Bộ đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT - Môn Toán (có đáp án)

1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI NỘI 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĔM HỌC 2017 – 2018 
Môn thi: TOÁN 
Ngày thi: 09 tháng 6 nĕm 2017 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề 
Bài 1: (2,0 điểm) 
Cho hai biểu thức xA
x
2
5
 và xB
xx
3 20 2
255
 với x 0 ; # 25x 
1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 
2) Chứng minh rằng B
x
1
5
. 
3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B x. 4 . 
Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình 
Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không 
đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 
10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. 
Bài 3: (2,0 điểm) 
1) Giải hệ phương trình x y
x y
2 1 5
.
4 1 2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d y mx: 5. 
a) Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của m . 
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P y x 2: tại hai điểm phân 
biệt có hoành độ lần lượt là x x
1 2
, (với x x
1 2
 ) sao cho x x
1 2
 . 
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M và N lần lượt là điểm 
chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây 
MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K . 
1) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng thuộc một đường tròn. 
2) Chứng minh NB NK NM2 . . 
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 
4) Gọi P Q, lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và 
E
 là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh ba điểm 
D E K, ,
 thẳng hàng. 
Bài 5: (0,5 điểm) 
Cho các số thực a b c, , thay đổi luôn thỏa mãn: a b c1, 1, 1 và ab bc ca 9 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c2 2 2 . 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
2 
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: 
Bài Phần Nội dung Điểm 
Bài I 
(2,0đ) 
1) 
Khi x = 9 thì: 
9 2 3 2 5A
3 5 29 5
0.5 
2) 
3 x 5 20 2 x3 20 2 xB
x 25x 5 x 5 x 5
3 x 15 20 2 x x 5 1
x 5x 5 x 5 x 5 x 5
Vậy 1B
x 5
 với x 0, x 25 . 
0.75 
3) 
Với x 0, x 25 , ta có: 
 A B. x 4
x 2 1
x 4
x 5 x 5
x 2 x 4
x 2 x 2 x 2
1 x 2 do x 2 0
x 2 1
x 2 1
  
x 9
x 1
 (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy x 9;1 là giá trị cần tìm. 
0.75 
Bài II 
(2,0đ) 
Đổi 36 phút = 3
5
 giờ 
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) (x > 0) 
 Vận tốc của ô tô là x + 10 (km/h). 
Thời gian xe máy đi từ A đến B là 120
x
 (giờ) 
Thời gian ô tô đi từ A đến B là 120
x 10 (giờ) 
Ta có phương trình: 120 120 3
x x 10 5
Giải phương trình được: x1 = 40 (thỏa mãn điều kiện) 
 x2 = – 50 (không thỏa mãn điều kiện) 
Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h, 
 vận tốc của ô tô là 40 + 10 = 50 (km/h). 
2.0 
3 
Bài III 
(2,0đ) 
1) 
ĐK: x 0, y 1 
x 2 y 1 5 x 2 y 1 5 9 x 9
x 2 y 1 54 x y 1 2 8 x 2 y 1 4
x 1x 1 x 1
y 5y 1 21 2 y 1 5
 (thỏa mãn điều kiện) 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 5). 
0.75 
2a) 
Thay x = 0, y = 5 vào phương trình y = mx + 5, ta được: 
5 m.0 5 5 5 
 (đúng với mọi m) 
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) 
0.5 
2b) 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 
2 2
x mx 5 x mx 5 0 
 (*) 
Vì ac = – 5 < 0 nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu 
 (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2, với 
1 2 1 2x 0 x (do x x ) 
Mà 1 2x x nên: 
 1 2x x 0 m 0 (theo hệ thức Vi-ét) 
Vậy m < 0 là giá trị cần tìm. 
0.75 
Bài IV 
(3,5đ) 
0.25 
1) 
Ta có 1 1N ,C là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung nhỏ MA, MB 
Mà MA MB (GT) 
1 1N C 
 Bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn (theo bài toán cung chứa 
góc) 
0.75 
2) 
Ta có 1 1B ,M là các góc nội tiếp chắn lần lượt các cung nhỏ NC, NB 
Mà NC NB (GT) 
1 1B M 
 NBK và NMB có: 1 1BNM chung, B M 
 NBK NMB (g.g) 
2NB NK NB NK.NM
NM NB
0.75 
2
1
2
1
1
I
M
N
C
OH
KB
A
1
1 1
2
4 
3) 
Xét đường tròn đi qua bốn điểm CNKI có: 
 12N K (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI) 
Mà 2N ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O)) 
1K ABC 
Do hai góc ở vị trí đồng vị nên KI // BH 
Chứng minh tương tự ta được HI // BK 
Tứ giác BHIK có các cạnh đối song song nên là hình bình hành. 
