Đề chọn học sinh giỏi cấp quận vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Long Biên (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 QUẬN LONG BIÊN 
 KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1
 Năm học: 2020-2021. 
 Môn: TOÁN
 2x2 4 x 8 
Câu 1. (6,0 điểm). Cho biểu thức A 3 2  2 2 với x 0 và x 2 .
 x 8 x 2x 4 x 
 2x 4
 1) Chứng minh rằng A 
 x2
 2) Tính giá trị của biểu thức A biết: | 2x 3| x 1.
Câu 2. (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
 4 1 5
 1) 
 x2 4 x2 5x 6 4
 2 2
 2) x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x . 
Câu 3. (3,0 điểm). 
 1) Cho a là tích của 2020 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng (a 1) không là 
 số chính phương.
 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: 4x2 8x 38 6y2 .
Câu 4. (6,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC . Kẻ đường cao AH ( H BC ), phân 
 giác AM ( M BC ). Kẻ ME vuông góc với AB tại E ; MF vuông góc với AC tại 
 F .
 1) Cho AB =9cm, AC =12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH .
 2) Chứng minh rằng BE . BA = BH . BM và HE là tia phân giác của góc AHB .
 BE HB
 3) Chứng minh rằng 
 CF HC
Câu 5. (1,0 điểm). 
 1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 ab(a b) .
 2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 2020 . 
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 
 ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2
 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 QUẬN LONG BIÊN 
 KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1
 Năm học: 2020-2021. 
 Môn: TOÁN
 2x2 4 x 8 
Câu 1. Cho biểu thức A 3 2  2 2 với x 0 và x 2 .
 x 8 x 2x 4 x 
 2x 4
 1) Chứng minh rằng A 
 x2
 2) Tính giá trị của biểu thức A biết: | 2x 3| x 1.
 Lời giải
 2x 4
 1) Chứng minh rằng A 
 x2
 Ta có:
 2x2 4 x 8 
 A 3 2  2 2 
 x 8 x 2x 4 x 
 2x2 4 x(x 2) 2x2 8 
 A  2 
 2 2 x
 (x 2) x 2x 4 x 2x 4 (x 2) 
 2x2 4 x2 2x 2x2 8 
 A  2 
 2 x
 (x 2) x 2x 4 
 x2 2x 4 2(x 2)(x 2) 
 A 
 2 x2 
 (x 2) x 2x 4 
 1 2(x 2)(x 2)
 A 
 (x 2) x2
 2x 4
 A (đpcm)
 x2
 2) Tính giá trị của biểu thức A biết: | 2x 3| x 1.
 Xét phương trình: | 2x 3| x 1. (1)
 3
 / TH1: 2x 3 0 x 
 2
 Ta có phương trình: 2x 3 x 1 x 2(t / m)
 3
 +/ TH2: 2x 3 0 x 
 2 4
 Ta có phương trình: (2x 3) x 1 3x 4 x (t / m) .
 3
 4
 Vậy S 2;  .
 3
 4
 Kết hợp với ĐKXĐ ta thấy: x 
 3
 4
 2 4
 4 3 15
 Thay x vào biểu thức A 2 
 3 4 4
 3 
 4 15
 Vậy x thì giá tri của biểu thức A 
 3 4
Câu 2. (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
 4 1 5
 1) 
 x2 4 x2 5x 6 4
 2 2
 2) x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x . 
 Lời giải
 4 1 5
 1) 
 x2 4 x2 5x 6 4
 x 2
 4 1 5 
 ĐKXD: x 2
 (x 2)(x 2) (x 2)(x 3) 4 
 x 3
 4 1 5
 (x 2)(x 2) (x 2)(x 3) 4
 1 1 1 1 5
 x 2 x 2 x 2 x 3 4
 1 1 5
 x 2 x 3 4
 4(x 3) 4(x 2) 5(x 2)(x 3)
 20 5x2 5x 30
 x2 x 2 0
 (x 1)(x 2) 0
 x 1 (t / m)
 x 2 (ktm)
 Vậy S {1}. 2 2
 2) x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x . 
 2 2
 x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x 
 2 2
 x2 x x2 4 2 x2 4 x2 x 0
 2
 2 2 
 x x x 4 0
 ( x 4)2 0
 x 4 0
 x 4
 Vây S {4} .
Câu 3. (3,0 điểm). 
 1) Cho a là tích của 2020 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng (a 1) không 
 là số chính phương.
 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: 4x2 8x 38 6y2 .
 Lời giải
 1) Cho a là tích của 2020 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng (a 1) không 
 là số chính phương.
