Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan

 Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: (Đề thi HSG 9 huyện Vĩnh Bảo 2013-2014)
 x y x y x y 2xy 
 Cho biểu thức: P : 1 .
 1 xy 1 xy 1 xy 
 a) Rút gọn biểu thức P.
 2
 b) Tính giá trị của P với x .
 2 3
 Lời giải
 a) ĐKXĐ: x 0;y 0;xy 1.
 Mẫu thức chung là 1 – xy 
 ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy
 P :
 1 xy 1 xy
 x x y y y x x x y y y x 1 xy
 .
 1 xy 1 x y xy
 2( x y x) 2 x(1 y) 2 x
 (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x
 2 2(2 3)
 b) Ta có: x 3 2 3 1 ( 3 1)2
 2 3 4 3
 x ( 3 1)2 3 1 3 1
 2( 3 1) 2 3 2
 P 
 1 ( 3 1)2 1 3 2 3 1
 2( 3 1) 6 3 2
 P 
 5 2 3 13
Câu 2 : (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương - 2013-2014)
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
 Rút gọn biểu thức A 
 2 1 x2
 với 1 x 1.
 Lời giải 1 1 x2 . 1 x 1 x 2 1 x2 
 A 
 2 1 x2
 1 1 x2 . 1 x 1 x 
 2
 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 x2 2 2 1 x2 
 2x2 
 = x 2 
Câu 3 : (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014)
 xy x xy x 
 Cho biểu thức A x 1 1 : 1 x 1 .
 xy 1 1 xy xy 1 xy 1 
 a) . Rút gọn biểu thức A.
 b) Cho 1 1 6 . Tìm giá trị lớn nhất của A.
 x y
 Lời giải
 a) Điều kiện: xy 1.
 x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy 
 A :
 xy 1 1 xy 
 xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 
 xy 1 1 xy 
 x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy 
 xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy 
 1 x
 x y xy
 1
 xy
 Vậy A 1
 xy b) Theo Côsi, ta có: 6 1 1 2 1 1 9 .
 x y xy xy
 1
 Dấu bằng xảy ra 1 1 x = y = .
 x y 9
 1
 Vậy maxA = 9, đạt được khi : x = y = .
 9
Câu 4 : (Đề thi HSG 9 huyện 2013-2014)
 a 1 a 1 1 
 Cho biểu thức: P 4 a a .
 a 1 a 1 a 
 a) Rút gọn P.
 b) Tính giá trị của P tại a 2 3 3 1 2 3 .
 Lời giải
 a 0
 a) Điều kiện a 0
 a 1 
 a 1
 a 0
 2 2
 a 1 a 1 4 a a 1 a 1 4 a 4 a a 1 4 a(1 a 1)
 P . 4a
 a 1 a a a
 Vậy P 4a
 b) Ta có: a 2 3 2 3 2 3 . 3 1 
 2
 2 3 . 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 
 2 2 3 2 3 2
 Vậy a 2 do đó P 4a 4 2
Câu 5 : (Đề thi HSG 9 tỉnh Thái Bình 2011 - 2012) 
 Cho biểu thức:
 P 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x2 với x  1;1
 1
 Tính giá trị của biểu thức P với x 
 2012
 Lời giải Ta coù: ) 2 1 x 2 1 x 1 x2 x2 2x 1 2 1 x 1 x2 1 x2 
 2
 1 x 1 x2 
 2
 ) 2 1 x 2 1 x 1 x2 1 x 1 x2 
 Suy ra : P 2 1 x 1 x2 1 x 1 x2
 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x
 1
 Vì x 1 x 1 x P 2 2 1 x 
 2012
 1 2013
 P 2 1 . 2
 2012 2012
 2013
 Vậy P . 2
 2012
Câu 5 : (Đề thi vào 10 chuyên TPHCM 2010 - 2011) 
 7 + 5 + 7 - 5
 Thu gọn biểu thức: A= - 3 - 2 2
 7 + 2 11
 Lời giải
 Xét M = 7 + 5 + 7 - 5
 7 + 2 11
 14 2 44
 Ta có M > 0 và M 2 2 , suy ra M = 2
 7 2 11
 A= 2 -( 2 -1)=1
Câu 6 : (Đề HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016 - 2017) 
 2 x 9 2 x 1 x 3
 Rút gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9.
 x 5 x 6 x 3 2 x
 Lời giải
 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3)
 Ta có P 
 ( x 2)( x 3)
 x x 2 ( x 2)( x 1) x 1
 P 
 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 Câu 7 : (Đề HSG 9 . 2016 - 2017)