Cách 1: 
Vì MA MB nên 2 1C C , hay CM là tia phân giác của góc ACB 
Tương tự, AN là tia phân giác của góc BAC 
 ABC có hai đường phân giác AN và CM cắt nhau tại I 
 BI là đường phân giác thứ ba của ABC 
Hình bình hành BHIK có BI là đường phân giác của góc B nên là hình thoi. 
Cách 2: 
Vì 1 2H ,K là các góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên: 
1 2
1 2
sđ sđ sđ sMA NB MB NC
 H , K
2 2
H K do MA MB , NB N
đ
C
 BHK cân tại B BH = BK 
Hình bình hành BHIK có BH = BK nên là hình thoi. 
Nhận xét: Phần này có nhiều cách chứng minh. 
0.75 
4) 
(P) có góc M1 là góc nội tiếp, góc P1 là góc ở tâm cùng chắn cung BK 
1 1
1M P
2
Mà PBK cân tại P (vì PB = PK) 
0
1 0 0
1 1
180 P 1PBK 90 P 90 M
2 2
 (1) 
(O) có đường kính DN đi qua N là điểm chính giữa của cung BC 
DN BC 
 và DN đi qua trung điểm của BC 
 DBC cân tại D 
1.0 
1
P
Q
B K
O
C
N
M
1
3
1
E
D
5 
0
0180 BDC 1DBC 90 BDC
2 2
Trong (O), dễ thấy 1 1M BDC
2
0
1DBC 90 M (2) 
Từ (1) và (2) PBK DBC 
 ba điểm D, P, B thẳng hàng 
Lại có 1 1P BDC ( 2M ) và hai góc ở vị trí đồng vị 
 PK // DC 
Chứng minh tương tự được ba điểm D, Q, C thẳng hàng và QK // DB 
Do đó, PK // DQ và QK // DP 
 Tứ giác DPKQ là hình bình hành 
 E là trung điểm của đường chéo PQ thì E cũng là trung điểm của đường 
chéo DK 
Vậy ba điểm D, E, K thẳng hàng. 
Có thể chứng minh ba điểm D, P, B thẳng hàng theo các cách sau: 
Cách 2: 
Từ PBK cân và 01 1 11M P PBK M 90
2
Từ 0DN BC DBK BDN 90 
0
1 1DBK M 90 (do BDN M ) 
PBK DBK ba điểm D, P, B thẳng hàng. 
Cách 3: 
(P) có góc M1 là góc nội tiếp nên 1 1M BK
2
sđ 
Mà 1 1 1
1M B B BKnên
2
sđ 
Suy ra BN là tiếp tuyến tại B của (P) 
BN PB 
Lại có 0DBN 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) 
BN DB 
Do đó ba điểm D, P, B thẳng hàng. 
Bài V 
(0,5đ) 
Ta có: 2 2 2(a b) 0 a b 2ab 
Tương tự: 2 2 2 2b c 2bc ; c a 2ca 
Suy ra: 2 2 22(a b c ) 2(ab bc ca) P 9 
Dấu “=” xảy ra a b c ab bc ca 3 a b c 3 
Vậy min P 9 a b c 3 
0.25 
Dựa theo lời giải của thầy Bùi Vĕn Tuân (Hà Nội) 
Vì a 1,b 1 nên: 
(a 1)(b 1) 0 ab a b 1 0 a b ab 1 
Tương tự: b c bc 1 ; c a ca 1 
Do đó: 
0.25 
6 
2
2 2 2
 2(a b c) ab bc ca 3
2(a b c) 12
a b c 6
(a b c) 36 (do a b c 0)
a b c 2(ab bc ca) 36
P 2.9 36
P 18
Dấu “=” xảy ra trong ba số a, b, c có ít nhất hai số bằng 1 
Nhưng ba số a, b, c không thể đồng thời bằng 1 vì ab bc ca 9 
 Có hai số bằng 1, do đó số còn lại bằng 4. 
