Giáo án dạy thêm Toán 9

1Ngày dạy: ..
CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2A A 
A./ Kiến thức cơ bản:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a.
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: a , số âm: a 
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó: 0 0 
+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức a không có nghĩa khi a < 0).
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với 0a thì số x a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn 
bậc hai số học của 0.
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương.
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b a b 
+ Nếu a a < bb 
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là biểu thức lấy 
căn hay biểu thức dưới dấu căn.
- A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) 0A 
4. Hằng đẳng thức 2A A 
- Định lý : Với mọi số thực a, ta có : 2a a 
- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có : 2
êu A 0
-A nêu A<0
A n
A A
B./ Bài tập áp dụng
Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số.
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho.
- Xác định căn bậc hai của số đã cho.
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ; 1 ; 3 2 2
64
LG
+ Ta có CBHSH của 121 là : 2121 11 11 nên CBH của 121 là 11 và -11 
+ CBHSH của 144 là : 2144 12 12 nên CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : 2324 18 18 nên CBH của 324 là 18 và -18
+ CBHSH của 1
64
 là : 
21 1 1
64 8 8
 nên CBH của 
1
64
 là 1
8
 và 1
8
+ Ta có : 23 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1( 2 1 0)vi nên CBH của 3 2 2 là 2 1 và 
2 1 
Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Xác định bình phương của hai số.
- So sánh các bình phương của hai số.
- So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số.
Bài 2 : So sánh
2a) 2 và 3 b) 7 và 47 c) 2 33 và 10
d) 1 và 3 1 e) 3 à 5- 8v g) 2 11 à 3 5v 
LG
a) Vì 4 > 3 nên 4 3 2 3 
b) Vì 49 > 47 nên 49 47 7 47 
c) Vì 33 > 25 nên 33 25 33 5 2 33 10 
d) Vì 4 > 3 nên 4 3 2 3 2 1 3 1 1 3 1 
e) * Cách 1: Ta có: 
3 2
3 8 5 3 5 8
8 3
  
 * Cách 2: giả sử 
 2 23 5 8 3 8 5 3 8 5 3 2 24 8 25
2 24 14 24 7 24 49
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng.
g) Ta có: 
2 3
2 11 3 5
11 5
  
Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định: A xác định 0A 
Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định:
22 1 1 2) ) 2 ) ) 3 5
3 5 2 3 4
xa x b x c d x
x x
LG
Để các căn thức trên có nghĩa thì:
a) 2 1 2 1 30
3 5 3 5 10
x x x 
b) Ta có: 2 22 0, 2x x x  xác định với mọi x
c) 
1 01 0
2 3 02 3
xx
xx
 hoặc 
1 0
2 3 0
x
x
+ Với 
11 0 3
32 3 0 2
2
xx
x
x x
+ Với 
11 0
132 3 0
2
xx
x
x x
Vậy căn thức xác định nếu 3
2
x hoặc 1x 
d) 
3 5 0 53 5 0
432 4 00 44
x x x
x
x xx
Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4 2 3 4 2 3A c) 29 2 ( 0)C x x x 
b) 6 2 5 6 2 5B d) 24 16 8 ( 4)D x x x x 
LG
a) Cách 1 : 2 23 1 3 1 3 1 3 1 2 3A 
3 Cách 2 : 
2 4 2 3 4 2 3 2 (4 2 3).(4 2 3) 8 2 16 12 8 2.2 12
2 3
A
A
b) 2 25 1 5 1 5 1 5 1 2 5B 
c) 23 2 3 2 3 2 5 ( 0)C x x x x x x x vi x 
d) 2 24 16 8 4 (4 ) 4 4 4 4 2( 4) ( i 4)D x x x x x x x x x x v x 
Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
2
2) 2 5 ) 1
4 6
x xa y x x b y 
LG
a) Ta có : 2 2 22 5 ( 1) 4 4 2 5 4 2x x x x x 
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
b) Ta có : 
22 21 35 35 35 351 1
4 6 2 6 36 36 4 6 36 6
x x x x xy 
vậy Miny = 35
6
. Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi 1 1 10
2 6 2 6 3
x x x 
**************************************************
Ngày dạy: ..
VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có:
' ', , , , ,AH h BC a AB c AC b BH c CH b khi đó:
2 ' 2 '
2 ' '
2 2 2
2 2 2
1) . ; .
2) . 3) . .
1 1 14)
5) ( ago)
b a b c a c
h b c b c a h
h b c
a b c Pit
 b'c'
h
b
a
c
H C
B
A
B./ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau:
a)
yx
6
4
H C
B
A
+ ta có:
2 2
2 2
( )
4 6 52 7,21
BC AB AC Pitago
BC
+ Áp dụng định lý 1 :
2 2
2 2
. 4 52. 2,22
. 6 52. 4,99
AB BC BH x x
AC BC CH y y
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
b) - Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định lý 1 
ta có :
2 2. 12 18. 8
18 8 10
AC BC CH y y
x BC y
418
12
yx
H C
B
A
c)
9
H C
B
A
yx
4
* Cách 1 : 
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC ta 
có:
2 2 2 2
2 2 2 2
4 6 52
6 9 117
x BH AH
y CH AH
* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:
2 . ( ). (4 9).4 52
52 52
AB BC BH BH CH BH
AB x
2 . ( ). (4 9).9 117
117 117
AC BC CH BH CH CH
AC y
d)
73
x
y
A
B CH
Áp dụng định lý 2, ta có:
2 2. 3.7 21 21AH BH CH x x 
Áp dụng định lý 1. ta có :
2
2
2 2
. ( ).
(3 7).7 70 70
( 21 49 70)
AC BC CH BH CH CH
y y
y x CH
e)
17
13 x
y
A
B CH
Theo Pitago, ta có : 
2 2 2 213 17 458BC AB AC y 
Áp dụng định lý 3, ta có :
. .
22113.17 458. 10,33
458
AB AC BC AH
x x
g)
5
H C
B
A
y
x4
Áp dụng định lý 2, ta có :
2
2 2 5. 5 4. 6,25
4
AH BH CH x x 
Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta có : 
2 2 2 2
2
5 6,25 8
( 1: . (4 6,25).6, 25 8)
y AH CH
DL y BC x y
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ đường 
vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD?
LG
520
15
D
x
y
A
B C
 0, 90 ,BCD C CA BD  . Theo định lý 3, ta có : 
2 2 80. 20 15.
3
CA AB AD AD AD 
Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta có : 
2
2 2 280 10020
3 3
CD AD CA 
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với đường 
chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD.
LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: 2 2 2 232 60 68AC AD CD 
Theo định lý 1: 
2 2
2 32 256.
68 17
ADAD AC AE AE
AC
60
32
F
E
D
A B
C
Theo định lý 1, ta có:
2 2
2 60 900.
68 17
CDCD AC CE CE
AC
Theo định lý 2, ta có:
480. ...
17
DE AE EC 
Xét tam giác DAF, theo định lý 1: 
2
2 544. ...
15
ADAD DF DE DF
DE
Theo Pitago: 2 2 256 256 644.... 60
15 15 15
AF DF AD FB AB AF 
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ 
đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân.
b) Tổng 2 2
1 1
DE DF
 không đổi khi E chuyển động trên AB.
LG
3
2
1
G
F
E
D C
BA
a) Ta có:  1 3D D (cùng phụ với 2D )
xét àADE v CDG ta có :
 1 3
0
( )
. .
90
AD DC gt
D D cmt ADE CDG g c g
A C
      
DE DG DEG cân tại D
b) vì DE = DG 2 2
1 1
DE DG
ta có : 2 2 2 2
1 1 1 1
DE DF DG DF
xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :
 2 2 2
1 1 1
CD DG DF
 (định lý 4)
Vì 2
1
CD
 không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra 
6tổng 2 2 2 2
1 1 1 1
DE DF DG DF
 không đổi khi E thay 
đổi trên AB.
*******************************************************
Ngày day: ..
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. Khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai.
a) Định lý : ; 0, ó: a.b= a. ba b ta c 
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương 
từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( ; 0, ó: a.b= a. ba b ta c )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới 
dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( ; 0: a. b= a.ba b )
d) Chú ý : 
- Với A > 0 ta có : 2 2A A A 
- Nếu A, B là các biểu thức : ; 0 ó: . .A B ta c A B A B 
- Mở rộng : . . . . ( , , 0)A B C A B C A B C 
2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
a) Định lý : a a0, 0 ó: = .
b b
a b ta c 
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương a
b
, trong đó số a không âm và số b 
dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai (
a a0, 0 ó: = .
b b
a b ta c )
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có thể chia số a cho số 
b rồi khai phương kết quả đó ( a a0, 0 : =
bb
a b )
d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : A A0, 0 : =
BB
A B 
B./ Bài tập áp dụng :
Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính:
2 2 224 1 49 81 1 7 9 1 7 9 1 63) 1 .5 .0,01 . . . . . .
25 16 25 16 100 5 4 10 5 4 10 200
a 
2) 2, 25.1,46 2,25.0,02 2,25(1,46 0,02) 2,25.1,44 (1,5.1,2) 1,5.1,2 1,8b 
2
2
25 169 (5.13) 5.13 13) 2,5.16,9 .
10 10 10 10 2
c 
2 2
2
) 117,5 26,5 1440 (117,5 26,5).(117,5 26,5) 1440 144.91 144.10
144(91 10) 144.81 (12.9) 108
d 
Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức:
71 9 64 4 441) 0,1 0,9 6,4 0,4 44,1
10 10 10 10 10
1 3 8 2 2 35 35 10 7 10
10 210 10 10 10 10 10
a A 
 2 3 7 2 3 76 14 2)
22 3 28 2 3 2 7 2( 3 7)
b B
3 5 4 3 3 5 4 33 5 3 5)
4 3 4 3 4 3 4 3
12 3 3 4 5 15 12 3 3 4 5 15 24 2 15
16 3 13
c C
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức:
a) 29 5 5 3 5 3 5x x x x 
b) 22. 2 0 . 2 2 2x x x x x x x x x 
c) 3 3 2108 1080 9 3 3
1212
x xx x x x
xx
d) 4 6 4 66 6 26 613 13 1 1 1 10; 0 208 16 4 4 4208
x y x yx y
x y x x x xx y
Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau:
) 6 35. 6 35 1
(6 35).(6 35) 36 35 1
a
VT VP
) 9 17 . 9 17 8
(9 17).(9 17) 81 17 64 8
b
VT VP
 2
2
) 2 1 9 8
2 2 2 1 3 2 2
3 2 .2 3 2 2
c
VT
VT VP
VP
  
