Đề chọn học sinh giỏi cấp quận vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Long Biên (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 QUẬN LONG BIÊN
 KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2
 Năm học: 2020-2021. 
 Môn: TOÁN
Câu 1. (6,0 điểm). 
 1) Giải phương trình: 4x2 20x 28 3x2 15x 20 .
 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x y z 0 . Chứng minh rằng: 
 x3 y3 z3 3xyz
 3) Cho các số nguyên a;b;c thoả mãn điều kiện: (a b)3 (b c)3 (c a)3 378 .
 Tính giá trị của biểu thức A | a b | | b c | | c a |.
Câu 2. (3,0 điểm). 
 1) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12. Chứng 
 minh: P (a b)(b c)(c a) - 5abc chia hết cho 12. 
 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
 x3 y3 z3 x y z 2020 .
Câu 3. ( 3,0 điểm). 
 x2 y2 3x 3y
 1) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng: 4 0 .
 y2 x2 y x
 2) Cho số thực x thỏa mãn 0 x 2 . Tìm GTNN của biểu thức: 
 4 100
 A 2021.
 2 x x
Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt 
 nhau tại H . 
 1) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CHCE= BC 2 .
 2) Chứng minh BH AC .cot ·ABC . 
 3) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường 
 thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP MQ . 
Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó 
 thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số 
 mới bằng a b 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số 
 cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? 
 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 QUẬN LONG BIÊN
 KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2
 Năm học: 2020-2021. 
 Môn: TOÁN
Câu 1. (6,0 điểm). 
 1) Giải phương trình: 4x2 20x 28 3x2 15x 20.
 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 . Chứng minh rằng: 
 x3 y3 z3 3xyz .
 3) Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn điều kiện: (a b)3 (b c)3 (c a)3 378 .
 Tính giá trị của biểu thức A | a b | | b c | | c a |.
 Lời giải
 1) Giải phương trình: 4x2 20x 28 3x2 15x 20.
 Đặt t x2 5x 7,(t 0) x2 5x 7 t 2.
 ĐKXD: x ¡ .
 Phương trình trờ thành: 2t 3t 2 1.
 t 1
 2
 3t 2t 1 0 (t 1)(3t 1) 0 1
 t 
 3
 1
 • Ta có :t 0 (loại) hoặc t 1 (thỏa mãn). 
 3
 • Với t 1, ta có :
 x2 5x 7 1 x2 5x 6 0 x 2 hoặc x 3
 Vậy phương trình có tập nghiệm là S {2;3}.
 2) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0 . Chứng minh rằng: 
 x3 y3 z3 3xyz .
 Ta có : x y z 0 z (x y)
 VT x3 y3 z3 x3 y3 (x y)3 x3 y3 x3 3x2 y 3xy2 y3
 VT 3xy(x y) 3xyz VP
 3) Cho các số nguyên abc thoả mãn điều kiện: (a b)3 (b c)3 (c a)3 378 .
 Tính giá trị của biểu thức A | a b | | b c | | c a |.
 Đặt a b x;b c y;c a z x y z 0
 Ta có: x3 y3 z3 378 3xyz 378 xyz 126
 Do x, y, z là số nguyên có tồng bằng 0 và xyz 126 x  y  z ( 2)( 7).9 nên x 2 x 2 x 7 x 7 x 9 x 9
 y 7 y 9 ; y 2; y 9 ; y 7 y 2.
 z 9 z 7 z 9 z 2 z 2 z 7
 Suy ra: A | a b | | b c | | c a | 18 .
Câu 2. (3,0 điểm). 
 1) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12. Chứng 
 minh: P (a b)(b c)(c a) - 5abc chia hết cho 12. 
 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
 x3 y3 z3 x y z 2020 .
 Lời giải
 1) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c chia hết cho 12. Chứng 
 minh: P (a b)(b c)(c a) - 5abc chia hết cho 12. 