Vậy max P 18 (a,b,c) 4;1;1 , 1;4;1 , 1;1;4 
Thầy Nguyễn Mạnh Tuấn 
Trường THCS Cẩm Hoàng – Cẩm Giàng – Hải Dương 
7 
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
ĐỘC LẬP -TỰ DO -HẠNH PHÚC 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĔM 2017 
Môn thi: Toán 
(Dùng cho mọi thí thi vào trường chuyên) 
Thời gian: 120 phút 
Câu 1(2 điểm) 
Cho biểu thức 
2
3
3 2 2
2 2
2
2
:
11
b
a a b
a a ab a b baP
a b a bb
a a b
a a
với,
2
, 0, ,a b a b a b a . 1.Chứng minh rằng .P a b 
2.Tìm a,b biết 3 31 & 7P a b 
Câu 2(1 điểm) 
Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn 2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
Tính giá trị biểu thức 2 2
1 1 2
1 1 1
P
x y xy
Câu 3(2 điểm) 
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): 2 4y ax a (với a là tham số 
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi 1
2
a 
2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2;x x 
thỏa mãn 1 2 3x x 
Câu 4 (1 điểm) Anh nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C).Anh 
Nam đi với vận tốc không đổi a(km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn 
lại anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t (tính bằng giờ) kể từ B là 8v t a 
(km/h).Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là 24S t at .Tính quãng đường AB biết rằng 
đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16km. 
Câu 5 (3 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến 
của đường tròn (O) tại các điểm B,C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chân đường các đường 
vuông góc kẻ từ P xuống các đường thẳng AB và AC và M là trung điểm cạnh BC. 
1. Chứng minh MEP MDP  
2. Giả sử B, C cố định và A chạy trên (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn 
Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 
3. Khi tam giác ABC đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. 
Câu 6 (1 điểm) Các số thực không âm 1 2 3 9, , ,....,x x x x thỏa mãn 
1 2 3 9
1 2 3 9
.... 10
2 3 .... 9 18
x x x x
x x x x
Chứng minh rằng: 1 2 3 91.19 2.18 3.17 .... 9.11 270x x x x 
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
8 
Phần hướng dẫn 
Vòng 1 
Câu 2 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
1 1 2 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 0 1 ( ) 2
x y xy x xy y xy
xy y xy x
xy y y xy x x
x xy y xy
x y xy xy vi x y S
Câu 2 
a) Phương trình hoành độ (d) và (P) là 2 2 4 0x ax a 0' 4 0
4
a
a a
a
b) Với 0
4
a
a
 theo Viét 
1 2
1 2
2
4
x x a
x x a
 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
3 9 2 2 9
4 8 8 9
x x x x x x x x x x
Ta co a a a
 Với a<0 2 2 14 8 8 9 4 16 9 0
2
a a a a a a
Với a>4 2 2
3
24 8 8 9 4 9
3
2
a dk
a a a a
a dk
Câu 5 
 a)Xét hai tứ giác nội tiếp BDPM và CEPM và tam giác MBC cân 
I
M
D
E
P
O
B
C
A
9 
MEP MBP MBP MDP    
b) 
0 0180 ; 180
(1); (2); tu(1)(2) / /
/ /
BAC ABC ACB CBP ABC PBD
ACB PBD DMP ACB MPE DMP MPE MD PE
Tuong tu ME DB tgMEDP la hinh binh hanh IM IP
      
        
Vậy DE đi qua trung điểm PM 
c) 
Ta có A; O,M, P thẳng hàng 1 .
2ADE
S DE AI Tính được 
2
3 3 3 9 23; ;AI= ; ABC dd
2 2 4 4 3
3 3 1 9 3 3 27 3
. .
2 2 4 2 16ADE
R R R R BC AMAB R OA R AM ADE
DB AI
R R R RDE S
Câu 4 
Vì xe đến C dừng hẳn nên thời gian xe đi từ B đến C thỏa mãn 8 0
8
a
t a t do đó quàng đường 
BC là 
2 2
2 24 16 4 16 256 16
8 8
1,5. 24( )AB
a aS t at a a
S a km
Câu 6 
I
M
D
E
P
O
B
C
A
10 
1 2 3 9
1 2 3 9
1 2 3 9
1 2 3 9
1 2 3 9
1 2 3 9 2 3 4 8 2 3 4
9 ... 90
9 ... 90
19 29 39 ... 99 270
10 2 3 ... 9 180
1.19 2.18 3.17 ... 9.11
(19 29 39 ... 99 ) 7 12 15 ... 7 270 7 12 15 ..
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Mat khac
x x x x
x x x x x x x x x x x
 8
1
9
2 3 8
. 7 270
9
" " 1
... 0
x
x
Dau xay ra x
x x x
Hàng nĕm sau khi thi song mình sưu tầm và giải lại các đề thi chuyên SP, KHTN,Chuyên HV và 
một số tỉnh lưu trữ để làm tư liệu giảng dạy. Phần hướng dẫn trên vừa sưu tầm vừa bổ sung thêm có thể 
chưa chính xác chưa hay mong các bạn đồng nghiệp tham khảo và bổ sung thêm để làm tài liệu giảng 
dạy nhé. 
