Đề chọn đội dự tuyển thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Tỉnh Thanh Hóa (Có đáp án)

 ĐỀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HSG TỈNH THANH HOÁ
 NĂM HỌC: 2020 - 2021
 Mụn thi: Toỏn
 Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 4,0 điểm )
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
 1) Rỳt gọn biểu thức: A với 1 x 1.
 2 1 x2
 x5 4x3 17x 9 x 1
 2) Tớnh giỏ trị biểu thức: P với x thỏa món: .
 x4 3x2 2x 11 x2 x 1 4
Bài 2 ( 4,0 điểm)
 1 1 1 1
 1) Giải phương trỡnh: .
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 8
 2) Giải phương trỡnh: 2x2 x 3 3 x3 1 .
Bài 3 ( 4,0 điểm)
 x4 1 y4 1
 1) Cho x , y là cỏc số nguyờn x 1; y 1 sao cho là số nguyờn. 
 y 1 x 1
 Chứng minh x4 y4 1 chia hết cho y 1.
 2) Tỡm số nguyờn tố x , y , z thỏa món: x y 1 z2 .
Bài 4 ( 6,0 điểm). Cho ABC nhọn, cỏc đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . 
 Trờn HB , HC lấy M , N sao cho AM  CM ; AN  BN .
 a) Chứng minh rằng: AM AN .
 b) Gọi G là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC . Chứng 
 minh: BG.CD CG.BD .
 c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm A vuụng gúc với EF , đường thẳng 
 đi qua điểm B vuụng gúc với DF và đường thẳng đi qua điểm C vuụng gúc 
 với DE đồng quy tại một điểm.
 1 1 1
Bài 5 ( 2,0 điểm). Cho a , b , c là cỏc số thực dương thỏa món: 1.
 a2 b2 c2
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng: .
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
  HẾT 
 ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HSG TỈNH NĂM HỌC: 2020 – 2021
 Mụn Toỏn: Lớp 9
Bài 1 ( 4,0 điểm )
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
 1) Rỳt gọn biểu thức: A với 1 x 1.
 2 1 x2
 x5 4x3 17x 9 x 1
 2) Tớnh giỏ trị biểu thức: P với x thỏa món: .
 x4 3x2 2x 11 x2 x 1 4
 LỜI GIẢI
 1) Ta cú:
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 1 1 x2 . 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 
 A 
 2 1 x2 2 1 x2
 1 1 x2 . 1 x 1 x 2 1 x2 
 1 1 x2 . 1 x 1 x 
 2 1 x2
 2
 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 x2 2 2 1 x 1 x 2 1 1 x2 1 1 x2 
 2x2 2 x
 2) Ta cú:
 x 1
 4x x2 x 1 x2 3x 1
 x2 x 1 4
 Khi đú:
 x3 x2.x 3x 1 .x 3x2 x 3 3x 1 x 8x 3
 x4 x3.x 8x 3 .x 8x2 3x 8 3x 1 3x 21x 8
 x5 x4.x 21x 8 .x 21x2 8x 21 3x 1 8x 55x 21
 Suy ra:
 x5 4x3 17x 9 55x 21 4 8x 3 17x 9 6x 3
 P .
 x4 3x2 2x 11 21x 8 3 3x 1 2x 11 32x 16
 3
 Vậy với x 0 P .
 16
Bài 2 ( 4,0 điểm)
 1 1 1 1
 1) Giải phương trỡnh: .
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 8
 2) Giải phương trỡnh: 2x2 x 3 3 x3 1 .
 LỜI GIẢI
 1) Điều kiện xỏc đinh: x 4; x 5; x 6; x 7 1 1 1 1
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
 1 1 1 1
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
 1 1 1 1 1 1 1
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
 1 1 1
 x 4 x 7 18
 18 x 7 x 4 x 4 x 7 
 54 x2 11x 28
 x2 11x 26 0 x 13 x 2 0
 x 2 0 x 2 (thỏa mãn)
 x 13 0 x 13 (thỏa mãn)
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 13;2
 2) Điều kiện xỏc định: x 1
 2x2 x 3 3 x3 1 x 1 2 x2 x 1 3 x 1 x2 x 1 
 3
 a x2 x 1 
 Đặt: 2 . Khi đú phương trỡnh trở thành:
 b x 1 0
 2 2 a b
 b 2a 3ab 0 a b 2a b 0 
 2a b
 +) TH1: Nếu a b , ta cú:
 2 2 2 x 0 (thỏa mãn) 
 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2x 0 x x 2 0 
 x 2 (thỏa mãn)
 +) TH2: Nếu 2a b , ta cú:
 2
 2 2 2 5 23
 2 x x 1 x 1 4x 4x 4 x 1 4x 5x 3 0 4 x 0
 8 16
 2
 5 23
 (vụ nghiệm, vỡ 4 x 0, x )
 8 16
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là: S 0;2
Bài 3 ( 4,0 điểm)
 x4 1 y4 1
 1) Cho x , y là cỏc số nguyờn x 1; y 1 sao cho là số nguyờn. 
 y 1 x 1
 Chứng minh x4 y4 1 chia hết cho y 1.
 2) Tỡm số nguyờn tố x , y , z thỏa món: x y 1 z2 .
