Bài tập rèn luyện tổng hợp nâng cao môn Hình học Lớp 9

 BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP
 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) . Gọi E là giao điểm của AB,CD . 
 F là giao điểm của AC và BD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC tại điểm K khác 
 D . Tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại M .
 a) Chứng minh tứ giác BKCM nội tiếp
 b) Chứng minh E,M ,F thẳng hàng.
 2) Cho đường tròn (O) đường kính AB . Trên tiếp tuyến tại A của 
 (O) lấy điểm C. Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm giữa 2 tia 
 CA,CO , D,E Î (O), D nằm giữa C,E ). Gọi M là giao điểm của 
 CO và BD , F là giao điểm của AM và (O) , F ¹ A)
 a) Vẽ tiếp tuyến CN của (O) . Chứng minh CNMD là tứ giác nội tiếp 
 b) Vẽ AH ^ OC tại H . Chứng minh ADMH là tứ giác nội tiếp.
 c) Chứng minh E,O,F thẳng hàng.
 3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD < BC) . Gọi I là giao điểm 
 của AC và BD . Vẽ đường kính CM ,DN . Gọi K là giao điểm 
 của AN, BM . Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn 
 ngoại tiếp tam giác NOC tại điểm J khác C . 
 a) Chứng minh KBNJ là tứ giác nội tiếp
 d) Chứng minh I ,K ,O thẳng hàng.
 4) Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) . Đường tròn (I ) đường kính 
 BC cắt AB,AC tại F,E . BE cắt CF tại H . AH cắt BC tại 
 D . Chứng minh các tứ giác BFHD,IFED nội tiếp.
 5) Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại 
 H . Vẽ HI ^ EF tại I ,HK ^ DE tại K , 
 IK Ç AD = M ,FM Ç DE = N . Gọi S là điểm đối xứng của B 
 qua D . Chứng minh tứ giác FIMH,HMNK nội tiếp và 
 M·AN = D·AS
 6) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC 
 B,C là hai tiếp điểm) và một cát tuyến ADE đến (O) sao cho ( 
330 ADE nằm giữa 2 tia AO,AB , D,E Î (O),Đường thẳng qua D 
 song song với BE cắt BC,AB lần lượt tại P,Q . Gọi K là điểm 
 đối xứng với B qua E . Gọi H,I là giao điểm của BC với 
 OA,DE
a) Chứng minh OEDH là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm A,P,K thẳng hàng.
7) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC (
 B,C là hai tiếp điểm). Từ điểm K nằm trên cung BC (K ,A nằm 
 cùng phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB,AC tại M ,N . BC cắt 
 OM ,ON tại P,Q . Gọi I là giao điểm của MQ,NP . Chứng minh 
 MBOQ,NCOP là các tứ giác nội tiếp. 
8) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) . Đường tròn (O) đường 
 kính BC cắt AB,AC tại E,D . BD cắt CE tại H , các tiếp tuyến 
 của (O) tại B,D cắt nhau tại K ,AK Ç BC = M ,MH Ç BK = N . 
 Vẽ tiếp tuyến AS của (O) với (S thuộc cung nhỏ CD) , 
 KD Ç AH = I , MH ÇOA = L . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ABC cắt AK tại T . 
a) Chứng minh các tứ giác TKDB,BELO nội tiếp 
b) Ba điểm N, E, I thẳng hàng. 
c) Ba điểm M , E, D thẳng hàng.
d) Ba điểm M , S, H thẳng hàng.
9) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao 
 BE,CD cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC . Giả sử (O) 
 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED tại N . 
a) Chứng minh N, H, M thẳng hàng.
b) Giả sử AN cắt BC tại K . Chứng minh K, E, D thẳng hàng.
10) Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) . Gọi Q, R là tiếp điểm của (O) 
 với AB, AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC,CA. 
 Đường thẳng BO cắt MN tại P .
a) Chứng minh ORPC là tứ giác nội tiếp
b) Ba điểm P,Q, R thẳng hàng.
 331 11) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . 
 Từ A ta dựng các tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn đường kính 
 BC . 
 a) Chứng minh các tứ giác AMDN, MNDO nội tiếp
 b) Chứng minh ba điểm H, M , N thẳng hàng.
 12) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại 
 điểm H . Gọi M , N là trung điểm của AH, BC . Các phân giác của 
 góc ·ABH, ·ACH cắt nhau tại P . 
 a) Chứng minh 5 điểm B,C, E, P, F nằm trên một đường tròn. Điểm 
 P là trung điểm cung nhỏ EF .
 b) Ba điểm M , N, P thẳng hàng.
 13) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại 
 điểm H .Đường thẳng EF cắt nhau tại điểm M . Gọi O là trung 
 điểm BC . Giả sử các đường tròn ngoại tiếp các tam giác 
 OBF,OCE cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là P .
 a) Chứng minh các tứ giác EFPH, BCHP, MEPB là tứ giác nội tiếp.
 b) Chứng minh OPM là tam giác vuông.
 14) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là điểm H . Gọi M , N là chân 
 các đường cao hạ từ B,C của tam giác ABC .Gọi D là điểm trên 
 cạnh BC . Gọi w1 là đường tròn đi qua các điểm B, N, D gọi 
 w2 là đường tròn đi qua các điểm C, D, M . DP, DQ lần lượt là 
 đường kính của w1 , w2 . Chứng minh P,Q, H thẳng hàng. 
 IMO 2013 
 15) Cho tam giác ABC có B· AC là góc lớn nhất. Các điểm P,Q thuộc 
 cạnh BC sao cho Q· AB B· CA,C· AP ·ABC . Gọi M , N lần lượt là 
 các điếm đối xứng của A qua P,Q . Chứng minh rằng: BN,CM cắt 
 nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . (IMO 2014)
 16) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy một điểm P trên 
 cung BC không chứa điểm A của (O) . Gọi K là đường tròn đi 
 qua A, P tiếp xúc với AC . (K) cắt PC tại S khác P . Gọi L là 
332 đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB . (L) cắt PB tại T 
 khác P .Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC .
 a) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác DPC . 
 b) Ba điểm S, D,T thẳng hàng.
17) Cho tam giác ABC , trên hai cạnh AB,AC lần lượt lấy hai điểm 
 E, D sao cho ·ABD ·ACE . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 
 cắt tia CE tại M , N .Gọi H là giao điểm của BD,CE . Đường tròn 
 ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD tại I, K
 a) Chứng minh 4 điểm M , I, N, K cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Gọi F là giao điểm thứ 2 của các đường tròn ABD ,(AEC) . 
 Chứng minh A, H, F thẳng hàng.
 c) Chứng minh : Tam giác AMN cân tại A .
18) Cho tam giác ABC có (O),(I),(Ia ) theo thứ tự là tâm đường tròn 
 ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh 
 A của tam giác. Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC; P điểm chính 
 ¼
 giữa cung BAC của (O) , PIa cắt O tại điểm K . Gọi M là giao 
 điểm của PO và BC
a) Chứng minh: IBIaC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 Ia MP 
 · ·
c) Chứng minh: DAI KAIa .
19) Cho đường tròn tâm O bán kính R và một dây cung BC cố định 
 có độ dài BC R 3 . Điểm A thay đổi trên cung lớn BC . Gọi 
 E, F là điểm đối xứng của B,C lần lượt qua AC, AB . Các đường 
 tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACF cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là 
 K .
a) Chứng minh điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định
b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và 
 tìm giá trị lớn nhất đó theo R
 333 c) Gọi H là giao điểm của BE,CF . Chứng minh tam giác 
 ABH# AKC và đường thẳng AK luôn đi qua điểm cố định.
 20) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC 
 B,C là hai tiếp điểm) và một cát tuyến ADE đến (O) sao cho ( 
 ADE nằm giữa 2 tia AO,AB , D,E Î (O), Gọi F là điểm đối 
 xứng của D qua AO , H là giao điểm của EF,BC . Chứng minh: 
 A,O,H thẳng hàng.
 21) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC 
 B,C là hai tiếp điểm) và một cát tuyến AEF đến (O) sao cho ( 
 · ·
 AEF nằm giữa 2 tia AO,AB , F,E Î (O) và BAF < FAC ) Vẽ 
 đường thẳng qua E vuông góc với OB cắt BC tại M cắt BF tại 
 N . Vẽ OK ^ EF .
 a) Chứng minh: EMKC nội tiếp
 b) Chứng minh đường thẳng FM đi qua trung điểm của AB
 22) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) .Các đường cao AD,BE,CF 
 cắt nhau tại H . Tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại G . 
 GD Ç EF = S . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Giả sử 
 EF Ç BC = T ,AT Ç(O) = K
 a) Chứng minh 5 điểm A,K ,F,E,H cùng nằm trên một đường tròn
 b) Chứng minh M ,S,H thẳng hàng.
 23) Cho (O) và (d) không giao nhau. Vẽ OH ^ (d) lấy hai điểm A,B 
 thuộc (d) sao cho HA = HB . Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) . 
 Dựng các cát tuyến qua H,A,B và điểm M cắt đường tròn (O) lần 
 lượt tại C,D,E , DE Ç(d) = S . Dựng đường thẳng qua O ^ CE 
 cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K .Dựng ON ^ DE tại N .
 a) Chứng minh tứ giác HNCS là tứ giác nội tiếp
 b) Ba điểm S,C,K thẳng hàng
 24) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là (O) tiếp xúc với ba 
 cạnh BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F . Trên đoạn OD lấy điểm I 
 và dựng đường tròn tâm I bán kính ID . Dựng BG,CH là các tiếp 
 tuyến của (I ) tại G,H . Gọi M = BG ÇCH , N = EF Ç BC
334 a) Chứng minh EHGF nội tiếp
b) Ba điểm N,G,H thẳng hàng.
25) Cho 3 đường tròn (O),(O1),(O2) biết (O1),(O2) tiếp xúc ngoài với 
 nhau tại điểm I và (O1),(O2) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại 
 M 1,M 2 . Tiếp tuyến của (O1) tại I cắt (O) lần lượt tại A,A ' . 
 Đường thẳng AM 1 cắt (O1) tại điểm N 1 , đường thẳng AM 2 cắt 
 (O2) tại điểm N 2 .
a) Chứng minh tứ giác M 1N 1N 2M 2 nội tiếp và OA ^ N 2N 1
b) Kẻ đường kính PQ của (O) sao cho PQ ^ AI ( Điểm P nằm trên 
 cung AM 1 không chứa điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM 1,PM 2 
 không song song thì các đường thẳng AI ,PM 1,QM 2 đồng quy.
26) Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác 
 tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại M ,N,P . Đường 
 thẳng NP cắt BO,CO lần lượt tại E,F
a) Chứng minh các góc O·EN,O·CA bằng nhau hoặc bù nhau.
b) Chứng minh 4 điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường 
 tròn.Chứng minh O,M ,K thẳng hàng. Biết K là tâm đường tròn 
 ngoại tiếp tam giác OEF .
27) . Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ 
 AH ^ BC (H Î BC ) và BE vuông góc với đường kiính 
 AD (E Î AD).
a) Chứng minh HE / / DC .
b) Qua trung điểm K của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song 
 với AC cắt BC tại M . Chứng minh DMHE cân.
 335 28) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ). Vẽ đường cao AD và 
 đường phân giác trong AO của tam giác ABC (D,O thuộc BC ). 
 Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại M ,N .
 a) Chứng minh các điểm M ,N,O,D,A cùng thuộc một đường tròn.
 · ·
 b) Chứng minh BDM = CDN .
 c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I . Đường 
 thẳng AI cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm cạnh BC .
 29) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C,D là hai 
 điểm di động trên nửa đường tròn sao cho C thuộc cung AD và 
 · 0
 COD = 60 (C khác A và D khác B ). Gọi M là giao điểm của 
 tia AC và BD , N là giao điểm của dây AD và BC .
 a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn và tính khoảng 
 cách từ A,B đến đường thẳng CD .
 b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm CD và MN . Chứng minh 
 R 3
 H,I ,O thẳng hàng và DI = .
 3
 c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MCD theo R .
 30) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB . Giả sử M là điểm 
 chuyển động trên nửa đường tròn này, kẻ MH vuông góc với AB 
 tại H . Từ O kẻ đường thẳng song song với MA cắt tiếp tuyến tại 
 B với nửa đường tròn (O) ở K .
 a) Chứng minh bốn điểm O,B,K ,M cùng thuộc một đường tròn.
 b) Giả sử C,D là hình chiếu của H trên đường thẳng MA và MB . 
 Chứng minh ba đường thẳng CD,MH,AK đồng quy.
336 c) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AH và BH . Xác định vị trí 
 M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn nhất.
31) Cho hình vuông ABCD , trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho 
 BI = BA . Đường thẳng đi qua I vuông góc với BD cắt AD tại 
 E , AI cắt BE tại H .
a) Chứng minh rằng AE = ID .
b) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F . 
 Chứng minh rằng: DF.DA = EH.EB .
32) Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. 
 Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm 
 E,F .
a) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn 
 (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF .
b) Cho A là một điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa điểm M của 
 đường tròn đường kính OM (A khác E và F ). Đoạn thẳng OA 
 cắt đoạn thẳng EF tại B . Chứng minh OA.OB = R2 .
c) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kỳ thuộc cung EF chứa 
 điểm I của đường tròn (O;R)(N khác E và F ). Gọi d là đường 
 thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P , d 
 cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F ). Hai 
 đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q . Chứng minh rằng: 
 3
 PN.PK + QN.QK £ R2 .
 2
33) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là 
 điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Hai đường thẳng AP và BC 
 cắt nhau tại M . Chứng minh rằng: 
 337 · ·
 a) ABP = AMB .
 b) MA.MP = BA.BM .
 34) Cho hai đường tròn (O;R) và (O ';R ') cắt nhau tại I và J 
 (R ' > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó chúng cắt 
 nhau ở A . Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với 
 (O ';R '),D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O;R) (điểm I và 
 điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O 'A ). Đường thẳng AI cắt 
 (O ';R ') tại M (điểm M khác điểm I ).
 a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD . Chứng minh 
 KB 2 = KI .KJ , từ đó suy ra KB = KD .
 b) AO ' cắt BC tại H . Chứng minh bốn điểm I ,H,O ',M nằm trên 
 một đường tròn.
 c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 
 tiếp VIBD .
 35) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , trên nửa đường tròn 
 lấy điểm C (cung BC nhỏ hơn cung AB ), qua C dựng tiếp 
 tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D . Kẻ CH vuông góc với 
 AB (H Î AB), kẻ BK vuông góc với CD (K Î CD); CH cắt 
 BK tại E .
 ·
 a) Chứng minh CB là phân giác của DCE .
 b) Chứng minh BK + BD < EC .
 c) Chứng minh BH.AD = AH.BD .
 36) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho P là điểm 
 bất kỳ trên đoạn BC sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP 
338 cắt đoạn AB tại N khác B và đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 OCP cắt đoạn AC tại M khác C .
 · ·
a) Chứng minh rằng OPM = OAC .
 · · · · 0
b) Chứng minh rằng MPN = BAC và OBC + BAC = 90 .
c) Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác PMN .
37) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho 
 trước) lấy hai điểm M ,N (M ,N khác A,B ) sao cho M thuộc 
 ¼
 AN và tổng các khoảng cách từ A,B đến đường thẳng MN bằng 
 R 3 .
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R .
b) Gọi I là giao điểm của AN và BM , K là giao điểm của AM và 
 BN . Chứng minh bốn điểm M ,N,I ,K cùng nằm trên một đường 
 tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R .
c) Tìm GTLN của diện tích tam giác KAB theo R khi M ,N thay đổi 
 trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.
38) Cho hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại hai điểm A và B . Vẽ 
 đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O ') tại D sao cho 
 A nằm giữa C và D . Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của 
 (O ') tại D cắt nhau tại E .
a) Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp
b) Chứng minh rằng BE.DC = CB.ED + BD.CE .
 339