 Ta có:
 P (a b)(b c)(c a) 5abc
 (a b c)(ab bc ca) 6abc (*) 
 do (a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc
 Giả sử a,b,c đều chia 2 dư 1 a b c chia 2 dư 1 (2)
 Mà a b c :12 a b c2 (theo giả thiết) (2)
 Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều già sử là sai.
 Trong ba số a,b,c ít nhất có một số chia hết cho 2 6abc :12(**)
 Từ (*) và (**) suy ra P12 .
 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
 x3 y3 z3 x y z 2020 .
 Ta có: x3 x x x2 1 (x 1)x(x 1) :3
 Tưng tự ta có: y3 y :3 ; z3 z3
 x3 x y3 y z3 z :3
 Biến đổi phương trình thành: x3 x y3 y z3 z 2020 . Mà 2020 3.
 Vậy không tồn tại ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện:
 x3 y3 z3 x y z 2020 .
Câu 3. ( 3,0 điểm). 
 x2 y2 3x 3y
 1) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng: 4 0 .
 y2 x2 y x
 4 100
 2) Cho số thực x thỏa mãn 0 x 2 . Tìm GTNN của biểu thức: A 2021.
 2 x x
 Lời giải x2 y2 3x 3y
 1) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng: 4 0 .
 y2 x2 y x
 x y x2 y2 2xy (x y)2
 Ta có: 2 0 với mọi x, y 0 .
 y x xy xy
 x y x y 
 2 0; 1 0 .
 y x y x 
 x y x y 
 2 1 0 .
 y x y x 
 x2 y2 3x 3y
 4 0 .
 y2 x2 y x
 4 100
 2) Cho số thực x thỏa mãn 0 x 2 . Tìm GTNN của biểu thức: A 2021.
 2 x x
 4 100 4 100 
 Ta có : A 2021 36(2 x) 36x 1949 .
 2 x x 2 x x 
 Mà 0 x 2 suy ra : 2 x 0 .
 Áp dụng BĐT : a b 2 ab với a,b 0, dấu bằng xảy ra khi a b ta có:
 100 5
 36x 120 dấu bằng xảy ra khi x .
 x 3
 4 5
 36(2 x) 24 dấu bằng xày ra khi x . 
 2 x 3
 4 100 4 100 
 Suy ra A 2021 36(2 x) 36x 1949 2093 .
 2 x x 2 x x 
 5
 Vậy MinA =2093 khi và chi khi x .
 3
Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác ABC cóba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt nhau 
 tại H . 
 1) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CH.CE= BC 2 .
 2) Chứng minh BH AC .cot ·ABC . 
 3) Gọi . M . là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường 
 thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP MQ . 
 Lời giải
 1) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CH.CE= BC 2 . Xét tam giác: BHK đông dạng BCD có:
 KBH chung
 B· KH B· DC 90.
 BHK đồng dạng BCD(g.g)
 BH BK
 nên 
 BC BD
 BH  BD BCBK
 Tương tự: CHK đồng dạng CBE
 CH KC
 nên CH CE BC  KC
 BC CE
 Cộng vế với vế hai đằng thức ta được:
 BH  BD CH.CE BCBK BC  KC
 hay BH  BD CH CE BC(BK KC) BC 2
 2) Chứng minh BH AC .cot ·ABC . 
 BH BE
 Chứng minh : BEH đồng dạng CEA(g  g) 
 CA CE
 BE
 Xét BEC vuông tại E cot ABC 
 CE
 BH BE
 cot ABC BH AC cot ABC
 CA CE
 3) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường 
 thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP MQ .
 PA AH
 Chứng minh PAH đồng dạng AMB (g.g) 
 AM MB
 QA AH
 Chứng minh: QAH đồng dạng MAC (g.g) 
 AM MC
 QA PA
 Do MB MC (gt) 
 AM AM
 PA QA QMP cân tại M MP MQ
Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó 
 thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số 
 mới bằng a b 2 lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số 
 cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? 
 Lời giải
 Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: S 1 2 3  99 100 5050 .
 Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2.
 Lúc đầu tồng S 5050 sau 99 bước số còn lai sẽ là 5050 2.99 4852 .
  HẾT 