50 Bài tập về bất đẳng thức - Trần Văn Lập

50 Bài tập về bất đẳng thức:
Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Bài 2: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Bài 3: Cho a,b >0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Bài 4: Cho a,b,c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Cách 1: 
Cách 2:
Tương tự 
Do đó:
Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và . Chứng minh rằng:
Giải: 
Bài 6: Cho a,b,c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4
Bài 7: Cho x,y,z> 0 và . Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải: 
Ta có Bài 8
Chứng minh rằng với mọi , ta có 
Giải: 
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 
Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và nên :
Cộng các kết quả trên => đpcm. 
Bài 10: 
Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
Giải:
Bài 11
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12
Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: 
Cách 2: 
Bài 13
Cho x,y >0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: Dự đoán x=y=2
Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh rằng 
Giải: Ta có 
Bài 15: Cho x,y,z >0 và . Chứng minh rằng 
Giải:
Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải:
Bài 17: 
Cho a,b,c >1. Chứng minh rằng: 
Giải: 
Bài 18
Cho a,b,c >0, chứng ming rằng :
Giải:
 cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
Bài 19
Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 
Giải:
Bài 20:
Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng :
Giải:
Cần nhớ: 
Bài 21
Với a,b,c>0 chứng minh rằng: 
Giải.
Bài 22 
Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng 
Giải:
Bài 23
Cho x,y,z>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải:
Cách1: 
Cách 2:
Bài 24
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng 
Giải:
Bài 25
Chứng minh bất đẳng thức:
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì 
Giải:
Bu- nhi -a ta có : 
Bài 27
Cho hai số a, b thỏa mãn : . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 
Giải:
Bài 28
Chứng minh rằng 
Giải:
Bài 29
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 (Với x; y là các số thực dương).
Giải:
Đặt Có 
Bài 30
Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh 
Giải:
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c . Chứng ming rằng 
Giải:
Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2	 
Mà a3 + ab2 ³ 2a2b ;b3 + bc2 ³ 2b2c;c3 + ca2 ³ 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
Suy ra 
t = a2 + b2 + c2, với t ³ 3.
Suy ra Þ P ³ 4 a = b = c = 1
Bài 33
Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của 
 P = 
Giải:
 có =khi y=2x; khi z=4x; khi z=2y =>P 49/16
 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Dấu bằng xảy ra khi .Vậy Min B là 43 khi 
Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 9
Gải:
 và 
Tương tự và 
 x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9
Bài 36
Cho a,b,c là các số thuộc thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6. Chứng minh rằng .
Giải:
Bài 37
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Giải:
 cộng các vế lại 
Bài 38
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng 
Giải:
hay 
Bài 39
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
Giải: 
Có chứng minh được hay không?
Bài 40
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải:
Có (1) , (2)
 (3) . Dấu ‘=’ xảy ra 
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : (*)
Từ nên (*) 
 (*)
Ta có 
Từ đó (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi 
Bài 41
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng .
Giải:
Bài 42 
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
Giải:
Chứng minh được Bài 43
Cho . Chứng minh rằng Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
Thật vậy:
Bài 44
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:
Cách 1:
Cách 2 : 
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 46
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng :
Giải:
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 
Giải:
Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng :
Giải:
Cách 1:
Cách 2
Bài 50
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
Giải: