Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Ba Vì (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BA VÌ
 NĂM HỌC: 2019 - 2020
 x 3 8x2 3x 1 
Câu 1: 1) Cho biểu thức P 1 2 : 3 2 2 
 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 
 a) Rút gọn P 
 b) Tìm các giá trị của x để P 0; P 1 
 c) Tìm các giá trị của x để P 0 
 2) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A n3 6n2 9n 2 là một số nguyên tố.
Câu 2: 1) Giải các phương trình: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 
 1 1 1 1
 2) Cho ba số a,b,c thỏa mãn 
 a b c a b c
 Tính giá trị của biểu thức Q a27 b27 b41 c41 c2019 a2019 
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước, không tồn tại số nguyên dương x sao 
cho x x 1 n n 2 
 2) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc 1 . 
 1 1 1 1
 Chứng minh rằng: A 
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , lấy điểm E bất kì trên AB , kẻ HF 
vuông góc với HE ( F thuộc AC ).
 a) Chứng minh HE.BC EF.AB 
 b) Cho AB 6cm, AC 8cm , diện tích tam giác HEF bằng 6cm2 . Tính các cạnh của tam 
giác HEF .
 c) Khi điểm E chạy trên AB thì trung điểm I của EF chạy trên đường nào? 
Câu 5: Cho ABC nhọn. Phân giác của µA và Cµ cắt nhau ở O . Trên tia AB lấy điểm E sao cho 
AO2 AE.AC . Trên tia BC lấy F sao cho CO2 CF.AC . Chứng minh E,O, F thẳng hàng.
 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019
 x 3 8x2 3x 1 
Câu 1: 1) Cho biểu thức P 1 2 : 3 2 2 
 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 
 a) Rút gọn P 
 b) Tìm các giá trị của x để P 0; P 1 
 c) Tìm các giá trị của x để P 0 
 2) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A n3 6n2 9n 2 là một số nguyên tố.
 Lời giải
 x 3 8x2 3x 1 
 1) Cho biểu thức P 1 2 : 3 2 2 
 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 x 4
 a) Sau khi biến đổi thu gọn ta được P 
 6
 b) Với P 0 x 4 t / m với P 1 x 2( không thỏa mãn đkxđ) 
 c) P 0 x 4 0 x 4 và x 0;2; 2; 3
 2) Ta có : A n3 6n2 9n 2 n 2 n2 4n 1 để A là số nguyên tố thì 
 -Nếu n 2 1 A 2 (loại ) 
 -Nếu n2 4n 1 1 n 0,n 4 với n=0 thì A=-2 (loại ) với n=4 thì A=2 (nhận ) 
 -Thử tương tự cho các trường hợp n-2=-1 và n2 4n 1 1 cho ra n=1 là thỏa 
 Vậy với n=4 hoặc n=1 là giá trị cần tìm 
Câu 2: 1) Giải các phương trình: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 
 1 1 1 1
 2) Cho ba số a,b,c thỏa mãn 
 a b c a b c
 Tính giá trị của biểu thức Q a27 b27 b41 c41 c2019 a2019 
 Lời giải
 1) Giải phương trình: 2 x2 2x x2 6x 8 1 3 (1)
 2 x2 2x 0
ĐKXĐ: 
 2
 x 6x 8 0
 2
 Ta có: 2 x2 2x x2 2x 2 3 x 1 3 
 2
 x2 6x 8 x2 6x 8 1 x 3 1 
Do đó: Vế trái (1) 3 1 
 2
 x 1 0 x 1
Dấu “=” xảy ra khi: (vô lí)
 2 x 3
 x 3 0 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 2) Điều kiện: a,b,c 0 . Khi đó, ta có:
 1 1 1 1
 a b c a b c
 1 1 1 1 
 0
 a b c a b c 
 1 1 
 a b 0 
 ab c a b c 
 a b ca cb c2 ab 0 
 a b b c c a 0 a b
 b c 
 c a
 a27 b27
 41 41
 b c 
 2019 2019
 c a
 Do đó: Q a27 b27 b41 c41 c2019 a2019 0 
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước, không tồn tại số nguyên dương x sao 
cho x x 1 n n 2 
 2) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc 1 . 
 1 1 1 1
 Chứng minh rằng: A 
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2
 Lời giải
 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước, không tồn tại số nguyên dương x sao cho 
 x x 1 n n 2 
 2
 Ta có: x x 1 n n 2 x2 x 1 n 1 (1) 
 2
 Với x * thì: x2 x2 x 1 x 1 nên x2 x 1 không phải là số chính phương mà 
 2
 n 1 là số chính phương với n  , do đó (1) không xảy ra. 
 Vậy với mọi số nguyên n cho trước, không tồn tại số nguyên dương x sao cho 
 x x 1 n n 2 
 2) Với a,b,c 0 , ta có:
 1 1 1
 A 
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3
 1 1 1
 a2 b2 b2 1 2 b2 c2 c2 1 2 c2 a2 a2 1 2
 1 1 1
 2ab 2b 2 2bc 2c 2 2ca 2a 2
 1 1 1
 2A 
 ab b 1 bc c 1 ca a 1 1 abc b
 (do abc 1)
 ab b 1 bc c abc abc ab b
 1 ab b
 1 
 ab b 1 b 1 ab 1 ab b B
 1
 A (đpcm)
 2
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , lấy 
điểm E bất kì trên AB , kẻ HF vuông góc với HE ( F thuộc E
AC ).
 a) Chứng minh HE.BC EF.AB 
 b) Cho AB 6cm, AC 8cm , diện tích tam giác HEF I H
bằng 6cm2 . Tính các cạnh của tam giác HEF .
 c) Khi điểm E chạy trên AB thì trung điểm I của EF 
chạy trên đường nào? 
 A F C
 Lời giải
 HE HA
 a) AHE : HCF(g g) 1 
 HF HC
 HA AB
 HAB : HCA g g (2)
 HC CA
 HE AB
 Từ (1) và (2) : HEF : ABC c g c 
 HF AC
 HE EF
 EF.AB HE.BC
 AB BC
 2
 SHEF EF 1
 b) HEF” ABC 2 EF 5;HE 3;HF 4
 SABC BC 4
 1
 c) Ta có : IH EF ( đường trung tuyến trong tam giác vuông )
 2
 1
 IA EF ( đường trung tuyến trong tam giác vuông ) 
 2
 IH IA vậy I di chuyển trên đường trung trực của AH khi E chạy trên AB
Câu 5: Cho ABC nhọn. Phân giác của µA và Cµ cắt nhau ở O . Trên tia AB lấy điểm E sao cho 
AO2 AE.AC . Trên tia BC lấy F sao cho CO2 CF.AC . Chứng minh E,O, F thẳng hàng.
 Lời giải
Lấy M thuộc AC sao cho AE AM ; lấy N thuộc AC sao cho CF CN 2
 Ta có : AO AM.AC AOM ” ACO c g c A
 ·AOM ·ACO 1
 M
 E
 CO2 CN.CA CON” CAO c g c 
 C· AO C· ON 2 N
 O
Mặt khác : AOE AOM c g c ·AOM ·AOE
 B F C
 CON COF c g c C· ON C· OF
 Mà ·AOC C· AO O· CA 180 ( Tam giác AOC )
 ·AOC C· OF ·AOE 180 vậy O, E, F thẳng hàng