GV biên tập và hướng dẫn 
Nguyễn Minh Sang;Đinh Vĕn Hưng 
 THCS Lâm Thao-Phú Thọ 
11 
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
ĐỘC LẬP -TỰ DO -HẠNH PHÚC 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĔM 2017 
Môn thi: Toán 
(Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin) 
Thời gian: 150 phút 
Câu 1. (1.5 điểm) 
Cho các số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng trong 4 số 
2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1;b ;c ;da
b c c d d a a b
 Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. 
Câu 2. (1.5 điểm) 
Giải phương trình: 
 2 22 22 2 22 4 1 1 2017x x x x x x x 
Câu 3. (3.0 điểm) 
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4;c ; 98a b d a d 
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số 2 1 12; 2 2; ;x x x x
x x
 có đúng một số 
không phải là số nguyên. 
Câu 4. (3điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O).Kẻ hai tiếp tuyến MA, 
MB tới đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). 
Gọi I; K là trung điểm MA, MC.Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. 
1. Chứng minh 2 2 2KO KM R 
2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. 
3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm KE 
đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F 
cùng nằm trên một đường tròn. 
 Câu 5. (1.0 điểm) 
--------------Hết------------- 
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Xét hình bên: Ta viết các số 1, 2,3,4,..9 vào 
vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho 
mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng 
ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18. 
Hai cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số 
viết ở các điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của 
mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu 
cách viết phân biệt? Tại sao? 
G
K
H
C
D
E
F
B
A
12 
Vòng 2 
Câu 1. (1.5 điểm) 
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì 
2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1b c d 3P a
b c c d d a a b
 Mặt khác 
2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1b c d 2
1 1 1 1 44 ;
16 16 16 163 . . 12
4 4
P a a b c d
b c c d d a a b a b c d
Do a b c d a b c d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
P
a b c d a b c d a b c d a b c d
Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. 
Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình 2 22 22 2 22 4 1 1 2017x x x x x x x 
ĐKXĐ x R 
2 22 22 2 2
4 3 2 2 2 2 4 3 2
2 22 2 2 2
2 4 1 1 2017
2 4 4 8 8 2 1 2 2017
2 2 1 2017 2 2 1 2017 2016
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Câu 3. (3.0 điểm) 
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4;c ; 98a b d a d 
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số 2 1 12; 2 2; ;x x x x
x x
 có đúng một số 
không phải là số nguyên. 
Hướng dẫn 
1.Giả sử 31 21 2 3. . .... nx xx x na p p p p trong đó 1; 2;..., np p p là các số nguyên tố 1 2; ;...; nx x x N 
Tượng tự 31 21 2 3.q .q ....q ny yy y nd q trong đó 1; 2;...,qnq q là các số nguyên tố 1 2; y ;...; yny N 
Ta có a,d >1 
Vì 31 2 2 22 22 3 31 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3. . .... 2 ,2 ,2 ,...,2 3 , , ,..., 3 ,nx xx x na p p p p b x x x x x x x x a x x Z 
Chứng minh tương tự 3, ( )d y y Z từ giả thiết 
3 3 2 2
2 2 2 2 2 2 2
22 2 22
98 98 98 0
2
11 1
98 3 3 97 01 1 98
a d x y x y x xy y vi a d x y
x y x xy y x xy y x y x xy y
x yx y x y
y Z x Z
x xy y y yy y y y
Hoặc 
13 
 22 2 22
3
2 52 2
49 2 15 0 5 02 2 49
3 0
5; 3
y
x y xx y x y
x xy y y y yy y y y
x
x y
 Vậy 3 35 125; 3 27; 25; 81a d b c 
2.Nếu 1 1;x x
x x
 nguyên ta có 1 1 2x x x Z x Q
x x
 suy ra 22; 2 2x x đều không 
là số hữu tỷ do vậy một trong hai số 1 1;x x
x x
 không là số nguyên khi đó 
2 22; 2 2 2 2 2x x Z x x Z 
Đặt 
22 22 ,( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1
2 2 1 1 0 1
x a a Z x a a a Z
a Z a a
Thử lại đúng vậy 2 1x 
Câu 4. (3điểm) 
H
P
L
N
F
D
I
K
C
Q
E
OM
B
A
14 
a) Ta có IM = IA và KM = KC IK là đường trung bình AMC / /IK AC . 
AC = AB (2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = R OM là trung trực của AB OM AB 
 IK OM . Gọi IK cắt OM tại H.Áp dụng định lý py ta go ta có cho các tam giác vuông 
; ; ,MHI KHO MHK OHI ta có 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2;KO ; ;OMI MH HI KH HO MK MH HK I KH HO 
 suy ra 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2MI KO MK IO KO KM IO MI IO IA OA R (vì IM = IA) 
Vậy: 2 2 2KO KM R 
b) Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC Suyra 2 2 2KO KM R 2 2 2KO KC R 
 2 2 2 ( )( ) .KC KO OP KO OP KO OP KQ KP 
 Ta lại có KQ.KP = KD.KA 
2
. ( . , )KC KD KA CKD AKD c g c DCK KAC DBM ∽
 Vậy tứ giác MDCB nội tiếp. 
c) Gọi L là trung điểm của KD ta có AEM MAK EMK vì ( . . )MKD AKM c g c ∽ AE//KM 
Mặt khác ta có . . . .KF KE KD KA KF KN KL KA ANFL nội tiếp 
Suy ra LAF LNF MEK FMK (vì 2 2. .KF KE KD KA KC KM ) hay 
KAF KMF tugiacMKFA 
 nội tiếp , , .AFN AMK AIN I A N F cùng thuộc một đường 
tròn 
 Câu 5. (1.0 điểm) 
 Ta thấy có 2 số la 9 và 8 trong dãy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm A (tương tự B,C) 
không thể điền số 1 vì nếu trái lại thì B,F phải điền cặp 8,9;tại C,E điền cặp 8,9 
Điều này vô lí.Tương tự tại D,E,F cũng không thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H, G,K 
Xét trường hợp số 1 được điền tại G (tương tự tại H,K) khi đó E điền số 8,F điền số 9 (hoặc ngược 
lại).Giả sử tại A điền a;C điền c, D điền d, K điền k,tại H điền k+1, 
tại B điền c +1. khi đó a,d;c; c+1,k,k+1 phân biệt thuộc 2,3,4,5,6,7 
Khi đó 
 
9
9 3;5;7 7( )
2 17
a c
d k d thu d thoa man
d c
Vậy a=4;c=5;k=2 có 3.2=6 (cách) 
G
K
H
C
D
E
F
B
A
15 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĔM HỌC 2017 – 2018 
Môn thi: TOÁN 
Ngày thi: nĕm 2017 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 
a) 50 2P . 
b) 1 1 1:
42 2
Q
xx x
với 0, x 4x . 
Câu 2. (2,5 điểm) 
a) Cho đường thẳng ( ) :d 2y mx m và đường thẳng 1( ) :d 5 1y x . Tìm giá trị m để đường thẳng 
 d và 1d song song với nhau. 
b) Cho phương trình 2 22 2 0x m x m ( m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có 
hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 23 3 28.x x 
Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 km với vận tốc dự 
định trước. Sau khi đi được 1
3
 quãng đường, do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên trên quãng 
đường còn lại người đó phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc dự định ban đầu 10 km/h. Tính 
vận tốc dự định và thời gian người đó đã đi từ A đến B , biết người đó đến muộn hơn dự định 
20
 phút.file word đề-đáp án Zalo 0946095198 
Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O , đường kính AB cố định. H là điểm cố định thuộc đoạn OA 
( H không trùng O và A ). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O 
tại C và D . Gọi K là điểm tùy ý thuộc cung lớn DC 
( K không trùng các điểm ;C D và B ). Gọi I là giao điểm của AK và DC . 
a) Chứng minh tứ giác HIKB nội tiếp đường tròn. 
b) Chứng minh . . .AI AK AH AB 
c) Chứng minh khi điểm K thay đổi trên cung lớn DC của đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại 
tiếp tam giác KCI luôn thuộc một đường thẳng cố định. 
Câu 5. (1,0 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực không âm thỏa mãn 1a b c . 
Chứng minh 2 4 1 1 1 .a b c a b c 
------HẾT----- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
Giám thị không giải thích gì thêm. 
 Họ tên thí sinh....................................................... Số báo danh.......................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
16 
STT 26. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ TĨNH 
NĔM HỌC 2017-2018 
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 
a) 50 2P . 
b) 1 1 1:
42 2
Q
xx x
với 0, x 4x . 
Lời giải 
 a) 
50 2P 
25.2 2 25. 2 2 
5 2 2 4 2 . 
b) 
Với 0, 4x x ta có: 1 1 1:
42 2
Q
xx x
 2. . 42 2x xx x 
2.
