Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Ba Đình (Có đáp án)

 PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH
 ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2019-2020. MÔN: TOÁN 9
Câu 1.
 1
a) Cho a 1. Tìm giá trị của a3 6a 6
 2 3
b) Cho A 99...99.99...99 . Hỏi A có bao nhiêu chữ số ?
 2020 cs 9 2020 cs 9
Câu 2.
a) Giải phương trình 2x2 x 1 2x 1 x 2x 1
b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x x2 6x 12 y3 27
Câu 3.
a) Cho a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
b) Cho biểu thức A 13 23 33 ....... 20193 20203 . Tìm số dư khi chia A cho 3.
Câu 4.
 Cho hình vuông ABCD tâm O, trên cạnh AB, BC lấy M , N tương ứng sao 
 cho BM CN .
 a) Chứng minh MON vuông cân.
 b) AN cắt DC tại E, ON bắt BE tại F . Tìm vị trí M , N để các tứ giác 
 ABEC, MBFN là hình bình hành.
 c) Chứng minh CF  BE .
 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN .
Câu 5.
Cho a; b là các số thực dương thỏa mãn a b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 6
 A a3 b3 3ab
 a2 b2
 PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH
 ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2019-2020. MÔN: TOÁN 9
Câu 1.
 1
a) Cho a 1. Tìm giá trị của a3 6a 6
 2 3
b) Cho A 99...99.99...99 . Hỏi A có bao nhiêu chữ số ?
 2020 cs 9 2020 cs 9
 Lời giải
 1 2 3
a) a 1 1 1 3
 2 3 2 3 2 3 
 a3 6a 6
 3
 1 3 6 1 3 6
 6 3 10 6 6 3 6
 10
b) Cho A 99...99.99...99 . Hỏi A có bao nhiêu chữ số ?
 2020 cs 9 2020 cs 9
 A 99...99.99...99 10...00 1 99...99 10...00.99...99 99...99
       
 2020 cs 9 2020 cs 9 102020 2020 cs 9 102020 2020 cs 9 2020 cs 9
 99...9900...00 99...99 99...99800..001
 2020cs 2020cs 2020cs 2019cs 2019cs
Vậy A có 2019 2019 1 1 4020 chữ số 
Câu 2.
a) Giải phương trình 2x2 x 1 2x 1 x 2x 1
b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x x2 6x 12 y3 27
 Lời giải
a) Giải phương trình 2x2 x 1 2x 1 x 2x 1
 1
 2x2 x 1 2x 1 x 2x 1 (đk: x )
 2
 x 2x 1 1 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 1 2x 1 x 2x 1
 x 2x 1 2x 1 1 2x 1 1 0
 x 2x 1 1 2x 1 1 0
Th1: x 2x 1 1 0
 t 2 1
Đặt t 2x 1 x t 0 
 2
Phương trình đã cho có dạng 
 . t 2 1 
t 1
 2
 t t 2 1 2
 t3 t 2 0
 t3 1 t 1 0
 t 1 t 2 t 1 t 1 0
 t 1 t 2 t 2 0
 t 1
 2
 t t 2 0(vn)
Vậy t 1 2x 1 1 2x 2 x 1
TH2: 2x 1 1 x 1 ( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x 1 là nghiệm của phương trình. 
b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x x2 6x 12 y3 27
x x2 6x 12 y3 27 x3 6x2 12x y3 27 x3 6x2 12x 8 y3 19
 3 3 2 2
 x 2 y 19 x 2 y x 2 x 2 y y 19
 2 2 2 2
 2 2 2 y 3y y 3y
Ta có x 2 x 2 y y x 2 2. x 2 . x 2 0
 4 4 2 4
Do x, y là số nguyên nên x 2 y và x 2 2 x 2 y y2 là ước của 19
TH1: x 2 y 1 x y 3 x y 3
 2 2 2 2 2
 x 2 x 2 y y 19 y 3 2 y 3 2 y y 19 y y 6 0
 x y 3
 y 3 x; y 5;2 ; 0; 3 
 y 2
TH2: 
 x 2 y 19 x 2 y 19
 2 2 2 2 (không có giá trị y nguyên )
 x 2 x 2 y y 11 y 19 y 19 y y 1
Câu 3.
a) Cho a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
b) Cho biểu thức A 13 23 33 ....... 20193 20203 . Tìm số dư khi chia A cho 3.
