Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9: Số học phương trình nghiệm nguyên

CHUYÊN ĐỀ: SỐ HỌC
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
	Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
 	 Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ, để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
 Phương pháp dùng tính chất chia hết
 Phương pháp xét số dư từng vế
 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
 Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
 Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).
Hướng dẫn giải
Ta có và nên (vì (2,13) = 1).
Đặt thay vào (1) ta được: 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên .
Hướng dẫn giải
Ta có 
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1.
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23
Từ đó , Để , do (7,23) = 1.
Đặt 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 	
Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Từ (2) suy ra , mặt khác 
Thay vào (2) ta có: 
Ta có: .Suy ra: 
Với t = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t = 1 ta có: . Mặt khác x, y nguyên dương nên x = 3, y = 2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp: 
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
	Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: trong đó là các biểu thức nguyên, c là một số nguyên.
Xét các trường hợp theo ước của c.
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Hướng dẫn giải
(2x + 3) và (2y - 5) là các ước số của 7 nên ta có: 
2x + 3
1
-1
7
-7
2y - 5
7
-7
1
-1
x
-1
-2
2
-5
y
6
-1
3
2
Vập phương trình có các nguyện nguyên là (x, y) = (-1, 6); (-2, -1); (2, 3); (-5, 2).
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Hướng dẫn giải
Vì x, y nguyên nên từ PT(*) ta có các trường hợp sau:
1) 2) 
3) 4) 
Vậy các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3).
Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với :
Suy ra (x + y + 6) và (x – y + 6) là ước của 36. 
Kết quả ta tìm được các nghiệm nguyên là
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: 
Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình: 
Hướng dẫn giải
 Nhận xét: trong phương trình này ẩn y có bậc nhất nên rút y theo x.
Ta có: 
 Với x = 2 thì: (vô lý)
Với ta có: 
Để y nguyên thì . Vậy (x – 2) là ước của 3 do đó: 
Vậy phương trình có nghiệm: (x, y) = (3; - 1) ; (5; -5); (1; -5); (-1; - 1)
Bài toán 2. Tìm các số nguyên dương x, y sao cho (1)
Hướng dẫn giải
Ta có: 
	Như vậy x muốn nguyên dương thì (3 – y) phải là ước của – 33. Hay 
 Lại do . Ta có bảng sau: 
3 - y
-1
1
-3
-11
-33
y
4
2
6
14
36
x
19
- 14
8
4
3
	Thử lại ta được các cặp thỏa mãn là (19, 4); (8, 6); (4, 14); (3, 36).
Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải
 Ta có: 
Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình (1). 
Chia cả 2 vế của (1) cho (x – 1) ta được: 
PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra nguyên nên 
Thay x = 2 và x = 0 vào phương trình và để ý đến y nguyên ta được y = 1.
Vập phương trình đã cho có 2 nghiệm là (2; 1) và (0; 1).
II. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẴN LẺ CỦA ẨN HOẶC XÉT SỐ DƯ TỪNG VẾ
* Cơ sở phương pháp: Chúng ta dựa vào tính chẵn lẻ của ẩn hoặc xét số dư hai vế của phương trình nghiệm nguyên với một số nguyên nào đó rồi dùng lập luận để giải bài toán.
* Ví dụ minh họa: 
Dạng 1: Sử dụng tính chẵn lẻ
Bài toán 1. Tìm x, y nguyên tố thoả mãn 
Hướng dẫn giải
Ta có là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1
⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3
	Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (2, 3).
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn, lẻ
có x(x + 1) chẵn, y chẵn ⇒ lẻ ⇒ = 1 ⇒ x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được
(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0⇒ y = 4 hoặc y = ( loại)
Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (0, 4).