 LỜI GIẢI x4 1 a y4 1 m
 1) Đặt ; ; a,b m,n 1 và b,n 0 .
 y 1 b x 1 n
 Theo đề bài, ta cú:
 a m an bm an bmb anb nb
 Â b n
 b n bn an bmn bmn bn
 Mặt khỏc: x4 1 y 1; y4 1x 1 (với x , y là số nguyờn)
 a m
 . Â nờn amn an hay ab .
 b n
 x4 1 y 1
 y4 x4 1 y4 1 y 1 x4 y4 1 y 1
 Vậy x4 y4 1 y 1
 2) Ta cú:
 x y 1 z2 z2 và x y khỏc tớnh chẵn, lẻ x ; z khỏc tớnh chẵn, lẻ.
 Mà x ; z là cỏc số nguyờn tố nờn ta xột cỏc trường hợp sau:
 +) TH1: x 2 , z 2 ta cú:
 2 y 1 z2 2 y z2 1 z 1 z 1 z 1 và z 1 là lũy thừa của 2
 z 1 2u
 Đặt u, v Ơ * , v u, u v y .
 v 
 z 1 2
 2u 2 u 1
 Khi đú: 2v 2u 2 2u 2v u 1 2 (vỡ 2v u 1 là số lẻ)
 v u 
 2 1 1 v 1
 Suy ra z 3 và y 3 thỏa mãn 
 +) TH 2: z 2 , x 2 , ta cú:
 x y 1 4 x y 3
 Do x là số lẻ nờn suy ra x 3 , y 1 (loại)
 Vậy x, y, z 2;3;3 
Bài 4 ( 6,0 điểm). Cho ABC nhọn, cỏc đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . 
 Trờn HB , HC lấy M , N sao cho AM  CM ; AN  BN .
 a) Chứng minh rằng: AM AN .
 b) Gọi G là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC . Chứng 
 minh: BG.CD CG.BD .
 c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm A vuụng gúc với EF , đường thẳng 
 đi qua điểm B vuụng gúc với DF và đường thẳng đi qua điểm C vuụng gúc 
 với DE đồng quy tại một điểm.
 LỜI GIẢI a) Chứng minh rằng: AM AN .
 A
 E
 F
 H
 N
 M
 B D C
Xột AMC vuụng tại M , đường cao ME .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, cú: AM 2 AE.AC (1)
Xột ANB vuụng tại N , đường cao NF .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, cú: AN 2 AF.AB (2)
Xột AEB và AFC , cú:
 ãAEB ãAFC 90
Cã AB chung
 AB AE
 AEB ∽ AFC (g.g) AE.AC AF.AC (3)
 AC AF
Từ (1), (2) và (3), suy ra: AN AM
b) Chứng minh: BG.CD CG.BD .
 A
 E
 F
 O
 H
 G B D C
Xột AEF và ABC , cú:
 AB AE
 (chứng minh trê n)
 AC AF
Cã AB chung
 AEF ∽ ACB (c.g.c) ãAFE ãACB Chứng minh tương tự, ta cú: ãAFD ãACB
 Gã FB Bã FD FB , FC lần lượt là phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài tại 
 đỉnh F của FGD
 BG CG FG 
 BG.CD CG.BD
 BD CD FD 
 c) Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của ABC OA OB OC
 Bã AO ãABO (vỡ ABO cõn tại O ); Bã CO Cã BO (vỡ CBO cõn tại O ); 
 Cã AO ãACO (vỡ ABO cõn tại O )
 2 ãACB Bã AO ãACB ãABC Cã AB 180 ãACB Bã AO 90
 Lại cú: ãAEF ãACB ãAEF Bã AO 90 AO  EF
 Chứng minh tương tự, ta cú: AO  FD ; OC  DE .
 Vậy đường thẳng đi qua điểm A vuụng gúc với EF , đường thẳng đi qua điểm 
 B vuụng gúc với DF và đường thẳng đi qua điểm C vuụng gúc với DE đồng 
 quy tại điểm O .
 1 1 1
Bài 5 ( 2,0 điểm). Cho a , b , c là cỏc số thực dương thỏa món: 1.
 a2 b2 c2
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng: .
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3
 LỜI GIẢI
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta cú:
 2
 1 1 1 2 2 2 1 1 1 
 1 1 1 2 2 2 
 a b c a b c 
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 2 2 2 3
 a b c 3 a b c a b c
 Mặt khỏc, ta cú: 5a2 2ab 2b2 2a b 2 a b 2 2a b 2
 1 1
 (1)
 5a2 2ab 2b2 2a b
 Áp dụng bắt đẳng thức Cụ-si, cú:
 1 1 1 1 3
 a a b 33 .3 abc 9
 a a b abc
 2 1 1 1 2 1 
 2a b 9 (2)
 a b 2a b 9 a b 
 1 1 2 1 
 Từ (1) và (2), suy ra: 
 5a2 2ab 2b2 9 a b 
 Chứng minh tương tự, ta cú: 1 1 2 1 1 1 2 1 
 ; 
 5b2 2bc 2c2 9 b c 5c2 2ac 2a2 9 c a 
Do đú:
 1 1 1 1 1 1 1 3
 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3 a b c 3
Dấu " " xảy ra khi: a b c 3 .
  HẾT 