 2
2
2
) 4 3 49 48
4 2 12 3 7 2 2 .3 7 4 3
7 4 .3 7 4 3
d
VT
VT VP
VP
  
 2) 2 2 2 3 3 1 2 2 6 6 9
4 2 6 6 1 4 2 8 6 6 9
e
VT VP
2 2
) 8 2 15 8 2 15 2 3
5 2. 5. 3 3 5 2. 5. 3 3 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3 5 3 2 3
g
VT
VP
Dạng 4 : Giải phương trình
8Bài 5 : Giải các phương trình sau:
) 2 2 5 8 7 18 28 1 : 0
28 784 3921 2 2 5.2. 2 7.3. 2 28 13 2 28 2 2
13 169 169
a x x x dk x
x x x x x x x tm
1) 4 20 5 9 45 4 2
3
12 4( 5) 5 9( 5) 4 : 5 0 5
3
12 5 5 .3 5 4 2 5 4 5 2 5 4 9
3
b x x x
x x x dk x x
x x x x x x x tm
3 2) 3 (3)
1
xc
x
 đk : 
2
3 2 0 3
21 0 13 2 0 3
1 3 2 0 2 1
31 0
1
xx
x x xx
x x xx
x
x
Ta có 3 2 11(3) 9 ... 6 11
1 6
x x x
x
 thỏa mãn
5 4) 2
2
xd
x
 (4) đk : 
45 4 0 4
5
2 0 52
x x
x
x x
(4) 5 4 2 2 5 4 4 2 ..... 12x x x x x thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng 
2
a b ab . Dấu đẳng 
thức xảy ra khi nào?
LG
* Cách 1 : 
+ vì 0; 0 ;a b a b xác định.
+ ta có : 2 0 2 0 2 2a ba b a ab b a b ab ab 
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có
2 2 2 2 2 2 2
2
0 2 0 2 2 4
4 2
2
a b a ab b a b ab a ab b ab
a ba b ab a b ab ab
*******************************************************
Ngày dạy: ..
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa : Cho 0 0(0 90 )ABC  ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam 
giác ABC vuông tại A như sau:
9sin ; cos
; cot
AC AB
BC BC
AC ABtg g
AB AC

B
C
A
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương
+ 0 < sin, cos < 1 + 1cot ; .cot 1g tg g
tg
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau.
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc kia. Tức: nếu 
090  thì ta có : sin cos ; cos sin
cot ; cottg g g tg
  
