Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức – Min, Max (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của M 5x2 y2 z2 4x 2xy z 1 
 Lời giải
Ta có:
 1 9
M x2 2xy y2 4x2 4x 1 z2 z 
 4 4
 2 
 2 2 1 9 9
 x y 2x 1 z 
 2 4 4
 9
Giá trị nhỏ nhất của M 
 4
 x y 0
 1
 2x 1 0 x y z 
 2
 1
 z 0
 2
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
 4 x 2y y 2x 
Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1. Tìm giá trị lớn nhất của P 
 y x2 y2
 Lời giải
 4 x x 1 2x2 2y2 5xy 5
Ta có: 1 x 4 ; P 2 
 2 2 x y
 y y y 16 x y 
 y x
 x y x y 255y 1 255 257 5.16 594
 2. P 2 
 y x y 256x 256x 16 256 16 257 257
 594
Đáp số P 
 max 257
Câu 3. (Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014) 
Cho x1; x2 0;1 
 2 2
a) Chứng minh rằng 1 x1 4x1 
 2 2 2
b) Chứng minh rằng : 1 x1 x2 4 x1 x2 
 Lời giải
 2 2
a) Xét 4x1 1 x1 2x1 1 x1 2x1 1 x1 x1 1 3x1 1 
Do x1 0;1 x1 1 0; 3x1 1 0 
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2
Vậy 4x1 1 x1 x1 1 3x1 1 0 
 2 2
Hay 1 x1 4x1 dấu bằng xảy ra khi x1 1 
b) Do 
 2 2 2
 1 x1 x2 4 x1 x2 
 2 2
x1, x2 0;1 x1 x1; x2 x2
 2 2
Ta được x1 x2 x1 x2 
Xét
 2 2 2 2
 1 x1 x2 4 x1 x2 1 x1 x2 4 x1 x2 
 2
 1 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 
 2 2
 1 2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 0
 2 2 2
Vậy 1 x1 x2 4 x1 x2 
 2
 x1 x1
 2
Dấu “=” xảy ra khi x2 x2 x1 0; x2 1 hoặc x1 1; x2 0 
 1 x x 0
 1 2
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hòa Bình 2010-2011) 
 x 1
Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất 
 x 1
 Lời giải
 2
Ta viết được A=1 
 x 1
 2
Ta có x 1 1 1 1 2 1 
 x 1
Vậy Min A 1 khi x 0.
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018) 
Cho ba số thực a, b, c sao cho 1 a 2;1 b 2 ;1 c 2 
 a b c a c b
Chứng minh 7 
 b c a c b a
 Lời giải
Khử mẫu ta được a2c ab2 bc2 a2b ac2 b2c 7abc 
Giả sử a b c b a b c 0 b2 ac ba bc 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b2a a2c abc a2b
 2 2 2
 b c ac abc bc
 a2c ab2 ac b2c 2abc a2b bc2 
 a2c ab2 bc2 a2b ac2 b2c 2abc 2a2b 2bc2 
Chứng minh 2abc 2a2b 2bc2 7abc 2a2b 2bc2 5abc 2a2 2c2 5ac 
 (2a c)(c 2a) 0 
Câu 6.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Nghệ An 2016-2017) 
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 2a b c
 P 
 1 a2 1 b2 1 c2
 Lời giải
Từ giả thiết ab bc ca 1, ta để ý đến phép biến đổi a2 1 a2 ab bc ca a b a c 
 2a b c
Áp dụng tương tự bất đẳng thức trở thành P 
 a b a c a b b c a c b c 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được
 2a b c
P 
 a b a c a b b c a c b c 
 1 1 1 1 1 1 
 a b c 
 a b a c a c 4(b c) 4(b c) a c 
 a b b c a c 1 9
 1 1 
 a b 4(b c) a c 4 4
 7 1 1 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức xảy ra a;b;c ; ; 
 15 15 15 
Câu 7. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019) 
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a b 2ab 12. 
 a2 ab b2 ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
 a 2b 2a b
 Lời giải
 a b 2
Ta có 12 a b 2ab (a b) a b 4. Khi đó 
 2
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 a b a2 b2 a b 
 A a b . a b . 2 2 4. 2
 a 2b 2a b a 2ab 2ab b a b 2ab
 2 
 a b 8
 4. 2 
 2 a b 3
 a b 
 2
 a2 ab b2 ab 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi và chỉ khi a b 2.
 a 2b 2a b 3
  Trang 4 