Lời giải
a) Cho a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp. CMR: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
Vì a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp nên ta có: 
 b a 1
 c a 2
 a3 b3 c3 a3 (a 1)3 (a 2)3
 a3 a3 3a2 3a 1 a3 6a2 12a 8
 3a3 9a2 15a 9
 3.(a3 3a2 5a 1)
Vậy a3 b3 c3 chia hết cho 3.
b) Cho biểu thức A 13 23 33 ....... 20193 20203 . Tìm số dư khi chia A cho 3.
 A 13 23 33 43 53 63 73 ....... 20183 20193 20203 
 Theo phần a: 23 33 43 3 ; 53 63 73 3 ; ; 20183 20193 20203 3
 Nên A chia cho 3 dư 1
 Ta có 
 A 13 23 33 ....... 20193 20203 13 (23 20203 ) (33 20193 ) ......... (10103 10123 )
 1 2022(22 2.2020 20202 ) 2022(22 3.2019 20192 ) ..... 2022(10102 1010.1012 10122 )
 1 2022(22 2.2020 20202 22 3.2019 20192 ..... 10102 1010.1012 10122 )
Do 2022 chia hết cho 3 nên A chia cho 3 dư 1.
Câu 4. Cho hình vuông ABCD tâm O, trên cạnh AB, BC lấy M , N tương ứng sao 
cho BM CN .
a) Chứng minh MON vuông cân.
b) AN cắt DC tại E, ON bắt BE tại F . Tìm vị trí M , N để các tứ giác 
 ABEC, MBFN là hình bình hành.
c) Chứng minh CF  BE .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN .
 Lời giải
 A H M B
 O N
 F
 D
 C E
a) Chứng minh MON vuông cân.
Ta có: ABCD là hình vuông OB OC; O· BM O· CN 45; B· OC 90 .
 OBM OCN c g c OM ON; M· OB N· OC
Ta có: M· ON M· OB B· ON N· OC B· ON B· OC 90
Suy ra MON vuông cân tại O.
b) AN cắt DC tại E, ON bắt BE tại F . Tìm vị trí M , N để các tứ giác 
 ABEC, MBFN là hình bình hành.
* Tứ giác ABEC là hình bình hành NB NC; NA NE .
+) Khi NB NC thì ABN CNE g c g NA NE
+) Khi NB NC thì ON là đường trung bình của BCD ON // CD // AB
mà OM  ON ( MON vuông tại O) OM  AB
 M là trung điểm của AB .
Vậy khi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC thì tứ giác ABEC là hình 
bình hành. * Tứ giác MBFN là hình bình hành NF // MB; NF MB .
+) Khi NF // MB // CD mà OB OD N là trung điểm của BC
 M là trung điểm của AB (chứng minh trên)
+) Khi N là trung điểm của BC , mà ON // DE hay OF // DE
 1 
 F là trung điểm của BE ON NF CE 
 2 
Mặt khác, khi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC thì OMBN là hình 
vuông
 NF MB ON .
Vậy khi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC thì tứ giác MBFN là hình 
bình hành.
c) Chứng minh CF  BE .
 NC NE
+) Xét ANB có CE // AB (định lí Ta – lét)
 NB NA
 MB NE
mà NC BM ; NB AM MN // BF (định lí Ta – lét đảo)
 MA NA
 B· FN M· NO (hai góc đồng vị) B· FN M· NO 45 ( MON vuông cân tại 
O)
+) Xét NCO và NFB có: N· CO N· FB 45 ; O· NC B· NF (đối đỉnh)
 NC NO
 NCO# NFB g g NFC# NBO c g c 
 NF NB
 N· FC N· BO , mà N· BO 45 N· FC 45.
+) Ta có: B· FC B· FN N· FC 45 45 90 CF  BE .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN .
Ta có: chu vi tứ giác OMBN bằng: COMBN OM ON BM BN
mà ON OM ; BN MA COMBN 2OM AB 2OH AB AB AB 2AB 
(không đổi).
Dấu “=” xảy ra M là trung điểm của AB .
Vậy chu vi tứ giác OMBN nhỏ nhất bằng 2AB khi M là trung điểm của AB . Câu 5.
Ta có 
 6
 A a3 b3 3ab
 a2 b2
 3 6
 A a b 3ab(a b) 3ab
 a b 2 2ab
 6
Thay a b 2 A 8 3ab
 4 2ab
 3
 A 8 3ab
 2 ab
 3(ab 1)2
 A 8 (*)
 2 ab
Do a, b dương áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Ta có a b 2 ab ab 1
 ab 1
Nên A 8 khi a b 1
 a b 2
Vậy GTNN của A là 8 khi a b 1.