Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Thanh Xuân (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN
 QUẬN THANH XUÂN NĂM HỌC: 2019 - 2020
 MÔN: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 05/10/2019
 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (5,0 điểm)
 x 3 x 2 9 x 3 x 9 
 Cho biểu thức A : 1 
 2 x 3 x x x 6 x 9 
 a) Rút gọn A 
 3 10 6 3 3 1 
 b) Tìm giá trị của A khi x 
 6 2 5 5
Bài II (5,0 điểm)
 1) Chứng minh rằng, nếu p và 8p2 1 là hai số nguyên tố lẻ thì 8p2 2 p 1 là số 
nguyên tố.
 2) Tìm tất cả các số nguyên x; y sao cho: 5 x2 xy y2 7 x 2y 
Bài III (4,0 điểm)
 1) Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3 
 2) Cho x, y, z là các số thực dương và các số thực a,b,c . 
 2 2 2
 a b c 2
 Chứng minh x y z a b c 
 x y z 
 3) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 1 1 1
biểu thức: P 
 1 2x 1 2y 1 2z
Bài IV (4,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a . Trên CB,CD lần lượt lấy các điểm 
 M , N sao cho chu vi tam giác CMN có chu vi là 2a . Gọi giao điểm của đường thẳng 
 BD với các đường thẳng AM , AN lần lượt là E, F . Giao điểm của MF và NE là H 
 1) Tính số đo M· AN 
 2) Chứng minh AH  EF 
 S1
 3) Gọi diện tích tam giác AEF, AMN lần lượt là S1, S2 . Tính 
 S2
Bài V (1,0 điểm) 
 Trong mặt phẳng cho 2020 điểm, khoảng cách giữa hai điểm bất kì đôi một khác 
nhau. Nối mỗi điểm trong số 2020 điểm này với điểm ở gần nhất tương ứng. Chứng 
minh rằng với cách nối đó không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín.
 ---Hết---
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 Họ và tên học sinh: ..Trường THCS: 
 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài I (5,0 điểm)
 x 3 x 2 9 x 3 x 9 
a) A : 1 
 2 x 3 x x x 6 x 9 
 x 4 x 2
 A 
 x x 2 x
 3
 3 10 6 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 
b)Ta có x 2 
 2 1 5 5
 6 2 5 5 1 5 5
 2 2
Vậy A 1 2
 2
Bài II (5,0 điểm)
 1) Chứng minh rằng, nếu p và 8p2 1 là hai số nguyên tố lẻ thì 8p2 2 p 1 là số 
nguyên tố.
 Do p là số nguyên tố lẻ nên p 3k 1hoặc p 3k
 +Nếu p 3k 1 thì 8p2 1 8 3k 1 2 1 3 24k 2 16k 3 3nên vô lý.
 +Nếu p 3k . Do p là số nguyên tố lẻ nên p 3 , rõ ràng 8.9 1 73là số nguyên 
tố mà 8p2 2 p 1 72 6 1 79 là số nguyên tố.
 2) Tìm tất cả các số nguyên x; y sao cho: 5 x2 xy y2 7 x 2y 
Ta có 5 4x2 4xy 4y2 28 x 2y 15x2 28 x 2y 5 x 2y 2
 2 2 14 169 169 169
Do 15x2 0 28 x 2y 5 x 2y 5 x 2y 2 x 2y . 
 5 25 5 5
 169 169
Vậy 0 15x2 0 x2 ,x Z nên x 1;0;1
 5 75
 x 0 y 0
 x 1 y 3 thỏa mãn bài toán
 x 1 y 2
Bài III (4,0 điểm)
 1) Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3 
Ta có 
 x2 4x 5 2 2x 3
 x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0
 2
 x 1 2 2x 3 1 0
Suy ra x 1là nghiệm của phương trình.
 2) Cho x, y, z là các số thực dương và các số thực a,b,c . 
 2 2 2
 a b c 2
 Chứng minh x y z a b c 
 x y z 
 a2 y a2 x b2 x b2 z c2 x c2 y
 Ta biến đổi vế trái:VT a2 b2 c2 
 x x y y z z a2 y b2 x a2 x c2 x b2 z c2 y
 Ta có 2ab; 2ac; 2bc,
 x y x z y z
 Nên VT a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2 .
 3) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 1 1 1
biểu thức: P 
 1 2x 1 2y 1 2z
 a b c
Đặt x ; y ; z ;a,b,c 0 nên 
 b c a
 b c a b2 c2 a2
P 1
 b 2a c 2b a 2c b2 2ab c2 2bc a2 2ac
Dấu bằng xảy ra khi x y z 1
Bài IV (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a . Trên CB,CD lần lượt 
lấy các điểm M , N sao cho chu vi tam giác CMN có chu vi là 2a . Gọi giao điểm của 
đường thẳng BD với các đường thẳng AM , AN lần lượt là E, F . Giao điểm của MF và 
NE là H 
 1) Tính số đo M· AN 
 2) Chứng minh AH  EF 
 S1
 3) Gọi diện tích tam giác AEF, AMN lần lượt là S1, S2 . Tính 
 S2
 A B
 E
 O
 M
 H
 F
 P
 D N C
a)Gọi P là điểm trên tia đối của DC sao cho DP BM
Ta chứng minh được: ABM = ADP c.g.c BM DP; AM AP;·BAM ·DAP
Từ đó suy ra ·MAP ·PAD ·DAM ·BAM ·DAM 900
Hay PAM là tam giác vuông cân. Ta có chu vi tam giác CMN là: MN MC NC 2a
Hay MN BC BM CD DN 2a MN 2a DP DN 2a MN PN dẫn đến 
 PAN = MAN suy ra ·PAN ·MAN 450
b)Ta định nghĩa lại F là giao điểm của AN và PM , từ chứng minh PAM vuông cân và 
·PAN ·MAN 450
suy ra F là trung điểm của PM và AF  PM 1
suy ra AF CF PM
 2
hay F nằm trên trung trực của AC
mà BD cũng là trung trực của AC
suy ra F BD hay F cũng chính là giao điểm của AN với BD . 
Tương tự ta cũng có AM  NE mà H là giao điểm của NE,MF nên H là trực tâm của tam 
giác AMN suy ra AH  EF
c)Ta có kết quả quen thuộc sau:
« Cho tam giác AMN và hai điểm E,F nằm trên hai cạnh AM ,AN của tam giác thì 
 S AE AF
 AEF  »
 SAMN AM AN
 A
 E
 K
 F
 N M
 1
 AE.FK
 S AE
Thật vậy hạ FK  AM thì AEF 2 . Từ đó ta có 
 S 1 AM
 AFM AM .FK
 2
 S S S AE AF
 AEF AEF  AFM 
 SAMN SAFM SAMN AM AN
 S AE AF
Trở lại bài toán ta có AEF 
 SAMN AM AN
 Mặt khác các tam giác AEN ,AFM là tam giác vuông cân nên AN 2AE,AM 2AF
 S AE AF AE AF 1
suy ra AEF   
 SAMN AM AN 2AF 2AE 2
Bài V (1,0 điểm) Giả sử tồn tại một đường gấp khúc khép kín.
 Gọi AB là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất trong đường gấp khúc khép kín trên. 
Khi đó, giả sử AC,BD là hai đoạn kề với đoạn AB
 TH1: Nếu AC AB nên điểm B không là điểm gần A nhất
 TH2: Nếu DB AB nên điểm A không là điểm gần B nhất
 Điều đó chứng tỏ không thể nối điểm B và điểm A
 Do đó, không tồn tại đường gấp khúc thỏa mãn