Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM THỦY (THANH HÓA) – V2 
 NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1. (4,0 điểm) 
 x x 2 2 x 
 1) Cho biểu thức: P : 
 x 1 x 1 x x x x 
 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
 2a b 2b c 2b c 2c a 2c a 2a b 2a b 2b c 2c a
 3 
 a b b c b c c a c a a b a b b c c a
Câu 2. (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0. 
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 2x2 y3.
Câu 3. (4,0 điểm)
 p 1
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì p2 không là tích của hai số tự 
 2
nhiên liên tiếp. 
 b) Cho hàm số bậc nhất y ax b có đồ thị là đường thẳng đi qua M 1;4 . Biết đồ thị 
của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có 
tung độ dương. Tìm a, b sao cho OA OB nhỏ nhất. (Với O là gốc tọa độ)
Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC tại D. 
Vẽ đường kính DN của (O, r). Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.
 a) Chứng minh rằng NK.CD r 2.
 b) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng BD CE.
 OA OB OC
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 r
Câu 5. (2,0 điểm)
 a,b,c 0 a4b b4c c4a 3
 Cho . Chứng minh rằng: S 2 2 2 
 abc 1 a 1 b 1 c 1 2
 ----------------------Hết--------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 – NĂM HỌC 2019 - 2020
 (HUYỆN CẨM THỦY)
Câu 1. (4,0 điểm) 
 x x 2 2 x 
 1) Cho biểu thức: P : 
 x 1 x 1 x x x x 
 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
 2a b 2b c 2b c 2c a 2c a 2a b 2a b 2b c 2c a
 3 
 a b b c b c c a c a a b a b b c c a
 Hướng dẫn giải:
 x 0
1) ĐKXĐ: 
 x 1
 x x 2 2 x x x 1 x 2 x 1 2 x
a) Có: P : :
 x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x x 1 
 x 2 x x x 1 x
  
 x 1 x 1 x 2 x x 1
 x x 1 1 1 1 Co Si 1
b) Có: P x 1 x 1 2 2 x 1 2 4.
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 1 2 x 1 1 x 4 (TM )
Dấu “=” xảy ra x 1 x 1 1 
 x 1 x 1 1 x 0 (KTM )
Vậy PMin 4 x 4.
 2a b 3a 3b
 x x 1 x 2
 a b a b a b
 2b c 3b 3c
2) Đặt: y y 1 y 2 
 b c b c b c
 2c a 3c 3a
 z z 1 z 2
 c a c a c a
 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 9 3 xy yz zx 3 x y z 
 3 xy yz zx x y z (đpcm)
Câu 2. (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 2x2 y3.
 Hướng dẫn giải:
 a) 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 1 1
 ĐK: x 6
 3
 Ta có: 1 3x 1 4 1 6 x 3x2 14x 9 0
 3x 1 16 1 6 x 
 3x 1 x 5 0
 3x 1 4 1 6 x
 3 x 5 x 5
 3x 1 x 5 0
 3x 1 4 1 6 x
 3 1 
 x 5 3x 1 0
 3x 1 4 1 6 x 
 3 1 1
 x 5 0 Vì: 3x 1 0  x 6
 3x 1 4 1 6 x 3
 x 5 TM . Vậy phương trình có nghiệm là: x 5.
 b) Có: x4 2x2 y3 1 x2 x2 2 y3
 Với y 0 x 0 Do : x2 2 2 
 2 2
 x4 2x2 x x2 2 x x2 2
 Với y 0 1 3 1 1 1 (vô nghiệm)
 y y y y y
 Vậy x; y 0;0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Câu 3. (4,0 điểm)
 p 1
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì p2 không là tích của hai số tự 
 2
nhiên liên tiếp. 