 Vì trong 2020 số nguyên tố đầu tiên chỉ có 2 là số nguyèn tố chẵn duy nhất nên a chẵn 
 và a không chia hết cho 4 (1). Suy ra a 1 là số lẻ.
 Giả sử a 1 là một số chính phương thì tồn tại số nguyên dương k sao cho 
 a 1 (2k 1)2 .
 Suy ra a 1 4k 2 4k 1 a 4k(k 1) a4 . Điều này trái với (1)
 Vậy a 1 không là một số chính phương.
 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: 4x2 8x 38 6y2 .
 4x2 8x 38 6y2 2x2 4x 19 3y2 2(x 1)2 3 7 y2 (*)
 Ta thấy: 2(x 1)2 : 2 7 y2 : 2 y2 là số lẻ.
 Ta lại có: 7 y2 0 y2 7 . Do dó y2 1 y 1
 2
 Lúc đó: 2(x 1) 18 x 1 3 nên x1 2; x2 4 .
 Ta thấy các cặp số (2;1),(2; 1),( 4;1),( 4; 1) thỏa mãn (*)
 nên là nghiệm của phương trình.
Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC . Kẻ đường cao AH (
 H BC ), phân giác AM ( M BC ). Kẻ ME vuông góc với AB tại E ; MF vuông 
 góc với AC tại F . 1) Cho AB =9cm, AC =12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH .
2) Chứng minh rằng BE . BA = BH . BM và HE là tia phân giác của góc AHB .
 BE HB
3) Chứng minh rằng 
 CF HC
 Lời giải
1) Cho AB =9cm, AC =12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH .
 *
Ta có: AH.BC AB.AC 2.SABC 
Xét tam giác ABC vuông tại A có : AB2 AC 2 BC 2
Suy ra: BC 2 92 122 225 BC 225 15( cm) .
Thay vào (*) ta có AH.15 9.12 AH 7,2( cm) .
2) Chứng minh rằng BE . BA = BH . BM và HE là tia phân giác của góc AHB .
Xét BHA và VBEM có:
 EBM chung B· EM B· HA 90
 BE BM
Suy ra: BHA đồng dạng với BEM ( g  g ) BE  BA BH  BM .
 BH BA
Xét BEH và BMA có:
 E· BH chung
 BE BM
 BH BA
Suy ra: BEH đồng dang với VBMA(cg c)
Suy ra: B· HE B· AM , có B· AM 45 B· HE 45
Mà B· HA 90 B· HE E· HA 45
Suy ra: HE là tia phân giác của góc AHB (đpcm)
 BE HB
3) Chứng minh rằng 
 CF HC
Chứng minh:
 ·AEM ·AFM E· AF 90
Suy ra tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
Mà AM là phân giác của góc EAF nên tứ giác AEMF là hình vuông
Do đó, AE AF .
 BE BH
Xét ABH có: HE là phân giác của góc AHB ( cmt ) (1)
 EA AH
Chứng minh tương tự: HF là tia phân giác của góc AHC .
Xét ACH có: HF là phân giác của góc AHC . 
 AF AH
Suy ra (2)
 CF HC
Từ (1), (2) suy ra: BE AF BH AH BE BH
   (vì AE AF) (đpcm).
 EA CF AH HC CF HC
Câu 5. (1,0 điểm). 
 1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 ab(a b) .
 2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 2020 . Tìm giá trị lớn 
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 nhất của biểu thức A 
 ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2
 Lời giải
 1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 ab(a b) .
 Ta có: a3 b3 ab(a b) .
 a3 b3 ab(a b) 0
 (a b) a2 ab b2 ab(a b) 0
 (a b) a2 ab b2 ab 0
 2
 (a b)(a b) 0 (Luôn đúng với mọi a, b dương)
 Vậy a3 b3 ab(a b) .
 2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 2020 . Tìm giá trị 
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 lớn nhất của biểu thức A 
 ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2
 5b3 a3
 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 2b a .
 ab 3b2
 5b3 a3
 Ta có: 2b a
 ab 3b2
 5b3 a3 (2b a) ab 3b2 
 5b3 a3 2ab2 a2b 6b3 3ab2
 ab2 a2b a3 b3
 3 3
 a b ab(a b) (Đã chứng minh ở ý 1) Dấu “=” xảy ra khi a b .
 5b3 a3
 Vậy 2b a
 ab 3b2
 Chứng minh tương tự:
 5c3 b3
 / 2c b
 cb 3c2
 (2). Dấu “=” xảy ra khi c b .
 5a3 c3
 / 2a c .
 ca 3a2
 (3). Dấu "=" xảy ra khi a c .
 A (2b a) (2c b) (2a c) a b c 2020
 Dấu "=" xày ra khi a b c 
 1
 Vậy Max (A) 2020 a b c 673 
 3