. 4 2
4
x
x x
x
 . 
Câu 2. (2,5 điểm) 
a) Cho đường thẳng ( ) :d 2y mx m và đường thẳng 1( ) :d 5 1y x . Tìm giá trị m để đường thẳng 
 d và 1d song song với nhau. 
b) Cho phương trình 2 22 2 0x m x m ( m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có 
hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 23 3 28.x x 
Lời giải 
 a) 
Đường thẳng d song song với 1d khi và chỉ khi 5 52 1
m
m
m
 . 
b). 
Phương trình có hai nghiệm khi: 2 2' ( 2) 0 4 4 0 1m m m m (1). 
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 2
1 2
2( 2)
.
x x m
x x m
 (2). 
Ta có: 1 2 1 2 1 23 3 28 3 19.x x x x x x (3). 
Thay (2) vào (3) ta có 2 26( 2) 19 6 7 0m m m m 
1m 
 hoặc 7m . 
 Đối chiếu điều kiện (1) ta được 1m . 
17 
Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 km với vận tốc dự 
định trước. Sau khi đi được 1
3
 quãng đường, do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên trên quãng 
đường còn lại người đó phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc dự định ban đầu 10 km/h. Tính 
vận tốc dự định và thời gian người đó đã đi từ A đến B , biết người đó đến muộn hơn dự định 
20 phút. 
Lời giải 
Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x ( 10x , tính bằng km/h); 20 phút 1
3
 (giờ). 
Thời gian người đó dự định để đi từ A đến B là 60
x
 (giờ). 
Thời gian người đó đi trong 1
3
 quãng đường đầu là 20
x
 (giờ). 
Thời gian người đó đi 2
3
 quãng đường còn lại là 40
10x (giờ). 
Theo bài ra ta có phương trình: 20 40 60 1 40 40 1
10 3 10 3x x x x x
2 4010 1200 0
30
x
x x
x
 . 
Ta thấy 30x không thỏa mãn. Vậy vận tốc dự định là 40 km/h. 
Thời gian người đó đi bằng: 60 1 11
40 3 6
 (giờ) tức là 1 giờ 50 phút. 
Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O , đường kính AB cố định. H là điểm cố định thuộc đoạn OA 
( H không trùng O và A ). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O 
tại C và D . Gọi K là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD ( K không trùng các điểm ;C D và B ). 
Gọi I là giao điểm của AK và CD . 
a) Chứng minh tứ giác HIKB nội tiếp đường tròn. 
b) Chứng minh . . .AI AK AH AB 
c) Chứng minh khi điểm K thay đổi trên cung lớn CD của đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại 
tiếp tam giác KCI luôn thuộc một đường thẳng cố định. 
Lời giải 
Q
A O
B
C
D
I
K
H
18 
a) Tứ giác HIKB có 090IHB (gt). 
090IKB AKB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra tứ giác HIKB nội tiếp đường tròn (đpcm). 
b) Xét AIB và AHK có góc A chung, có IKH IBH (cùng chắn cung HI của đường tròn ngoại 
tiếp tứ giác HIKB ). 
Suy ra AIB đồng dạng với AHK . 
Suy ra AI AB
AH AK
 . .AI AK AH AB (đpcm). 
c) Đường kính AB vuông góc với dây CD tại H (gt), suy ra HC HD AC AD 
Suy ra s sđ AC đ AD . 
Suy ra ACD AKC (cùng chắn hai cung bằng nhau). 
Mặt khác tia CA và điểm K nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng CI . 
Suy ra CA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI tại tiếp điểm C . 
(H/s có thể chứng minh 2 .AC AI AK để suy ra CA là tiếp tuyến). 
Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI , suy ra Q nằm trên đường thẳng vuông góc với CA tại 
C . 
Mặt khác CB CA (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra Q thuộc đường thẳng CB cố định (đpcm). 
Câu 5. (1,0 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực không âm thỏa mãn 1a b c . 
Chứng minh 2 4 1 1 1 .a b c a b c 
Lời giải 
Từ giả thiết: 1 1a b c a b c ;1 b a c ;1 c a b 
Suy ra 2 4 1 1 1a b c a b c 
 ( ) ( ) 4a b b c a b b c c a 
Đặt ; y ; z x a b b c c a , , 0x y z 
Suy ra x 2,y z ta phải chứng minh 4x y xyz 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 ( ).x y z x y z x y z suy ra 2 2 ( ).x y z 
suy ra 1 x y z , do 0x y suy ra 2( )x y x y z (1) 
Mặt khác 2 4 ,x y xy do 0z suy 2 4y yzzx x (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 4x y xyz suy ra bài toán được chứng minh. 