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ và xét số dư từng vế
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Ta thấy vế trái phương trình là số chia cho 3 dư 2 nên chia cho 3 dư 2 
Do đó chỉ có thể và 
Khi đó: 
Thử lại: thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình là với 
Bài toán 2. Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn 
Hướng dẫn giải
 Xét . Mà x ∈ N ⇒ x = 55
Xét y > 0 ⇒ chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại)
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = (55,0)
Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Do x là số nguyên nên ta có thể biểu diễn x dưới dạng: hoặc hoặc với 
- Xét x = 5k thì 
Điều này là vô lý vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn vế phải không chia hết cho 5.
- Xét thì 
Điều này là vô lý cũng vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn vế phải không chia hết cho 5.
- Xét thì 
Điều này là vô lý cũng vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn vế phải không chia hết cho 5.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển
* Cơ sở phương pháp: 
Trong nhiều bài toán ta thường sử dụng bất đẳng thức để chứng minh một vế không nhỏ hơn (hoặc không lớn hơn) vế còn lại. Muốn cho phương trình có nghiệm thì dấu bằng của bất đẳng thức phải xảy ra đó là nghiệm của phương trình.
	Một số bất đẳng thức Cổ điển thường được sử dụng như: 
1. Bất đẳng thức Cauchy (tên quốc tế là AM – GM)
Nếu là các số thực không âm thì: 
Đẳng thức xảy ra khi 
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số thực bất kì và ta có 
Đẳng thức xảy ra khi tồn tại số thực k sao cho với i = 1, 2, 3, , n.
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: 
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 
 Dấu “=” xảy ra khi x = 1.
Dấu “=” xảy ra khi x = y.
Do x, y dương nên nhân 2 vế của bất đẳng thức trên ta được 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 	
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ giải ra được nghiệm (x, y, z) = (3, 2, 9).
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau 
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy nguyệm nguyên của phương trình là (x, y) = (1, 1).
Bài toán 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Với và ta có: 
Vậy hoặc 
Nếu x = -2 hoặc x = 2 thì phương trình không có nghiệm nguyên.
Thử x = -1, 1, 0 ta thấy phương trình có 3 nghiệm (0;0), (1; - 1), (-1; 1).
Dạng 2: Sắp xếp thứ tự các ẩn
* Cơ sở phương pháp:
Khi phương trình đối xứng với các ẩn , ta thường giả sử để
giới hạn miền nghiệm của phương trình và bắt đầu đi tìm từ nghiệm bé nhất trở đi
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Giả sử . Ta có: 
Chia 2 vế cho z dương ta được 
Do đó x = y = 1. Thay vào phương trình ban đầu ta được: 2z = z + 2 hay z = 2.
	Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (x, y, z) = (1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 1, 1).
Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 
Hướng dẫn giải
Do x, y, z có vai trò như nhau nên ta giả sử: 
Khi đó: 
Với x = 1 phương trình đã cho vô nghiệm.
Với x = 2 ta có: . Mặt khác 
+) y = 2 thì phương trình vô nghiệm.
+) y = 3 thì z = 6
+) y = 4 thì z = 4
Với x = 3 ta có: . Mặt khác 
Vậy phương trình có nghiệm là (x, y, z) = (2, 3, 6); (2, 4, 4); (3, 3, 3).
Dạng 3: Chỉ ra nghiệm nguyên
* Cơ sở phương pháp: Chúng ta xét từng khoảng giá trị của ẩn còn được thể hiện dưới dạng: chỉ ra một hoặc vài số là nghiệm của phương trình, rồi chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 
Hướng dẫn giải
Chia hai vế của phương trình cho ta được: 
Thử thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình trên.
Với x = 2 thì VT = VP = 1 thỏa mãn bài toán.
Với và 
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 
Hướng dẫn giải
Thử thấy x = 0; x = 1; x = 2 không thỏa mãn 
Với x = 3 thì (đúng)
Với x ≥ 3 thì 
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
IV. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Dạng 1: Dùng tính chất về chia hết của số chính phương
* Cơ sở phương pháp: 
- Số chính phương không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8;
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố thì cũng chia hết cho 
- Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1;
- Số chính phương chia 4 có số dư là 0 hoặc 1;
- Số chính phương chia cho 8 có số dư là 0, 1 hoặc 4.
