Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Tam Dương (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020
Cõu 1: (2,0 điểm) Tớnh giỏ trị của biểu thức sau: A 4 10 2 5 4 10 2 5 
Cõu 2: (2,0 điểm) Tỡm cỏc số thực a, b để đa thức f x x4 ax3 bx –1chia hết cho đa thức
 x2 – 3x 2 .
Cõu 3: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa món x 2y xy . Tớnh giỏ trị của biểu thức 
 x y
P . 
 x y
Cõu 4: (2,0 điểm) Giải phương trỡnh: 4 x 1 x2 5x 14 .
 2m 1
Cõu 5: (2,0 điểm) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh m 3 vụ nghiệm.
 x 2
Cõu 6: (2,0 điểm) Cho a,b,c là cỏc số dương thỏa món a b c 3 . Chứng minh rằng 
 1
 ab bc ca abc 3 .
 abc
Cõu 7: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n5 5n3 4n luụn chia hết cho 120.
Cõu 8: (2,0 điểm) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn x3 8 7 8x 1
Cõu 9: (2,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là 
 đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cựng vuụng gúc AB . Trờn tia Ax lấy điểm C (khỏc A ), 
 qua O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC cắt tia By tại D .
 a) Chứng minh AB2 4AC.BD 
 b) Gọi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của O trờnCD . Chứng minh rằng M thuộc đường trũn 
 đường kớnh AB .
 c) Kẻ đường cao MH của tam giỏcMAB . Chứng minh rằng MH, AD, BC đồng quy.
Cõu 10: (2,0 điểm) Cho sỏu đường trũn cú bỏn kớnh bằng nhau và cựng cú điểm chung. Chứng minh 
 rằng tồn tại ớt nhất một trong những đường trũn này chứa tõm của một đường trũn khỏc.
 .HẾT .
 Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
 Họ và tờn thớ sinh: . .Số bỏo 
 danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020
Cõu 1: (2,0 điểm) Tớnh giỏ trị của biểu thức sau: A 4 10 2 5 4 10 2 5 
 Lời giải
 A 4 10 2 5 4 10 2 5 0
 A2 4 10 2 5 4 10 2 5 2 16 10 2 5 
 2
 A = 8+ 2 6- 2 5 
 2
 A2 = 8+ 2 ( 5 - 1)
 2
 A = 6+ 2 5 
 2
 A2 = ( 5 + 1)
 A = 5 + 1 (Do A > 0) 
Cõu 2: (2,0 điểm) Tỡm cỏc số thực a, b để đa thức f x x4 ax3 bx –1chia hết cho đa thức
 x2 – 3x 2 .
 Lời giải
 Ta cú: x2 – 3x + 2 = (x –1)(x – 2). Theo bài ra: f (x)M(x –1)(x – 2).
 f (x) chia hết cho x- 1 ị f (1)= 0
 ị a + b = 0 ị b = - a (1)
 f (x)chia hết cho x - 2 ị f (2)= 0
 ị 8a + 2b = –15 (2)
 Từ (1) và (2) ị 8a + 2(–a)= –15 
 5 5
 ị a = - ; b = .
 2 2
 5 5
 Vậy a = - ; b = .
 2 2
Cõu 3: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa món x 2y xy . Tớnh giỏ trị của biểu thức 
 x y
 P . 
 x y
 Lời giải
 x 2y xy x xy 2y 0 x 2 xy xy 2y 0
 x 2 y x y 0
 Vỡ x y 0 nờn x 2 y 0 x = 4y .
 4y y 3
 Khi đú P= 
 4y y 5
Cõu 4: (2,0 điểm) Giải phương trỡnh: 4 x 1 x2 5x 14 .
 Lời giải ĐKXĐ: x ³ - 1 
 4 x 1 x2 5x 14 Û x2 - 5x- 4 x + 1+ 14 = 0 
 Û x2 - 6x + 9+ x + 1- 4 x + 1+ 4 = 0 
 2
 Û (x- 3)2 + ( x + 1- 2) = 0 
 ùỡ x- 3 = 0
 Û ớù Û x = 3 (TM)
 ù
 ợù x + 1- 2 = 0
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 3. 
 2m 1
 Cõu 5: (2,0 điểm) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh m 3 vụ nghiệm.
 x 2
 Lời giải
 ĐKXĐ: x ạ 2 .
 2m 1
 m 3 ị 2m- 1= (x- 2)(m- 3)
 x 2
 Û (m- 3)x = 4m- 7 (*)
 + Xột m = 3 Phương trỡnh (*) trở thành 0x = 5 (Vụ lý)
 ị m = 3 thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm.
 4m- 7
 + m ạ 3 , phương trỡnh đó cho cú nghiệm x = 
 m- 3
 4m- 7 1
 Để phương trỡnh đó cho vụ nghiệm thỡ = 2 ị m = 
 m- 3 2
 1
 Vậy với m = 3 , m = thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 
 2
Cõu 6: (2,0 điểm) Cho a,b,c là cỏc số dương thỏa món a b c 3 . Chứng minh rằng 
 1
 ab bc ca abc 3 .
 abc
 Lời giải
 Áp dụng BĐT cauchy ta cú (a + b + c)(ab + bc + ca)³ 33 abc.33 a2b2c2 = 9abc 
 ab + bc + ca
 ị abc Ê .