HẾT 
TÊN FACEBOOK CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA GIẢI ĐỀ 
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: HẢI HẠNH TRẦN 
NGƯỜI PHẢN BIỆN: TRẦN MẠNH TRUNG 
19 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĔM HỌC 2017 – 2018 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề 
(Đề thi gồm có 01 trang) 
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 
 1) (2 1)( 2) 0x x 2) 3 5
3
x y
x y
Câu 2 (2,0 điểm) 
 1) Cho hai đường thẳng (d): 2y x m và (d’): 2( 2) 3y m x . Tìm m để (d) và (d’) song 
song với nhau. 
 2) Rút gọn biểu thức: P = 2 1:
2 2 2
x x x x
x x x x x
 với 0; 1; 4x x x . 
Câu 3 (2,0 điểm) 
 1) Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt 
mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi 
trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? 
 2) Tìm m để phương trình: 2 5 3 1 0x x m ( x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 1 2;x x thỏa 
mãn 3 31 2 1 23 75x x x x . 
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến 
MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường 
tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H 
là giao điểm của MO và AB. 
 1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn 
 2) Chứng minh: MN2 = NF.NA và MN = NH 
 3) Chứng minh: 22HB EF 1HF MF . 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn: 3a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: M = 2 2 21 1 11 1 1
a b c
b c a
 . 
--------------------------------------- Hết --------------------------------------- 
Họ và tên thí sinh: . .. Số báo danh: 
Chữ kí của giám thị 1: .. Chữ kí của giám thị 2: 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
20 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG 
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĔM HỌC 2017 – 2018 
Câu Nội dung chính Điểm 
1.1 Giải phương trình: (2 1)( 2) 0x x 
1,0 
Ta có: 
2 1 0(2 1)( 2) 0
2 0
x
x x
x
 0,25 
Với 12 1 0
2
x x 0,25 
 Với 2 0 2x x 0,25 
Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 ; 2
2
x x 0,25 
1.2 Giải hệ phương trình sau: 3 5 (1)3 (2)
x y
x y
 1,0 
Từ phương trình (2) thay 3y x vào phương trình (1) ta được: 3 3 5x x 0,25 
 1x 
0,25 
Với 1 2x y 0,25 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1
2
x
y
 0,25 
2.1 Cho hai đường thẳng (d): 2y x m và (d’): 
2( 2) 3y m x . Tìm m để (d) và (d’) 
song song với nhau. 1,0 
Để hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau thì: 
21 2
2 3
m
m
 0,25 
2 1
1
m
m
 0,25 
1
1
m
m
 0,25 
 1m . Vậy m = -1 là giá trị cần tìm. 0,25 
2.2 Rút gọn biểu thức: P = 2 1:
2 2 2
x x x x
x x x x x
 với 0; 1; 4x x x . 1,0 
Ta có: P = 2 1:
( 1)( 2) ( 2) 2
x x x x
x x x x x
 0,25 
 =
2 ( 1) 2
.
( 1)( 2) 1
x x x x x
x x x
 0,25 
 =
2 2
( 1)( 1)
x
x x
 0,25 
 =
2(1 ) 2
( 1)( 1) 1
x
x x x
 0,25 
3.1 
Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ 
I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 
1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy 
1,0 
Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy. 
ĐK: , *x y N . Theo giả thiết ta có: 900x y (1) 0,25 
21 
Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai: 
Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máy 
Theo giả thiết ta có: 1,1 1,12 1000x y (2) 
0,25 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 900
1,1 1,12 1000
x y
x y
 0,25 
Giải hệ phương trình được 400
500
x
y
 (thỏa mãn) 
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết. 
0,25 
3.2 
Tìm m để phương trình: 2 5 3 1 0x x m ( x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 1 2;x x 
thỏa mãn 3 31 2 1 23 75x x x x . 1,0 
Để PT có hai nghiệm 1 2;x x thì: 25 12 4 0 29 12 0m m 2912m 0,25 
Ta có: 3 3 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 75 ( )[( ) ] 3 75 0x x x x x x x x x x x x (*) 
Theo định lý Vi-et ta có: 1 2
1 2
5
3 1
x x
x x m
 thay vào (*) ta được 
1 2 1 2( )(26 3 ) 3(3 26) 0 ( 3)(26 3 ) 0x x m m x x m 
0,25 
 1 2
26
3
3 0
m
x x
Kết hợp với điều kiện thì m = 263 không thỏa mãn. 
