Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Chương
3
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. GÓC Ở TÂM
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
 là góc ở tâm, là cung bị chắn bởi .
2. SỐ ĐO CUNG
Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
.
Số đo cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).	 
Số đo của nửa đường tròn bằng .
3. SỐ ĐO CUNG
Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó: 
Số đo cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).	
Số đo của nửa đường tròn bằng .
4. SO SÁNH HAI CUNG
Ta chỉ so sánh hai cung trong môt đường tròn hay trong hai đường trong bằng nhau. Khi đó:
Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.	
Trong hai cung, cung có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 
5. KHI NÀO THÌ 
Nếu là một điểm nằm trên cung thì 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm số đo góc ở tâm – Số đo cung bị chắn
Để tính số đó của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).
Số đo của nửa đường tròn bằng. Cung cả đường tròn có số đo.
Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.
Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.
Ví dụ 1. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào những thời điểm sau
a) giờ.	b) giờ.	c) giờ.	d) giờ.
Lời giải
Ta sẽ xem mặt đồng hồ như hình tròn nên cung cả đường tròn có số đo là .
a) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm giờ thì góc ở tâm có số đo là .
b) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm giờ thì góc ở tâm có số đo là .
c) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm giờ thì góc ở tâm có số đo là .
d) Khi kim phút và kim giờ ở thời điểm giờ hay giờ đêm thì góc ở tâm có số đo là .
Ví dụ 2. Một đồng hồ chạy chậm phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiều độ?	ĐS: .
Lời giải
Đổi: phút = giờ.
Để chỉnh lại cho đúng giờ ta cần quay một góc ở tâm bằng .
Ví dụ 3. Cho tam giác đều . Gọi là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh . Tính số đo góc ở tâm .	ĐS: .
Lời giải
Tâm là giao điểm của ba đường trung trực trong đều.
Ta có: và
.
Xét cân tại , ta thấy
.
Vậy số đo góc ở tâm là .
Ví dụ 4. Hai tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại điểm . Cho biết . Tính số đo
a) Góc ở tâm ;	ĐS: .
b) Mỗi cung (cung lớn và cung nhỏ).	ĐS: sđ là .
Lời giải.
a) Ta có: .
Vậy .
b) Vì nên sđ nhỏ là và sđ lớn là .
Ví dụ 5. Trên đường tròn tâm lần lượt lấy ba điểm sao cho , sđ. Tính số đo mỗi cung (cung lớn và cung nhỏ) trong các trường hợp
a) nằm trên cung nhỏ ;	ĐS: .
b) nằm trên cung lớn .	ĐS: .
Lời giải.
a) Vì sđ nên .
Mà (vì nằm trên cung nhỏ ) do đó .
.
Vậy cung nhỏ là và cung lớn là .
b) Vì sđ nên .
Mà (vì nằm trên cung lớn ) 
do đó .
Vậy cung nhỏ là , cung lớn là .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên đường tròn , lấy hai điểm và sao cho . Tính số đo mỗi cung .	
	ĐS: .
Lời giải
Vì nên số đo cung nhỏ là và số đo cung lớn là .
Bài 2. Cho đường tròn có dây . Tính số đo
a) Góc ở tâm ;	ĐS: .
b) Cung lớn .	ĐS: .
Lời giải
a) Vì nên đều hay .
b) Do nên số đo cung lớn là .
Bài 3. Cho đường tròn có đường kính . Gọi là điểm chính giữa cung . Vẽ dây có độ dài bằng . Tính số đo của góc ở tâm trong các trường hợp
a) nằm trên cung ;	ĐS: .
b) nằm trên cung .	ĐS: .
Lời giải.
a) Vì là đường kính của và nằm chính giữa cung nên .
Mặt khác, vì nên là tam giác đều hay .
Ta có .
b) Trường hợp nằm trên cung ta thực hiện tương tự như câu .
Ta có .
Bài 4. Trên đường tròn , lấy hai điểm và phân biệt. Kẻ các đường kính và . Chứng minh .
Lời giải
Vì cắt nhau tại nên ( hai góc đối đỉnh).
Mà sđ và sđ do đó sđ = sđ.
Vậy (đpcm).
Bài 5. Trên một đường tròn, có cung bằng , cung nhận làm điểm chính giữa, cung nhận làm điểm chính giữa. Tính số đo mỗi cung .	ĐS: .
Lời giải
Vì sđ nên .
Mà lần lượt là điểm chính giữa trên cung và nên .
Số đo cung lớn là .
Ta có
.
Và .
Vậy số đo cung nhỏ là và số đo cung lớn là .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. 
a) Từ giờ đến giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng nhiêu độ?	ĐS: .
b) Cũng hỏi như thế từ giờ đến giờ?	ĐS: .
Lời giải
a) Khi kim đồng hồ đến mốc giờ thì góc ở tâm có số đo là , nếu đến mốc giờ thì góc ở tâm có số đo là . Do đó, từ giờ đến giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng .
b) Khi kim đồng hồ đến mốc giờ thì góc ở tâm có số đo là , nếu đến mốc giờ thì góc ở tâm có số đo là . Do đó, từ giờ đến giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng .
Bài 7. Chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là giờ. Hỏi để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một góc ở tâm là bao nhiêu độ?	ĐS: .
Lời giải
Vì chênh lệch múi giờ giữa Việt Nam và Nhật Bản là giờ nên để chỉnh một đồng hồ ở Việt Nam theo đúng giờ Nhật Bản thì kim giờ phải quay một góc ở tâm bằng .
Bài 8. Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại , trong các góc tạo thành có góc . Vẽ một đường tròn tâm . Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc .	ĐS: .
Lời giải
Theo đề bài ta có, .
Vì là hai góc kề bù nên .
Ta được 
Bài 9. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại và cắt nhau tại điểm . Cho biết . Tính số đo
a) Góc ở tâm ;	ĐS: .
b) Mỗi cung (cung lớn và cung nhỏ).	ĐS: sđ là .
Lời giải
a) Ta có: (Tổng các góc trong một tứ giác)
Do đó 
	.
Vì nên sđ nhỏ là và sđ lớn là .
Bài 10. Trên đường tròn , lấy hai điểm và sao cho . Gọi là điểm chính giữa cung nhỏ . Tính số đo cung nhỏ và cung lớn .	ĐS: .
Lời giải
Vì là điểm chính giữa cung nhỏ nên sđ = sđ+sđsđ.
Ta có 
.
Vậy số đo cung nhỏ là và số đo cung lớn là .
--- HẾT ---