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Số chính phương chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9, ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chia hết cho 9. Do đó phương trình vô nghiệm.
Cách khác: 
Ta có chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương do đó không tồn tại y nguyên. Vậy phương trình vô nghiệm.
Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng , trong đó là các đa thức hệ số nguyên, là số nguyên dương, là số tự nhiên
* Cơ sở phương pháp: 
Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ , đưa phương trình về dạng trên. Sau đó dựa vào tính chất các để phân tích thành (với ), dẫn đến giải hệ phương trình 
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành hai số chính phương là và 
Do đó: 
Giải ra ta được 4 nghiệm (x, y) = (2, 3); (-1, -2); (-2; -1); (3, 2).
Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên .
Hướng dẫn giải
Ta có 
Xét phương trình (*) ta có: 
Mà x nguyên nên 
* Với thì (loại)
* Với 
- y = 2 
- y = 0 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: .
Dạng 3: Xét các số chính phương liên tiếp
* Cơ sở phương pháp: 
Phương pháp này dựa trên nhận xét sau: 
1. Không tồn tại thỏa mãn: với 
2. Nếu với thì n = a + 1. Tương tự với lũy thừa bậc 3	
3. Nếu 
Thì với 	
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Nên
Do đó: 
Kết hợp với (1) ta có: 
Nghiệm của phương trình là: (0;1) và (-1;0).
Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Hướng dẫn giải
Ta có: nên 
Do đó: hoặc 
Nếu kết hợp với (3) ta có: 
Nếu Phối hợp với (3) ta có , lúc đó x = 1.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (-1; -1) và (1; 0).
Dạng 4: Sử dụng điều kiện là số chính phương
* Cơ sở phương pháp: 
Với phương trình nghiệm nguyên có dạng có thể viết dưới dạng phương trình bậc 2 đối với một trong 2 ẩn chẳng hạn ẩn x, ngoài điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên thì phải là số chính phương. Vận dụng điều này ta có thể giải được bài toán.
Chú ý: là số chính phương chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ để phương trình có nghiệm nguyên, do đó sau khi tìm được giá trị cần thử lại vào phương trình ban đầu.
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Coi phương trình (1) là phương trình ẩn y tham số x ta có: 
Để phương trình có nguyện nguyên thì phải là số chính phương hay với 
 giải ra ta được x = 2 hoặc x = -2.
Với x = 2 thì y = 3
Với x = -2 thì y = -5
Vậy phương trình có 2 nghiệm (x, y) = (2, 3) ; (-2, -5).
Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên 
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho viết lại: 
Do x nguyên nên coi phương trình (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có:
Để phương trình có nguyện nguyên thì phải là số chính phương.
-Xét x = 0 thì từ (1) suy ra y = 0.
-Xét thì phải là số chính phương do đó với m là số nguyên, ta có ta tìm được x = 2 hoặc x = -2 
Với x = 2 thay vào (2) ta được: 
Với x = -2 thay vào (2) ta được: 
Nghiệm nguyên của phương trình là (x, y) = (2, 1); (2, -2); (-2, -1); (-2, 2).
V. PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN
Dạng 1: Phương pháp lùi vô hạn
* Cơ sở phương pháp: 
Dùng để chứng minh phương trình f(x, y, z, ...) ngoài nghiệm tầm thường 
x = y = z = 0 thì không còn nghiệm nào khác. Phương pháp này diễn giải như sau:
	 Giải sử là nghiệm của phương trình f(x, y, z, ...), nhờ phép biến đổi suy luận ta tìm được bộ nghiệm khác sao cho các nghiệm này có quan hệ với nghiệm ban đầu tỷ số k nào đó. Ví dụ ;...
	Rồi từ bộ có quan hệ với bởi tỷ số k nào đó.