 b) Cho hàm số bậc nhất y ax b có đồ thị là đường thẳng đi qua M 1;4 . Biết đồ thị 
của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có 
tung độ dương. Tìm a, b sao cho OA OB nhỏ nhất. (Với O là gốc tọa độ)
 Hướng dẫn giải:
 p 1 2 1 9
a) Với p 2 p2 22 (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
 2 2 2
 p 1 3 1
Với p 3 p2 32 10 2.5 (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
 2 2
 p 3k 1 *
Với p 3 k ¥ 
 p 3k 2
 2
 p 1 2 3k 1 1 3k 18k 12k 2 3k
- Nếu p 3k 1 p2 3k 1 9k 2 6k 1 
 2 2 2 2
 18k 2 15k 2 6k 1 3k 2 
 (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
 2 2 p 1 2 3k 2 1 3k 1
- Nếu p 3k 2 p2 3k 2 9k 2 12k 4 
 2 2 2
 18k 2 24k 8 3k 1 18k 2 27k 9 9 9
  2k 2 3k 1  2k 1 k 1 (không phải tích 2 
 2 2 2 2
số tự nhiên liên tiếp)
 p 1
Vậy với mọi số nguyên tố p p2 không phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
 2
b) Vì đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại 
điểm B có tung độ dương a 0 1 
Do đồ thị là đường thẳng đi qua M 1;4 a b 4 b 0 2 Do :a 0 
 Co si
Có: OA OB 2 OA.OB. Dấu “=” xảy ra OA OB hay OAB cân tại O.
 b
Vì: OA OB b b a 1 0 a 1 (Do :b 0)
 a
Với a 1 b 5 y x 5
Vậy a 1 b 5 thì OA OB đạt giá trị nhỏ nhất là: 5 + 5 = 10.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC tại D. 
Vẽ đường kính DN của (O, r). Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.
 a) Chứng minh rằng NK.CD r 2.
 b) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng BD CE.
 OA OB OC
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 r
 Hướng dẫn giải:
 A
 x
 N K
 P 1
 2
 2 1
 O
 1
 2
 1 C
 2
 D E
 B · ·
a) Có: PK // BC (cùng  DN ) AKN ACB (đồng vị)
 · ·
Gọi Kx là tia phân giác của AKN Kx // CO (Vì CO là tia phân giác của ACB )
Mà: Kx  KO (tia phân giác trong và phân giác ngoài)
 · · · ·
 CO  KO C1 C2 O1 (cùng phụ với K1 )
 NK NO
 NKO ∽ DOC g.g NK.DC NO.DO NK.CD r 2 (đpcm)
 DO DC
b) Cách 1: 
 B
 tan
 r r BD
Ta có: BD ; CD 2 1
 B C C 
 tan tan CD tan
 2 2 2
 · · · C
Mà: C C O cmt NK r.tan
 1 2 1 2
 B
 tan
 · · · B NP
Tương tự: B B O NP r.tan 2 2
 1 2 2 C 
 2 NK tan
 2
 NK BD NK NP NK NP KP
Từ (1) và (2) 3 
 NP CD BD CD BD CD BC
 NK KP
Mặt khác: KP // BC 4 
 EC BC
 NK NK
Từ (3) và (4) EC BD (đpcm).
 EC BD
Cách 2:
Ta có: NK.CD NP.BD r 2 (cmt)
 NK NP
Mà: (Vì: KP // BC )
 EC BE
 EC.CD BE.BD EC. EC ED BD ED .BD EC 2 EC.ED BD2 ED.BD
 EC 2 BD2 EC.ED ED.BD 0 EC BD . EC BD ED 0
 EC BD 0 EC BD (đpcm)
c) A
 N K
 P B'
 r
 C'
 O r
 r
 r 1
 2
 1 C
 2
 D A'
 B
Gọi SOAC S1 ;SOBC S2 ;SOAB S3
 OA OB OC OA OB OC
Ta có: 
 r r r OA' OB ' OC '
 OA S S S S
Mà: 1 3 1 3
 OA' SOA'C SOA'B S2
 OB S S OC S S
Tương tự: 2 3 ; 1 2 
 OB ' S1 OC ' S3
 OA OB OC S S S S S S S S S S S S 
 1 3 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1 6.
 OA' OB ' OC ' S2 S1 S3 S2 S1 S3 S2 S1 S3 
Dấu “=” xảy ra S1 S2 S3 hay ABC đều.
 OA OB OC
Vậy 6 ABC đều.
 r r r
Câu 5. (2,0 điểm)
 a,b,c 0 a4b b4c c4a 3
 Cho . Chứng minh rằng: S 2 2 2 
 abc 1 a 1 b 1 c 1 2
 Hướng dẫn giải:
 a4b b4c c4a 1 1 1
Ta có: S a2b b2c c2a 
 a2 1 b2 1 c2 1 a2 1 b2 1 c2 1
 Co si
 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 1 1 1 
 a b b c c a 2 2 2 3 a b.b c.c a 
 a 1 b 1 c 1 2a 2b 2c 
 Co si 1 1 1 3 3
 3
 3abc 3   3 (đpcm)
 2a 2b 2c 2 2
Dấu “=” xảy ra a b c 1.