0,25 
Kết hợp 1 2 3 0x x với hệ thức Vi - et ta có hệ: 
1 2 1
1 2 2
1 2
3 0 1
5 4
3 1 5 ( / )
3
x x x
x x x
x x m
m t m
.Vậy m = 5
3
 là giá trị cần tìm. 0,25 
4.1 Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn 1,0 
Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1). 
0,25 
 Ta có 090MAO , 090MBO (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính) 0,25 
 Suy ra: 0180MAO MBO 0,25 
 Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 0,25 
4.2 Chứng minh: MN2 = NF.NA và MN = NH 1,0 
Ta có E / /A MO EA M EMN , mà AEM MAF 
suy ra
EMN MAF 
0,25 
N H
F
E
M O
A
B
22 
NMF 
 và NAM có: MNA chung; EMN MAF 
nên NMF đồng dạng với NAM 
 2 . 1NM NA NM NF NA
NF NM
0,25 
Mặt khác có: ABF AEF ABF EMN hay HBF FMH 
 MFHB là tứ giác nội tiếp 
FHM FBM FAB 
hay FHN NAH 
0,25 
Xét NHF và NAH có: ANH chung; NHF NAH 
 NHF đồng dạng NAH 
 2 . 2NH NA NH NF NA
NF NH
Từ (1) và (2) ta có NH = HM 
0,25 
4.3 Chứng minh: 
2
2
EF 1HB
HF MF
 . 1,0 
Xét AFM và AME có: AME chung, MAF MEA 
suy ra AFM đồng dạng với AME 0,25 
ME MA AE
MA MF AF
2
2
ME AE
MF AF
 (3) 
Vì MFHB là tứ giác nội tiếp 0 090 90MFB MHB BFE và 090AFH AHN 
AFE BFH 
0,25 
AEF 
 và HBF có: EFA BFH ; FEA FBA 
suy ra AEF đồng dạng với HBF 
2 2
2 2
AE HB AE HB
AF HF AF HF
 (4) 
0,25 
Từ (3) và (4) ta có 
2 2 2 2
2 2 2 21 1
ME HB MF FE HB FE HB HB FE
MF HF MF HF MF HF HF MF
 0,25 
5 
Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn: 3a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
M = 2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b c
b c a
 . 
1,0 
Vì: 
2
2 2
1 ( 1)1
1 1
a b a
a
b b
 ; 
21 2b b 
 nên 
2
2
1 ( 1)1 1
1 2 2
a b a ab b
a a
b b
Tương tự: 21 11 2
b bc cb
c
 ; 2
1 1
1 2
c ca a
c
a
0,25 
Suy ra M ( ) ( )3
2
a b c ab bc ca
a b c 3 ( )3
2
ab bc ca 0,25 
Chứng minh được: 23( ) ( ) 9ab bc ca a b c 3ab bc ca 
3 ( ) 0
2
ab bc ca . Suy ra M 3. 0,25 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 
Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3. 0,25 
Ghi chú: 
- Thực tế học sinh có thể có cách làm khác. Nếu học sinh làm đúng, cách làm phù hợp thì phần đó 
vẫn đạt điểm tối đa. 
23 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI PHÒNG 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĔM HỌC 2017 – 2018 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề 
(Đề thi gồm có 02 trang) 
Câu 1. (1,5 điểm) 
Cho hai biểu thức: 
 22 8 50– 2 1A= ; 
 1 11 11xB = x x +x –x––
  
 (với 0; 1x x ). 
a) Rút gọn các biểu thức , ;A B 
b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức A gấp hai lần giá trị biểu thức B . 
Câu 2. (1,5 điểm) 
a) Tìm các giá trị của m để cả hai đường thẳng 2 –y x m và 1 –1y m x cùng cắt trục hoành tại điểm 
có hoành độ 1x = – . 
b) Giải hệ phương trình sau 
3 2 2 1 0
.
3 2 2 7
x y
x y x
Câu 3. (2,5 điểm) 
1. Cho phương trình: 2 1 0x m x m (1) (với x là ẩn số, m là tham số). 
a) Giải phương trình (1) với 4m ; 
b) Xác địnhcác giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2;x x thoả mãn điều kiện: 
 1 2 23 20 3 3 .x x x 
2. Bài toán có nội dung thực tế: 
“Em có tưởng tượng được hai lá phổi (gọi tắt là phổi) của mình chứa khoảng bao nhiêu lít không khí hay 
không? Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó hai yếu tố quan trọng là chiều 
cao và độ tuổi. 
Sau đây là một công t