  
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
Tỉ số lượng giác
300 450 600
Sin 1
2
2
2
3
2
Cos 3
2
2
2
1
2
tg 1
3
1 3
Cotg 3 1 1
3
* Nhận xét :
- Dựa vào bảng trên ta thấy:
 với 1 2 1 20 01 2 1 2
1 2 1 2
sin sin ;
0 ; 90 à
cos cos ; cot cot
tg tg
v
g g
. 
Tức là : 
+ góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn.
+ góc lớn hơn thì có tg lớn hơn, nhưng lại có cotg nhỏ hơn.
Hay ta có thể phát biểu : 0 00 90 thì :
+ sin và tg đồng biến với góc .
+ cosin và cotg nghịch biến với góc .
4. Các hệ thức cơ bản:
 2 2
sin1 ; 3 .cot 1;
cos
cos2 ; 4 sin cos 1
sin
tg tg g
cotg
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg?
+ ta có: 2 2 2 2sin cos 1 cos 1 sin 1 0,6 0,8 
+ sin 0,6 3 cos 0,8 4;
cos 0,8 4 sin 0,6 3
tg cotg 
Bài 2: 
1. Chứng minh rằng:
Huyền
Đối
Kề
10
 2 2 4 4 22 2
1 1) 1 ; ) 1 ; ) cos sin 2cos 1
cos sin
a tg b cotg c 
2. Áp dụng: tính sin, cos, cotg, biết tg = 2
LG
1. a) ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
sin sin sin1 1
cos cos cos
sin cos 11
cos cos
tg tg tg
tg
b) 
2 2 2
2
2 2 2
cos cos sin 1cot 1 1
sin sin sin
VT g VP 
c)
4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos sin cos sin . cos sin cos sin
cos 1 cos cos 1 cos 2cos 1
VT
VP
2. Ta có:
 2 221 1 12 ê 2 1 cos cos ;cos 5 5tg n n a 
12 ;
2
tg cotg 
 2 22 21 1 1 5 4 2 51 sin sin2 sin sin 4 5 5b 
Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg?
LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
+ mà 2 22
1 9 31 cos cos ;
cos 25 5
tg 
+ mặt khác: 
2
2 2 2 3 4sin cos 1 sin 1 s 1
5 5
co 
Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau:
1 2) sin ; ) cos ; ) 3; ) cot 4
2 3
a b c tg d g 
LG
a)* Cách dựng 
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung này cắt 
Ox tại A.
- nối A với B BAO  cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: 1sin sin
2
OBBAO
AB
  đpcm
B
2
1
AO
y
x
11
b)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2.
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3, cung này cắt 
Oy tại B.
- nối A với B BAO  cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: 2cos cos
3
OABAO
AB
  đpcm
3
B
2 AO
y
x
c) * Cách dựng:
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị.
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 3
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
OBA  cần dựng.
* Chứng minh: - thật vậy, ta có:
 3 3
1
OAtg tg OBA
OB
  đpcm
3
B
1
AO
y
x
d) * Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 4
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
OAB  cần dựng
* Chứng minh: - thật vậy, ta có:
 4 4
1
OAcotg cotg OAB
OB
  đpcm
4
B
1
AO
y
x
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giác ABC vuông.
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C.
LG
a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 212 5 169 13AB BC AC AB BC AC 
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B.
b) 
- vì 090 ;A C A C    là 2 góc phụ nhau
- do đó:
12 5sin cos ; cos sin
13 13
12 5cot ; cot
5 12
A C A C
tgA gC gA tgC
5
13
12B
C
A
*********************************************************
Ngày dạy: .
12
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cơ bản
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
2 ( 0; 0)
( 0; 0)
A B A B
A B A B
A B A B
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
2
2
0; 0 :
0; 0 :
A B A B A B
A B A B A B
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : .. 0; 0 : A A BA B B
B B
4. Trục căn thức ở mẫu:
a) 0 : A A BB
BB
b) 
 2
20; :
C A BCA A B
A BA B

c) 
, 0; :
C A BCA B A B
A BA B

* Chú ý:
- Các căn bậc hai đồng dạng là các căn bậc hai có cùng biểu thức dưới dấu căn.
- Biểu thức liên hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liên hợp với nhau nếu tích của chúng không 
chứa căn thức.
- Quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta nhân tử và mẫu của biểu thức 
đó với biểu thức liên hợp của mẫu.
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 1: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn:
2
4
22 2
) 125 0
5 .5 5 5
) 80
4 .5 4 5
a x x
x x x x
b y
y y
2
2
2
) 5 1 2
1 2 . 5 2 1 5 1 2 0
) 27 2 5
2 5 . 3.3 5 2 .3. 3 2 5 0
c
d
 2 2 10 3 2 10 32 2 2) 2 10 310 910 33 10 10 3 . 10 33 10e
2
5 1 3 5 3 15 1 3
) 1 3 0
4 2 2
g
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh:
13
a) 3 5 à 5 3v
ta có:
2
2
3 5 3 .5 45
75 45 75 45 5 3 3 5
5 3 5 .3 75
do
  
b) 4 3 à 3 5v
ta có:
2
2
4 3 4 .3 48
48 45 48 45 4 3 3 5
3 5 3 .5 45
do
  
c) 7 2 à 72v
ta có: 27 2 7 .2 98 98 72 98 72 7 2 72do 
d) 5 7 à 4 8v
ta có:
2
2
5 7 5 .7 175
175 128 175 128 5 7 4 8
4 8 4 .8 128
do
  
