Đề chọn đội tuyển lần 3 môn Toán 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 9 – AMSTERDAM LẦN 3 
 NĂM HỌC 2017 – 2018
Câu 1: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương p;q;n , trong đó p , q là các số 
 nguyên tố thỏa mãn: p p 3 q q 3 n n 3 
Câu 2: Gọi a , b, c là ba nghiệm của phương trình 2x3 9x2 6x 1 0
 Không giải phương trình, hãy tính tổng:
 a5 b5 b5 c5 c5 a5
 S 
 a b b c c a
Câu 3: Cho tam giác ABC , AB AC , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy 
 tại H. Các đường thẳng EF , BC cắt nhau tại G , gọi I là hình chiếu của H 
 trên GA.
 1. Chứng minh rằng tứ giác BCAI nội tiếp.
 2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng GH  AM.
Câu 4: Cho a , b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 a2 b2 c2
 a2 b2 c2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng. 
 Chứng minh rằng tồn tại hai điểm A, B được tô bởi cùng một màu mà AB 1. LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 9 – AMSTERDAM LẦN 3 
 NĂM HỌC 2017 - 2018
Câu 1: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương p;q;n , trong đó p , q là các số 
 nguyên tố thỏa mãn:
 p p 3 q q 3 n n 3 
 Lời giải
 Không mất tính tổng quát, giả sử p q.
 Trường hợp 1: p 2
 p p 3 2 2 3 2.5 10
 10 q q 3 n n 3 
 10 n2 3n q2 3q n2 q2 3n 3q 
 10 n q n q 3 n q 
 10 n q n q 3 
 Vì p p 3 q q 3 n n 3 mà p ; q ; n là các số nguyên dương 
 n q 2.
 n q 3 2 2 3 7
 Mà 10 1.10 2.5
 n q 3 10 n q 7 n 4
 n q 1 n q 1 q 3
 So với điều kiện thỏa mãn.
 Vậy bộ ba số nguyên dương p;q;n cần tìm là 2;3;4 .
 Trường hợp 2: p 3
 p p 3 3. 3 3 3.6 18
 18 q q 3 n n 3 18 n2 3n q2 3q n2 q2 3n 3q 
 18 n q n q 3 n q 
 18 n q n q 3 
 Vì p p 3 q q 3 n n 3 mà p ; q ; n là các số nguyên dương 
 n q 3.
 n q 3 3 3 3 9
 Mà 18 1.18 2.9 3.6
 n q 3 18 n q 15 n 8
 n q 1 n q 1 q 7
 So với điều kiện thỏa mãn.
 Vậy bộ ba số nguyên dương p;q;n cần tìm là 3;7;8 .
 Trường hợp 3: p 3 Ta sẽ chứng minh với 1 số nguyên a bất kì không chia hết cho 3 thì tích 
 a a 3 luôn chia 3 dư 1.
 Thật vậy:
 Nếu a :3 dư 1 a 3k 1 a 3 3k 4
 a a 3 3k 1 3k 4 9k 2 15k 4:3 dư 1.
 Nếu a :3 dư 2 a 3k 2 a 3 3k 5
 a a 3 3k 2 3k 5 9k 2 21k 10:3 dư 1.
 Trở lại bài toán chính:
 q p 3 p |3;q |3. 
 p p 3 q q 3 :3 dư 2.
 Mà n n 3 :3 dư 1 (nếu n |3) hoặc n n 3 3 nếu n3.
 p p 3 q q 3 n n 3 
 Suy ra không có bộ ba số nguyên dương p;q;n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2: Gọi a , b, c là ba nghiệm của phương trình 2x3 9x2 6x 1 0
 Không giải phương trình, hãy tính tổng:
 a5 b5 b5 c5 c5 a5
 S 
 a b b c c a
 Lời giải
 Vì a , b, c là ba nghiệm của phương trình
 2x3 9x2 6x 1 0
 Khi phân tích đa thức 2x3 9x2 6x 1 ra thừa số ta được:
 2x3 9x2 6x 1 2 x a x b x c 
 9 1
 x a x b x c x3 x2 3x 
 2 2
 9 1
 x3 a b c x2 ab bc ca x abc x3 x2 3x 
 2 2
 9
 a b c 
 2
 ab bc ca 3
 1
 abc 
 2
 2
 2 2 2 2 9 57
 a b c a b c 2 ab bc ca 2.3 
 2 4
 Tính a2b2 b2c2 c2a2 :
 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2 2 ab bc bc  ca ca  ab 
 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2 2abc a b c 1 9 9
 a2b2 b2c2 c2a2 32 2   
 2 2 2
 Tính a3 b3 c3 :
 a3 b3 c3 a b c a2 b2 c2 ab bc ca 3abc
 3 3 3 9 57 1 417
 a b c 3 3 
 2 4 2 8
 Vậy:
 9
 a b c 
 2
 ab bc ca 3
 1
 abc 
 2
 57
 a2 b2 c2 
 4
 9
 a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 417
 a3 b3 c3 
 8
 Khi đó ta có:
 a5 b5 b5 c5 c5 a5
 S 
 a b b c c a
 S a4 a3b a2b2 ab3 b4 b4 b3c b2c2 bc3 c4 
 c4 c3a c2a2 ca3 a4 
 S 2a4 2b4 2c4 a3b b3a b3c c3b a3c c3a a2b2 b2c2 c2a2
 S a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 a3b a3c b4 b3a b3c 
 c4 c3a c3b a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 S a2 b2 c2 a3 a b c b3 a b c c3 a b c 
 a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 S a2 b2 c2 a3 b3 c3 a b c a2b2 b2c2 c2a2 
 2
 57 9 417 9 3465
 S  
 4 2 8 2 8
Câu 3: Cho tam giác ABC , AB AC , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy 
 tại H. Các đường thẳng EF , BC cắt nhau tại G , gọi I là hình chiếu của H 
 trên GA.
