Bài tập Hình học luyện thi vào Lớp 10 THPT

CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN
KHỐI 7 , 8 , 9
Tên chuyên đề : KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN HAY
Bài toán 
Cho tam giác ABC .
Toán 7 
Vẽ các đường cao AD , BE , CF . Gọi giao điểm 3 đường cao là H
 Chỉ ra trực tâm của tam giác ABC , BHC , AHC , AHB
Chỉ ra các góc bằng nhau có trong hình vẽ ( trường hợp tam giác ABC nhọn ) 
Chứng minh H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác DEF
Các bài tập vận dụng
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên tia đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Chứng minh rằng.
a/ AE vuông góc với BD.
b/ D là trực tâm của tam giác ABC
Bài 2: Cho góc xOy = 500. Trên tia Ox lấy điểm A. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với Oy ở D. Trên tia dối của tia DO lấy điểm B , qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Ox ở E, BE cắt AD ở I.
a/ Chứng minh OI vuông góc với AB
b/ Tính góc AIE
Bài 3: Cho tam giác ABC có BAC = 1350. Từ B và C lần lượt kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AC và AB tại D và E gọi AH là đường cao của tam giác ABC.
a/ Chứng minh các tam giác ABD và ACE là các tam giác vuông cân.
b/ Có thể khẳng định rằng AH, BD, CE cùng đi qua một điểm không? vì sao
Bài 4: Cho tam giác ABC cân ở A, hai đường cao BD và CE cắt nhau ở I(D thuộc AC, E thuộc AB). Tia AI cắt BC ở M, Chứng minh rằng:
a/ M là trung điểm của BC
b/ Tam giác MED là tam giác cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuong tại A. Đường cao AH, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và CH. CHứng minh
a/ M là trực tâm của tam giác ANB
b/ BM vuông góc với AN.
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC, đường cao AH. 
a/ Chứng minh góc BAH nhỏ hơn góc HAC
b/ Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Chứng minh tam giác ABD là tam giác cân
c/ Từ D kẻ DE vuông góc với AC, từ C kẻ CF vuông góc với AD. Chứng minh rằng AH, DE, CF cùng đi qua một điểm.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, biết rằng góc A bằng 300. Kẻ đường cao BD và trên tia BD lấy điểm K sao cho BK = AB.
a/ Chứng minh rằng ABK là tam giác đều.
b/ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: CH = 2CD.
Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BM, CN. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho BD = AC, trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho CE = AB. Chứng minh
a/ Tam giác ACE bằng tam giác BDA
b/ Tam giác AED vuông cân.
Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE. Gọi M là trung điểm của AB.
a/ Chứng minh tam giác DME cân
b/ Gọi I là trung điểm của DE. C/m IM là đường trung trực của DE
c/ Tính góc C nếu biết MD vuông góc với ME
Toán 8 :
Cho tam giác ABC , các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H 
Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF 
Chứng minh AB.AF = AC.AE = AH.AD
Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 
Hãy chỉ ra những câu tương tự câu 1, 2 và 3 
Chứng minh AH.HD = BH.HE
Chứng minh góc EFC = góc EBC 
Chỉ ra những câu tương tự câu 5, 6
Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC2
Chỉ ra những câu tương tự câu 7
Chứng minh H cách đều 3 cạnh của tam giác DEF
11)Chứng minh 
12)Gọi M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC , AC , AB , AH , BH , CH . CHứng minh MQ , RN , FS đồng quy 
13)Qua B và C kẻ các tia Bx , Cy lần lượt vuông góc với AB và AC . Bx cắt Cy tại D , chứng minh A, M , D thẳng hàng 
14)Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực , G là trọng tâm tam giác ABC .Chứng minh O , G , H thẳng hàng ( Đường thẳng Ơle) 
15)Ra câu hỏi tương tự câu 12
16) Chứng minh 
17) Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh
a) D ABE D ACF
b) AE . CB = AB . EF
c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh H, I, D thẳng hàng. 
Bài 2: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
 a) CMR : AE . AC = AF . AB
 b) CMR AFE ACB
 c) CMR: FHE BHC
 d ) CMR : BF . BA + CE . CA = BC2 
Toán 9 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Các tứ giác AEHF, nội tiếp .( Chỉ ra các tứ giác nội tiếp tương tự )
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.(Chỉ ra bộ 4 điểm cùng nằm trên đường tròn tương tự )
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.( Chỉ ra các đẳng thức tích tương tự )
H và M đối xứng nhau qua BC.( Chỉ ra các cặp điểm đối xứng tương tự )
5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
6)Chứng minh OA vuông góc với EF ( Bằng 3 cách ) ( Chỉ ra câu tương tự )
7) Chứng minh EF//NP ( Chỉ ra các cặp đường thẳng song song tương tự)
8)Gọi I , K , Q lần lượt là trung điểm của BC , AC , AB .S , T , R lần lượt là trung điểm của AH , BH , CH . CHứng minh 9 điểm D , I , R , K , E , S , Q , F , T cùng thuộc 1 đường tròn 
9) Chứng minh QE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE 
(Chỉ ra câu hỏi tương tự ) 
10)Chứng minh tứ giác FERD nội tiếp ( Chỉ ra các tứ giác nội tipế tương tự )
11) Chứng minh OI = AH , ( Chỉ ra các câu tương tự )
12)Đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD cắt đường tròn (O) tại L . CHứng minh QL vuông góc với CL ( Chỉ ra câu tương tự ) 
13) Giả sử cho BC cố định . điểm A di động trên cung lớn BC .
Chứng minh BH.BE + CH.CF luông không đổi khi A đi động 
14)Cho góc BAC = 600 . 
a)Tính độ dài cạnh BC , độ dài cung BC nhỏ, diệc tích hình quạt BOC , hình viên phân BCB 
b) chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC luôn đi qua 1 điểm cố định .
15) Các bài tập có vận dụng ba đường cao 
Bài tập 1
 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC tại E. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) 
c) CA là phân giác của 
d)Chứng minh AB , CD , ME đồng quy 
Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của góc BCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
d) Chứng minh AB , CD , EF đồng quy 
 e) Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai M , giao điểm của BD và CF là N .
 Chứng minh FA là phân giác của góc BFM
 f) Chứng minh BE.DN = EN.BD
Bài tập 4
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G .
 Chứng minh : 
	a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . 
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . 
	c) AC song song với FG . 
	d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . 
Bài tập 5
 Cho tam giác vuông ABC (; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đương tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn.
b. CM là phân giác của góc .
 .
Bµi tËp 6
Cho DABC cã c¸c gãc ®Òu nhän vµ . VÏ ®êng cao BD vµ CE cña DABC. Gäi H lµ gia ®iÓm cña BD vµ CE.
Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp.
TÝnh tØ sè 
c) Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC. Chøng minh OA ^ DE