Bài 3: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn:
2
2
2
2) 2 2
2
2 2
2 2 2 0
2
) 5 0 5
25
5 5
5 0
5 . 5 5
aa a a
a
a a
a a a
a
xb x x
x
x x x x
x
x x x
2 2
2 2
2 2
3) 0
3 3 3
0
.
ac a b a b
b a
a a b a b a a b a
a b
b a b a b a b a
Dạng 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 4: Thực hiện phép tính:
) 125 4 45 3 20 80 ... 5 5 12 5 6 5 4 5 5 5
27 48 2 75 3 4 2 5 7) 2 ... 2. 3 3 . 3 ... 3
4 9 5 16 2 3 5 4 6
9 49 25 3 1 1 5 1 7 1 7 2) 2 ... 2. . 7. . ... .
8 2 18 2 3 3 62 2 2 2
a
b
c
2 2
2 2
1 1) 5 20 3 12 15 4 27 5 4 5.2 5 3.2 3 15. 5 4.3 3 5 4 . 5 4
5 5
10 5 6 3 3 5 12 3 9 13 5 18 3 3 13 5 17 3
) 7 4 3 28 10 3 2 3 5 3 2 3 5 3 7
d
e
Bài 5: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
14
 2
) 0; 0
.
2
x x y y
a xy x y
x y
x y x xy y
xy x xy y xy x xy y x y
x y
 ) ; 0
a a ba ab ab a b
b ab bb b a
.
) 0; 0
. .
.
x y y x x y
c x y
xy
xy x y x y
x y x y x y
xy
 2 2
) 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 2
2 2 2 . 2 2 2 2 2 . 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
d A x x x x x x x x
x x x x
x x x x
- nếu 2 2 2 2 4x x x 
2 2 2 2 2 2A x x x 
- nếu 2 2 2 2 4x x x 
2 2 2 2 2 2A x x 
Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu
Bài 6: Trục căn thức ở mẫu
a) 
 12. 3 3 12. 3 312 2. 3 39 33 3 3 3 . 3 3
b) 
 8. 5 2 8. 5 28 8. 5 25 45 2 5 2 . 5 2
c) 
 14. 10 3 14. 10 314 2. 10 310 310 3 10 3 . 10 3
d) 
7 3 5 11 . 8 3 7 117 3 5 11 168 49 33 40 33 385 9 33 217
192 539 3378 3 7 11 8 3 7 11 . 8 3 7 11
e) 
3 5 2 2 . 2 5 3 23 5 2 2 30 9 10 4 10 12 18 5 10
20 18 22 5 3 2 2 5 3 2 . 2 5 3 2
Bài 7: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính:
15
5 1 6 7 5)
24 11 3 7 7 2
5. 4 11 6. 7 23 7 7 5
24 11 . 4 11 3 7 . 3 7 7 2 . 7 2
5. 4 11 6. 7 2 5. 4 11 6. 7 23 7 7 5 3 7 7 5
16 11 9 7 7 4 2 5 2 3 2
3 7 7 54 11 2 7 2 4 11 4 7 2 7 4 4 11 3 7
2
a 
4 3 2 3 1)
65 2 5 2 3 2
4 5 2 3 . 5 2 2. 3 2 3 1
65 2 . 5 2 5 2 . 5 2 3 2 . 3 2
4 5 2 3 . 5 2 2. 3 2 4 5 23 1 3 13. 5 2 2. 3 2
5 2 5 4 3 4 6 3 6
8 5 2 18. 5 2 12. 3 2 3 1 8 5 8 2 18 5 36 12 3 24 3 1
6 6
26 5 8 2 13 3 59
6
b 
***********************************************************
Ngày dạy: ..
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.
ÔN TẬP ĐẠI SỐ - CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
 Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã 
biết.
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính
a) 2 23 2 2 6 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 
2
2
) 5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 5 3 2 5 3
5 6 2 5 5 5 1 5 5 1 1
b 
) 6 2 5 29 12 5 6 2 5 2 5 3 9 3c 
2
2
) 2 5 13 48 2 5 13 4 3 2 5 2 3 1 2 5 2 3 1
2 4 2 3 2 3 1 2 3 1 1 3
d 
Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a) 2 20 45 3 18 3 32 50 4 5 3 5 9 2 12 2 5 2 5 16 2 
b) 1 1 1 2 1 17 1032 0,5 2 48 4 2 2 3 2 4 3 ... 2 3
3 8 2 3 4 4 3
16
 2 2
1 1) 4,5 12,5 0,5 200 242 6 1 24,5
2 8
1 9 25 1 9 492 10 .2 11 .2 6
2 2 2 2 8 2
1 3 5 3 72 2 2 5 2 11 2 6. 2 2
2 2 2 4 2
c 
1 3 5 3 7 135 11 6. 2 2
2 2 2 4 2 2
3 2 3 2) 6 2 4 . 3 12 6
2 3 2 3
3 2 16 6 2 6 . 6 2 3 6 6. 2 3 3
2 3 6
d
Bài 3: Chứng minh đẳng thức
2 2)
2 2 2 2
a b a b b ba
b aa b a b a b
Biến đổi vế trái ta được:
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 .
4 2 2 4 4 4
2 2 2
4 2
2
a b a b b a b a b bVT
b aa b a b a b a b a b a b
a b a b b a ab b a ab b b ab b
a b a b a b a b a b a b
b a b b VP
a ba b a b
2 3 6 216 1 3) .
3 28 2 6
b
Biến đổi vế trái ta được: 
6 2 12 3 6 216 1 6 6 1. .
3 38 2 6 62 2 1
6 1 3 1 32 6 . 6.
2 2 26 6
VT
VP
Bài 4: Cho biểu thức 
 2 4a b ab a b b aA
a b ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
LG
a) đk: a > 0; b > 0; a khác b
b) ta có:
2
2
4 2 4
2 2
a b ab ab a ba b b a a ab b abA
a b ab a b ab
a ba ab b a b a b a b a b b
a b a b
17
Bài 5: Cho biểu thức 2 1 1:
1 1 1
x x xB
x x x x x
a) Tìm đk xác định 
b) Rút gọn biểu thức B
LG
a) đk: 0; 1x x 
b) Ta có:
2 1 1 2 1 1: :
1 1 1 1 11 1
2 1 1 1 1 1. .
1 1 111 1
x x x x x xB
x x x x x x x xx x x
x x x x x x x
x x xxx x x
Bài 6: Cho biểu thức 3 3 2 91 :
9 2 3 6
x x x x xC
x x x x x
a) Tìm đk để C có nghĩa
b) Rút gọn C
c) Tìm x để C = 4
LG
a) đk: 0; 4; 9x x x 
b) Ta có:
3 3 2 91 :
9 2 3 6
x x x x xC
x x x x x
2 2
2
3 3 2 91 :
2 33 3 2 3
3 3 2 9 9 2 931 : :
33 2 3 2 3
2 33 3.
3 22
x x x x x
x xx x x x
x x x x x x xx x x
xx x x x x
x x
x xx
c) C = 4 3 3 11 1214 2
4 4 162
x x x
x
Bài 7: Cho biểu thức 9 3 1 1:
93 3
x x xD
xx x x x
a) Tìm đk b) Rút gọn
c) Tìm x sao cho D < -1 
LG
a) đk: x > 0; x khác 9
b) Ta có:
 9 3 1 1 9 3 1 1: :93 3 3 3 3 3x x x x x xD xx x x x x xx x x x
18
3 9 2 23 1 3 3 9: :
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3.
2 43 3 2 2
x x x xx x x
x x x x x x x x
x x x x
xx x x
c) 31 1 3 2 4 4 16 2 4 0
2 4
xD x x x x x
x
********************************************************
Ngày dạy: ..
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức
B
C
A c
b
a
* Định lý: Trong 1 tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
- Cạnh huyền nhân Sin góc đối hoặc Cosin góc kề
- Cạnh góc vuông kia nhân Tang góc đối hoặc Cotg góc kề
(trong tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta 
có:
 .sin .cos . .cot1 2
.sin .cos . .cot
b a B a C b c tgB c gC
c a C a B c b tgC b gB
2. Áp dụng giải tam giác vuông
* Giải tam giác vuông: là tìm tất cả các yếu tố của một tam giác vuông (các cạnh, các góc) nếu biết trước 
2 yếu tố trong đó có ít nhất 1 yếu tố về cạnh và không kể góc vuông
* Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp
a) Biết 2 cạnh góc vuông
- Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go)
- Tính một góc nhọn (tg hoặc cotg)
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
b) Biết cạnh huyền và 1 góc nhọn
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
- Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1))
c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề
- Tính góc nhọn còn lại
- Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1); (2))
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết 4
3
tgB và BC = 10. Tính AB; AC
10
B
CA
- 0 '4 53 07
3
tgB B  
- theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
0 '
0 '
cos 10.cos53 07 6
.sin 10.sin 53 07 8
AB BC B
AC BC B
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường cao AH và góc A, góc B của 
tam giác ABC
+ tam giác ABC cân, có 
1 2
8
2
A A
AH BC BCBH CH
   
+ xét tam giác AHC, vuông tại H
19
21
16
17 17
B C
A - ta có: 2 2 2 217 8 15AH AC CH 
- mặt khác: 0 ' 0 '2 2 1 2
8sin 28 04 2 56 08
17
CHA A A A A
AC
     
+ xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
0 0 0 ' 0 '
190 90 28 04 61 56B A  
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, 0 038 ; 30ABC ACB  . Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ 
A đến BC. Tính AN; AC
11
380300
N
BC
A
- xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc 
trong tam giác vuông ta có:
0.sin 11.sin 38 6,77AN AB B 
- xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc 
trong tam giác vuông ta có:
0
6,77.sin 13,54
sin sin 30
ANAN AC C AC
C
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC = 16. Tính góc B, góc C?
169 HB C
A - xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh và đường 
cao trong tam giác vuông , ta có:
2 . 9.16 144 12AH BH CH AH 
- xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có:
0 '12 53 7
9
AHtgB B
BH
  
- mà 0 0 '90 36 53B C C   
Bài 5: Cho tam giác ABC có 060B , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên BC theo thứ tự bằng 
12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC
21
600
1812 HB C
A - xét tam giác AHB vuông tại H
0 0 160 30
2
2 2.12 24
B A BH AB
AB BH
  
2 2 2 224 12 20,8AH AB BH 
- xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng 
0 '
0 0 '
20,8 49 06
18
180 70 54
AHtgC C
HC
A B C
  
    
- theo hệ thức về cạnh và góc, ta có:
0 '
18.cos 27,5
cos cos 49 06
HCHC AC C AC
C
Bài 6: Cho hình thang ABCD, có 090A D  , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8, 
AD = 3. Tính BC, ,B C  ?
H
B
D C
A
8
4
3
- kẻ BH vuông góc với CD, suy ra AD = BH = 3; 
AB = DH = 4, do đó: CH = 8 – 4 = 4
- xét tam giác BHC vuông tại H, ta có:
2 2 2 2
0
3 4 5
3sin 37
5
BC BH CH
BHC C
BC
  
- vì ABCD là hình thang nên:
20
 0 0 0 0 0180 180 180 37 143B C B C    
Bài 7: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8
b) b = 20; 038C 
c) 3 ; 4
4
tgB c 
b
c
a
B
CA
a) a = 18; b= 8
0 ' 0 0 ' 0 '
0 '
8sin 23 23 90 23 23 63 37
18
.sin 18.sin 63 37 16,1
ACB B C
BC
AB BC C
   
b) b = 20; 038C 
0 0 0
0
2038 52 ; . 20. 38 15,6; 25,4
sin sin 52
ACC B AB AC tgC tg BC
B
  
c) 3 ; 4
4
tgB c 
2 2 2 2
0 ' 0 '
34. 3; 3 4 5
4
4sin 0,8 53 08 36 52
5
AC ABtgB BC AB AC
cC C B
a
   
*********************************************************
Ngày dạy: 
 ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
' ', , , , ,AH h BC a AB c AC b BH c CH b khi đó :
2 ' 2 '
2 ' '
2 2 2
2 2 2
1) . ; .
2) .
3) . .
1 1 14)
5) ( ago)
b a b c a c
h b c
b c a h
h b c
a b c Pit
b'c'
h
b
a
c
H C
B
A
2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho 0 0(0 90 )ABC  ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC 
vuông tại A như sau :
21
sin ; cos
; cot
AC AB
BC BC
AC ABtg g
AB AC

B
C
A
3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác
- Nếu 090  thì ta có : sin cos ; cos sin
cot ; cottg g g tg
  
  
- Cho 0 00 90 . Khi đó
+ 0 < sin, cos < 1
+ 2 2sin cos 1 
+ sin cos 1;cot ;cot ; .cot 1
cos sin
tg g g tg g
tg
4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
B
C
A c
b
a
 - Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta 
có:
 .sin .cos . .cot1 2
.sin .cos . .cot
b a B a C b c tgB c gC
c a C a B c b tgC b gB
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Chứng minh rằng : với là góc nhọn tương ứng trong tam giác ABC, 090A thì:
4 4 2
2 3
) cos sin 2cos 1
) sin sin .cos sin
a
b
2 2 2 2
2 2 2
) sin . sin
) cos .cos 1
c tg tg
d tg
LG 2 2 2 2 2 2 2 2 2) cos sin . cos sin cos sin cos 1 cos 2cos 1a VT VP 
 2 2 3
2
2 2 2 2 2 2
2
) sin . 1 cos sin .sin sin
sin) .(1 sin ) .cos .cos sin
cos
b VT VP
c VT tg tg VP
 2 2 22 2 2 22 2sin cos sin) cos . 1 cos . 1 cos . 1cos cosd VT tg VP 
Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH vủa tam giác ABC
LG
Huyền
Đối
Kề
22
35
21
28
H
B
CA
a) ta có: 
2 2 2 2
2 2 2
2 2
21 28 1225
35 1225
AB AC
BC AB AC
BC
  
 do đó theo 
định lý đảo của định lý Pi-ta-go tam giác ABC vuông tại A
b) 
0
0
28sin 0,8 53
35
21sin 0,6 37
35
ACB B
BC
ABC C
BC
  