 1. Chứng minh rằng tứ giác BCAI nội tiếp.
 2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng GH  AM. Lời giải
 A
 I
 E
 O
 F H
 C
 G B D M
 A'
 1. Chứng minh rằng tứ giác BCAI nội tiếp.
 Dễ dàng chứng minh tứ giác AIFH nội tiếp và tứ giác AFHE nội tiếp
 5 điểm A, F , H , E , I cùng thuộc một đường tròn.
 tứ giác AIFE nội tiếp.
 GI.GA GF.GE 1 .
 Dễ dàng chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp GF.GE GB.GC 2 .
 Từ 1 và 2 suy ra: GI.GA GB.GC tứ giác BCAI nội tiếp (điều phải 
 chứng minh).
 2. Chứng minh GH  AM.
 Gọi O là đường tròn ngoại tiếp ABC. Kẻ đường kính AA' của O .
 Vì tứ giác BCAI là tứ giác nội tiếp I O ·AIA 90 A I  AI hay 
 A I  AG.
 Mà HI  AG (giả thiết) A I  HI A , I , H thẳng hàng.
 Mà dễ dàng chứng minh được A'H đi qua trung điểm M của BC (tứ giác 
 BHCA' là hình bình hành).
 M , I , H thẳng hàng.
 Xét AGM có: AD  AM , MI  AG và AD cắt MI tại H.
 H là trực tâm của tam giác AGM.
 GH  AM
 Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4: Cho a , b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 a2 b2 c2
 a2 b2 c2
 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 Lời giải 1 
 Trường hợp 1: Nếu tồn tại một trong ba số a , b, c thuộc nửa khoảng 0; 
 3 
 1 1 1 2
 thì ta có 9 a b c a2 b2 c2 . Khi đó bất đẳng thức 
 a2 b2 c2
 cần chứng minh đúng.
 1 1 1 1 1 7
 Trường hợp 2: a ; b ; c ta có a b c 3 a a 
 3 3 3 3 3 3
 7 7 1 7 
 tương tự b ; c . Vậy a;b;c ; .
 3 3 3 3 
 1 2 1 7 
 Ta chứng minh 2 x 4x 4 x ; . (*).
 x 3 3 
 Thật vậy 
 (*) 1 x4 4x3 4x2 x4 4x3 4x2 1 0
 x 1 2 x2 2x 1 0
 2 2 1 7 
 x 1 x 1 2 0 luôn đúng với x ; .
 3 3 
 1 1 1
 Vậy a2 4a 4 ; b2 4b 4 ; c2 4c 4 .
 a2 b2 c2
 1 1 1
 Từ đó suy ra a2 b2 c2 4 a b c 12 0
 a2 b2 c2
 1 1 1
 a2 b2 c2 (đpcm).
 a2 b2 c2
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 
Câu 5: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng. 
 Chứng minh rằng tồn tại hai điểm A, B được tô bởi cùng một màu mà AB 1.
 Lời giải
 Giả sử không có 2 điểm nào trong mặt phẳng được tô cùng màu mà khoảng 
 cách giữa chúng là 1 đơn vị độ dài.
 Xét một điểm O bất kỳ có màu vàng trên mặt phẳng.
 Vẽ đường tròn O, 3 . Lấy một điểm P bất kỳ trên O .
 Dựng hình thoi OAPB có cạnh bằng 1 và có đường chéo là OP.
 Dễ thấy OA OB AB AC BC 1.
 Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng và khác màu nhau.
 Do đó P phải tô vàng. Từ đây suy ra tất cả các điểm trên (O ) phải tô vàng. 
 Điều này trái với giả thiết vì dễ thấy tồn tại hai điểm trên (O ) có khoảng 
 cách 1 đơn vị độ dài.
 P/s: Số 1 có thể được thay bởi bất kỳ số thực dương nào.