 3
 1 ab + bc + ca
 Ta chứng minh ab + bc + ca + ³ + 3 
 abc 3
 ab + bc + ca ab + bc + ca 1
 Û + + ³ 3. Thật vậy:
 3 3 abc (ab + bc + ca)2 (ab + bc + ca)2
 VT ³ 33 ³ 33 
 9abc 9abc
 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 
Cõu 7: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n5 5n3 4n luụn chia hết cho 120.
 Lời giải
 Ta cú: n5 5n3 4n= n n2 1 n2 4 
 n 2 n 1 n n 1 n 2 
 Và 120 23.3.5
 Trong 5 số nguyờn liờn tiếp luụn tồn tại một số chia hết cho 5, một số chia hết cho 
 3 và ớt nhất hai số chẵn liờn tiếp nờn tớch của 2 số này chia hết cho 8
 Mà 3, 5, 8 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn tớch 5 số đú chia hết cho 120.
Cõu 8: (2,0 điểm) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x3 8 7 8x 1.
 Lời giải
 x3 8 7 8x 1
 1
 ĐK xỏc định: 8x 1 0 x x 0 (vỡ x Â)
 8
 PT tương đương với:
 25 8x 1 
 5x3 40 7 25 8x 1 7. 7. 4x 13 28x 91
 2
 5x3 28x 51 0 x 3 5x2 15x 17 0
 Vỡ với x 0 thỡ 5x2 15x 17 0 nờn suy ra x 3 0 x 3
 Vậy PT cú nghiệm duy nhất x 3
 Lưu ý: HS cú thể giải theo cỏch thử trực tiếp x = 1,2,..,5. Với x > 5 chứng minh vế trỏi lớn 
 hơn vế phải. y
 x
 Cõu 9: (2,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB . D
 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AB 
 vẽ hai tia Ax, By cựng vuụng gúc AB . Trờn tia Ax lấy I
 điểm C (khỏc A ), qua O kẻ đường thẳng vuụng gúc với M
 OC cắt tia By tại D .
 2 C
 a) Chứng minh AB 4AC.BD K
 b) Gọi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của O trờnCD . 
 Chứng minh rằng M thuộc đường trũn đường kớnhAB
 A B
 . H O
 c) Kẻ đường cao MH của tam giỏcMAB . Chứng minh rằng MH, AD, BC đồng quy. Lời giải
 a) Chứng minh OAC : DBO (g.g)
 OA AC
 OA.OB AC.BD 
 DB OB
 AB AB 2
 . AC.BD AB 4AC.BD (đpcm)
 2 2
 b) Theo cõu a ta cú: OAC : DBO (g.g) 
 OC AC OC AC
 mà OA OB 
 OD OB OD OA
 +) Chứng minh: OAC ∽ DOC (c.g.c) ãACO Oã CM
 +) Chứng minh: OAC OMC (ch.gn) AO MO 
 M nằm trờn đường trũn O,OA hay đường trũn đường kớnh AB .
 c) Gọi K là giao của MH với BC , I là giao của BM với Ax 
 Ta cú ΔOAC=ΔOMC OA OM ; CA CM OC là trung trực của AM 
 OC  AM . 
 Mặc khỏc OA OM OB AMB vuụng tại M 
 OC // BM (vỡ cựng vuụng gúc AM ) hay OC // BI 
 +) Xột ABI cú OM đi qua trung điểm AB , song song BI suy ra OM đi qua trung 
 điểm AI IC AC 
 MK BK KH
 +) MH // AI theo định lý Ta-lột ta cú: 
 IC BC AC
 Mà IC AC MK HK BC đi qua trung điểm MH 
 Tương tự AD cũng đi qua trung điểm MH . Suy ra AD, BC, MH đồng quy.
Cõu 10: (2,0 điểm) Cho sỏu đường trũn cú bỏn kớnh bằng nhau và cựng cú điểm chung. Chứng minh 
 rằng tồn tại ớt nhất một trong những đường trũn này chứa tõm của một đường trũn khỏc.
 Lời giải
 Giả sử cú sỏu đường trũn tõm O i (i = 1, 2, .., 6) cú bỏn 
 kớnh r và M là điểm chung của cỏc đường trũn này. Để 
 chứng minh bài toỏn ta chỉ cần chứng minh ớt nhất cú hai 
 tõm cú khoảng cỏch khụng lớn hơn r.
 Nối M với cỏc tõm. Nếu hai trong những đoạn thẳng vừa 
 nối nằm trờn cựng một tia cú điểm đầu mỳt là M thỡ bài 
 toỏn được chứng minh. Trong trường hợp ngược lại, xột gúc nhỏ nhất trong cỏc gúc nhận được đỉnh M, giả sử đú 
là gúc O1MO2. 
 0 0
Do tổng cỏc gúc này là 360 nờn gúc O1MO2 60 . Khi đú trong tam giỏc O1MO2 cú một 
gúc khụng nhỏ hơn gúc O 1MO2 (nếu ngược lại thỡ tổng cỏc gúc trong tam giỏc nhỏ hơn 
1800). 
Từ đú suy ra trong những cạnh MO1 và MO2 trong tam giỏc O1MO2 tồn tại cạnh khụng 
nhỏ hơn O1O2 tức ta cú O1O2 r vỡ MO1 r, MO2 r.