  
Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam 
giác vuông ta có:
0.sin 21.sin 53 21.0,8 16,8AH AB B (hoặc AH.BC = AB.AC)
Bài 3: Giải tam giác vuông tại A, biết
a) a = 12; 042B 
b) b = 13; c = 20
LG
420
12
B
C
A
- ta có:
0 0 0 0
0
0
90 90 42 48
.cos 12.cos 42 9
.cos 12.cos 48 8
C B
AB BC B
AC BC C
  
20
13
B
C
A
- ta có:
2 2 2 2
0
0 0
20 13 23,85
13 0,65 33
20
90 57
BC AB AC
ACtgB B
AB
C B
  
  
Bài 4: Cho tam giác ABC có 060B các hình chiếu vuông góc của AB, AC lên BC theo thứ tự bằng 
12; 18. Tính các cạnh, các góc và đường cao của tam giác ABC
LG
600
21
18H12B C
A
+ ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30
+ xét tam giác AHB vuông tại H
- ta có : 0. 12. 60 12 3AH BH tgB tg 
- mặt khác :
 0
0 0 0 0
1
12.cos 24
cos cos 60
90 90 60 30
BHBH AB B AB
B
A B
  
+ xét tam giác AHC vuông tại H, ta có :
2 2
0
... 756 27,5
12 3 49
18
AC AH CH
AHtgC C
HC
  
+ xét ABC, tcó: 0 0180 71A B C   
***********************************************************
Ngày dạy: ..
HÀM SỐ BẬC NHẤT. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 0y ax b a 
A. Kiến thức cơ bản
23
1. Định nghĩa hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức 0y ax b a , trong đó a, b là các số cho trước
2. Tính chất của hàm số bậc nhất : Hàm số bậc nhất 0y ax b a xác định với mọi x thuộc R và có 
tính chất sau :
a) Đồng biến trên R, khi a > 0
b) Nghịch biến trên R, khi a < 0
3. Đồ thị của hàm số y ax 
- Đồ thị của hàm số y ax là 1 đường thẳng đi qua gốc tọa độ O
- Cách vẽ
+ Cho 0 0;x y a A a 
+ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và A(0 ; a) là đồ thị hàm số y = ax
4. Đồ thị của hàm số 0y ax b a 
- Đồ thị của hàm số 0y ax b a là 1 đường thẳng
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
+ Song song với đường thẳng y = ax nếu b khác 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0
- Chú ý : Đồ thị của hàm số 0y ax b a còn được gọi là đường thẳng 0y ax b a b được 
gọi là tung độ gốc của đường thẳng
* Cách vẽ : 2 bước
- Bước 1 : Tìm giao của đồ thị với 2 trục tọa độ
+ Giao của đồ thị với trục tung : cho 0 0;x y b A b 
+ Giao của đồ thị với trục hoành : cho 0 ;0b by x B
a a
- Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm A ; B ta được đồ thị hàm số 0y ax b a 
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho hàm số 1 3
2
y f x x . Tính f(0) ; f(1) ; f(-1) ; f(2) ; f(-2) ; f(8) 
LG
- Lập bảng giá trị tương ứng của x và f(x)
x
-2 -1 0 1 2 8
 1 3
2
f x x -4 7
2
3 5
2
2 -1
Bài 2: Biểu diễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ? A(-3; 2), B(1; 4), C(-5; 0), D(0; 3), E(-1; -4)
LG
E
B
D
C
A
-5 -3
-1
2
1
-2
-4
4
3
21O
y
x
24
Bài 3: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất?
 ) 4 2009 ) 2 3 2 1
2) 4 ) 3 . 5 3
2
a y m x b m x m
mc y x d y m x m
m
LG
) ...... 4 0 4
3) ...... 2 3 0
2
2 0 22) ...... 0
2 0 22
) ...... 3 0 3 0 3
a m m
b m m
m mmc
m mm
d m m m
Bài 4: Cho hàm số y = (m – 5)x + 2010. Tìm m để hàm số trên là 
a) hàm số bậc nhất
b) hàm số đồng biến, nghịch biến
LG
) ...... 5 0 5a m m 
b) hàm số đồng biến  m – 5 > 0  m > 5
- hàm số nghịch biến  m – 5 < 0  m < 5
Bài 5