Ví dụ. Quá trình này dẫn đến chia hết cho vớ s là số tự nhiên tùy ý, điều này xảy ra khi x = y = z = 0. Chúng ta đi đến ví dụ cụ thể như sau:
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau 
Hướng dẫn giải
Gọi là nghiệm của phương trình trên. Xét (mod 3) ta chứng minh chia hết cho 3. Thật vậy rõ ràng vế phải chia hết cho 3 suy ra . Ta có do đó 	 
	Đặt thế vào rút gọn ta được . 
Thế vào và rút gọn ta được: . Do đó nếu là nghiệm của phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình trên. Tiếp tục suy luận như trên dẫn đến điều này xảy ra khi 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (0, 0, 0)
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử là nghiệm nguyên của phương trình khi đó đặt thay vào (1) ta được: đặt khi đó:
đặt khi đó: .
Vậy cũng là nghiệm của phương trình.
Quá trình này tiếp tục thì được: là các nghiệm nguyên của (1) với mọi k điều này chỉ xảy ra khi Vậy ( 0, 0, 0 ) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Dạng 2: Nguyên tắc cực hạn
* Cơ sở phương pháp: 
Về hình thức phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử dụng thì như nhau, đều chứng minh phương trình ngoài nghiệm tầm thường không còn nghiệm nào khác.
	Phương pháp bắt đầu bằng việc giả sử là nghiệm của phương trình f(x, y, z, ...) với điều kiện rằng buộc với bộ . Ví dụ như nhỏ nhất hoặc nhỏ nhất . Bằng phép biến đổi số học ta tìm được bộ nghiệm kháctrái với điều kiện rằng buộc trên. Ví dụ khi tìm được bộ với nhỏ nhất ta lại tìm được bộ thỏa mãn từ đó dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm . 
* Ví dụ minh họa: 
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau 
Hướng dẫn giải
Giải sử là nghiệm của phương trình trên với điều kiện nhỏ nhất.
Từ phương trình (1) suy ra t là số chẵn. Đặt thế vào phương trình (1) và rút gọn ta được: rõ ràng chẵn. Đặt chẵn . Đặt chẵn. 
Đặt cũng là nghiệm của phương trình trên và dễ thấy (vô lý) do ta chọn nhỏ nhất. Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất 
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình
a) 
b) 
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 10: Tìm những số tự nhiên lẻ để là số chính phương.
Bài 11: Tìm các số nguyên sao cho 
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình 
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Bài 16: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
Bài 17: Tìm nghiệm của phương trình: 
Bài 18: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2 (1)
Bài 19: Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 20: Tìm tất cả các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 
Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên dương trong đó p là số nguyên tố.
Bài 22: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Bài 23: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 24: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: 
Bài 25: Tìm nghiệm dương của phương trình 
Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Bài 27: Giải phương trình trên tập số nguyên
Bài 28: Tìm số tự nhiên x và số nguyên y sao cho 
Bài 29: Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 
Bài 30: Tìm tất cả các cặp (x, y, z) là các số nguyên thỏa mãn hệ phương trình:
Bài 31: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn các đẳng thức: 
Bài 32: Tìm số thực a để các nghiệm của phương trình sau đều là số nguyên:
Bài 33: Tìm các số nguyên dương x và y thoả mãn phương trình:
Bài 34: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 
Bài 35: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 36: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn .
Bài 37: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 38: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 42: Tìm x, y nguyên sao cho 
Bài 43: Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình
Bài 44: Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 
Bài 45: Tìm nghiệm của phương trình: 
Bài 46: 1) Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn 
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thoả mãn 
Bài 47: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: 
Bài 48: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 49: Tìm các số nguyênthỏa mãn 
Bài 50: a) Chứng minh không tồn tại các bộ số nguyên (x, y, z) thỏa mãn 
 b) Tìm tất cả các nguyện nguyên thỏa mãn đẳng thức 
Bài 51: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Bài 52: Tính tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn: 
Bài 53: Cho phương trình với là ẩn và 9! Là tích các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9
a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên thỏa mãn (1) thì đều chia hết cho 4
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên thỏa mãn (1).
Bài 54: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 55: Tìm các số nguyên thỏa mãn đồng thời: và .
Bài 56: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện 
Bài 57:Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 58: Tìm nguyên dương thỏa mãn: 
Bài 59: Tìm cặp số nguyên thỏa mãn 
Bài 60: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 61: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức 
Bài 62: Tìm tất cả cặp số nguyên thỏa mãn 
Bài 63: Tìm tất cả bộ số nguyên thỏa mãn 
Bài 64: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn .
Bài 65: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 66: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 
.
Bài 67: Tìm tất cả các số tự nhiên để phương trình (ẩn số ) có các nghiệm là số nguyên.
Bài 68: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 
Bài 69: Tìm các số nguyên không âm thỏa mãn: .
Bài 70: Tìm tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 
Bài 71: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình .
Bài 72: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Bài 73: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 74: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn: .
Bài 75: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Bài 76: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m;n) thỏa mãn phương trình 
2m.m2 = 9n2 -12n +19.
Bài 77: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Bài 78: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn .
Bài 79: Tìm x, y thỏa mãn: 
Bài 80: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 81: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 
Bài 82: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: .
Bài 83: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 84: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Bài 84: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 
Bài 85: Giải phương trình nghiệm nguyên 
Bài 86: Tìm số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 
Bài 87: Tìm tất cả các cặp nguyên thỏa mãn .
Bài 88: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : .
Bài 89: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình
.
Bài 89: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Bài 90:Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 91: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Bài 92: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình .
Bài 93: Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình 
Bài 94: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Bài 95: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
Bài 96: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 97: Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 
Bài 98: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Bài 99: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn .
Bài 100: Tìm thỏa mãn .
ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ FERMATS ĐỂ CHỨNG MINH CHIA HẾT.
I. Lý thuyết:
1. Định lý Fermat nhỏ. Cho a là số nguyên dương và p là số nguyên tố. Khi đó ta luôn có . Đặc biệt nếu (a, p) =1thì . 
Chứng minh:
Giả sử gcd(a, p) = 1.
Xét các số nguyên a, 2a, , (p – 1).a mà các số dư khi chia cho p là đôi một phân biệt (nếu không thì, với thì ). Do đó 
Vì gcd(p, (p-1)!) = 1 nên ta suy ra điều phải chứng minh.
* Hệ quả: Nếu p là số nguyên tố và a không là bội của p thì 
II. Bài tập vận dụng:
Bài 1. Chứng minh rằng với n N :
 a) ; 
 b) .
Hướng dẫn giải
a) Theo Định lý Fermat nhỏ , do 7 là số nguyên tố nên 26 1 (mod 7).
Ta có 4 1 (mod 3) 4n 1 (mod 3) 2.4n 2 (mod 6) . Nghĩa là 
22n + 1 = 2(22)n = 2. 4n 2 (mod 6) 22n + 1 = 6k + 2 , (k N)
Mặt khác 23n = (23)n = 8n 1 (mod 7) 3. 23n 3 (mod 7).
Do đó 26k + 2 + 3 22. (26)k + 3 22.1 + 3 0 (mod 7).
 b) Do 11 là số nguyên tố nên 210 1 (mod 11) 
Ta có 16 1 (mod 5) 16n 1 (mod 5) 2.16n 2 (mod 10). Nghĩa là 
24n + 1 = 2(24)n = 2.16n 2 (mod 10) 24n + 1 = 10k + 2, (k N)
Mặt khác 12 1 (mod 11) 125n + 1 1 (mod 11) 2. 125n + 1 2 (mod 11); 
Do 102 1 (mod 11) 102n 1 (mod 11) 5.102n 5 (mod 11).
Vì thế 210k + 2 + 2 + 5 22 + 7 0 (mod 11).
Bài 2. Cho là 2016 số nguyên dương . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để là 
Hướng dẫn giải
Theo định lý Fermat nhỏ , do 2; 3; 5 là các số nguyên tố và a là số nguyên dương bất kỳ ta có : 
 a2 a (mod 2) a4 = (a2)2 a2 a (mod 2) a5 a (mod 2) 
 a3 a (mod 3) a5 = a3. a2 a.a2 a3 a (mod 3)
 a5 a (mod 5) 
Theo tính chất nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng đồng dư với nhau theo mô đun là BCNN của các môđun ấy.
Do đó: a5 a (mod 2.3.5) hay a5 a (mod 30) a5 – a 0 (mod 30)
Nghĩa là – 0 (mod 30)
 Vậy 
Bài 3. Cho A = với n N*. Chứng minh rằng A là một hợp số.
Hướng dẫn giải
Theo định lý Fermat nhỏ, do 11 là số nguyên tố nên ta có
 210 1 (mod 11) 210n 1 (mod 11)
 210n + 1 = 2. 210n 2 (mod 22) 210n + 1 = 22k + 2 (k N)
Do 23 là số nguyên tố ta cũng có 222 1 (mod 23) 4 (mod 23) 4 + 19 0 (mod 23) Tức là A 23. Mà A > 23, nên A là hợp số.
Bài 4. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 
Hướng dẫn giải
Theo định lý Fermat nhỏ ta có 2p 2 (mod p) nên nếu 2p – 1 (mod p) thì ta có 
3 0 (mod p) p = 3.
Mặt khác khi p = 3 thì 23 + 1 = 9 0 (mod 3) . Vậy p = 3 là số cần tìm.
Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p tồn tại vô số số có dạng chia hết cho p, (n N).
Hướng dẫn giải
* Nếu p = 2 thì 2n – n 2, n = 2k (k). 
* Nếu p 2 do (2 ; p) = 1 nên theo định lý Fermat bé ta có :
 2p-1 1 (mod p) 2p-1 – 1 0 (mod p) – 1 0 (mod p) .
Hay là – 1 p (k; k 2).
 Mặt khác (p – 1)2k (– 1)2k 1 (mod p) 
 – (p – 1)2k = 
Vậy tồn tại vô số số tự nhiên n có dạng n = (p – 1)2k, (k; k 2) sao cho 2n – n p.
Bài 6. Cho số nguyên a không chia hết cho 5 và 7. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Đặt 
Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta có: 
 và do a không chia hết cho 5 và 7.
Vì 
Lại có: 
Vậy (vì (5, 7) = 1)
Bài 7: Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng chia hết cho pq.
Hướng dẫn giải
Áp dụng dụng định lí Fermat nhỏ ta có (do q nguyên tố). (1)
Vì p, q là các số nguyên tố nên gcd(p,q)=1.
Từ (1) suy ra (2)
Từ (2) suy ra (3)
Vì p, q có vai trò như nhau nên (4)
Mà gcd(p,q)=1 nên từ (3) và (4) suy ra .
Bài 8 : Cho p là số nguyên tố bất kỳ khác 2 và khác 5. Chứng minh rằng trong dãy 9, 99, 999, 9999, . Có vô số số hạng chia hết cho p.
Hướng dẫn giải
Do p là số nguyên tố khác 2 và khác 5 nên gcd(p,10)=1 (1)
Vì p là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó với mọi n nguyên dương thì với n nguyên dương.
Mặt khác . Từ đó suy ra tồn tại vô số số hạng của dãy 9, 99, 999, 9999, . chia hết cho p.
III. Bài tập tự luyện:
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 22. 
Bài 2. Cho Chứng minh rằng : không chia hết cho 19.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7 chia hết 
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 
Bài 5. Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, b.
Bài 6. Cho x, y là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 7 thì x hoặc y chia hết cho 7.
Bài 7. Cho a là số nguyên dương. Chứng minh rằng bất cứ thừa số nguyên tố nào lớn hơn 2 của đều có dạng 4m + 1.