảy ra x 1 0 x 1 ( thỏa mãn ).
 ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 VINH NĂM 2016-2017
Câu 1
 a) Cho a b c 0; a,b,c 0. Rút gọn biểu thức:
 ab bc ca
 A .
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
 b) Tính giá trị của biểu thức:
 x3 x2 5x 3 6
 P tại x 1 3 2 3 4.
 x3 2x2 7x 3
 Lời giải
 a) Từ a b c 0 a b c
 Bình phương hai vế ta được a2 b2 2ab c2 nên a2 b2 c2 2ab 
 Tương tự : b2 c2 a2 2bc và c2 a2 b2 2ac 
 ab bc ca 1 1 1 3
Do đó A 
 2ab 2bc 2ca 2 2 2 2
 3
 Vậy A . 
 2
 b) Ta có x 3 2 1 1 3 2 3 4 3 2 1 2 1 1 
 Suy ra x 3 2 x 1 2x3 x 1 3 hay x3 3x2 3x 1 Do đó 
 3x2 3x 1 x2 5x 3 6 4x2 8x 4 6
 P 
 3x2 3x 1 2x2 7x 3 x2 4x 4
 2 
 4 x 1 6 2 x 1 6 2 x 1 6 2x 4
 2.
 x 2 2 x 2 x 2 x 2
 (vì x 1 3 2 3 4 2) 
 Vậy P 2 tại x 1 3 2 3 4. 
PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC 
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9 
Câu 1: (5,5 điểm)
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a) Rút gọn biểu thức: P với x 0; x 4; x 9 .\
 x 5 x 6 x 3 2 x
 2016x2 2x 2016
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 
 x2 1
 c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 5y2 74 .
 Lời giải
 2 x 9 2 x 1 x 3
 a) Rút gọn P 
 x 5 x 6 x 3 2 x
 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
 P 
 ( x 2)( x 3)
 x x 2 ( x 2)( x 1) x 1
 P 
 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3
 b) Tìm giá trị lớn nhất:
 2016x2 2x 2016 (2017x2 2017) (x2 2x 1)
 Q 
 x2 1 x2 1
 2017(x2 1) (x 1)2 (x 1)2
 2017 (*)
 x2 1 x2 1 x2 1
 (x 1)2
 Vì 0 nên từ (*) Q 2017
 x2 1
 (x 1)2
 Dấu “=” xảy ra 0 x 1 0 x 1
 x2 1
 Vậy max Q = 2017 x 1
 c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 5y2 74 .
 Cách 1: 
 Ta có: 6x2 5y2 74 6x2 24 50 – 5y2 6(x2 4) 5(10 – y2 ) (*)
 Từ (*) suy ra: 6(x2 4)  5 , Mà UCLN(6,5) 1 nên x2 4  5
 Đặt x2 4 5t ( t ¥ ) x2 5t 4 thay vào (*) y2 10 6t 
 4
 2 2 t 
 x 0 x 5t 4 0 5 4 5
 Vì t 
 y2 0 y2 10 6t 0 5 5 3
 t 
 3
 t 0 hoặc t 1 
  Khi t = 0 thì y2 10 (loại vì y ¢ ) x2 9 x 3
  Khi t = 1 thì (vì nghiệm nguyên dương nên lấy x 0, y 0 )
 2 
 y 4 y 2
Cách 2: 
 Ta có: 6x2 5y2 74 6x2 24 50 – 5y2 6(x2 4) 5(10 – y2 ) (*)
 Từ (*) suy ra: 6(x2 4)  5 , Mà UCLN(6,5) 1 nên x2 4  5
 2 2
 x 4 5  5 x 1  5 (**)
 Từ bài ra 0 6x2 74 0 x2 12 , Kết hợp (**) x2 4 hoặc x2 9
  Khi x2 4 thì y2 10 (loại vì y ¢ )
  Khi x2 9 thì y2 4 (x 3, y 2 ) (vì x 0, y 0 )